- 정리 증명
- 떨어지는 물체
- 구멍에서 나오는 액체
- 해결 된 운동
- 연습 1
- I ) 물 탱크의 작은 출구 파이프는 수면에서 3m 아래에 있습니다. 물의 출구 속도를 계산하십시오.
- 해결책:
- 연습 2
- 해결책:
- 연습 3
- 해결책:
- 참고 문헌
정리 토리 첼리 그 목적은 높이에서 자유 낙하에 취득하거나 원리 토리 첼리는 탱크 또는 용기의 벽에 오리피스를 빠져 나가는 액체의 속도가 동일하다는 표면 상태가 동등 구멍에 액체가 없습니다.
정리는 다음 그림에 나와 있습니다.
Torricelli의 정리 그림. 출처 : 자체 제작.
Torricelli의 정리로 인해 액체의 자유 표면 아래 높이 h에있는 오리피스를 통한 액체의 출구 속도는 다음 공식에 의해 주어집니다.
여기서 g는 중력 가속도이고 h는 구멍에서 액체의 자유 표면까지의 높이입니다.
Evangelista Torricelli는 1608 년 이탈리아의 Faenza시에서 태어난 물리학 자이자 수학자였습니다. Torricelli는 수은 기압계의 발명으로 공로를 인정 받았으며 수은 1 밀리미터에 해당하는 "torr"라는 압력 단위가 있습니다. (mm Hg).
정리 증명
Torricelli의 정리와 속도를 제공하는 공식에서는 자유 낙하에서 낙하 물체를 둘러싼 공기로 인한 마찰이 무시할 수 있다고 가정하는 것처럼 점도 손실이 무시할 수 있다고 가정합니다.
위의 가정은 대부분의 경우 합리적이며 기계적 에너지 보존도 포함합니다.
정리를 증명하기 위해 먼저 탱크의 액체 표면과 동일한 높이에서 초기 속도가 0 인 물체의 속도 공식을 찾습니다.
에너지 보존 원리는 낙하물이 구멍에서 자유 표면까지 높이 h와 같은 높이로 내려 갔을 때 낙하물의 속도를 얻기 위해 적용됩니다.
마찰 손실이 없기 때문에 기계적 에너지 보존 원칙을 적용하는 것이 타당합니다. 낙하 물체의 질량이 m이고 높이 h가 액체의 출구 레벨에서 측정된다고 가정합니다.
떨어지는 물체
물체가 액체의 자유 표면과 같은 높이에서 풀려 나면 그 에너지는 속도가 0이고 운동 에너지가 0이기 때문에 중력 전위 일뿐입니다. 위치 에너지 Ep는 다음과 같이 제공됩니다.
Ep = mgh
구멍 앞을 지나갈 때 높이는 0이고 위치 에너지는 0이므로 다음과 같이 주어진 운동 에너지 Ec 만 있습니다.
Ec = ½ mv 2
에너지가 보존되기 때문에 얻은 것으로부터 Ep = Ec :
½ mv 2 = mgh
속도 v를 구하면 Torricelli 공식이 얻어집니다.
구멍에서 나오는 액체
다음으로 구멍을 통과하는 액체의 배출 속도를 찾아서 자유롭게 떨어지는 물체에 대해 방금 계산 한 속도와 일치 함을 보여줍니다.
이를 위해 우리는 유체에 적용되는 에너지 보존에 지나지 않는 베르누이의 원칙에 기초 할 것입니다.
Bernoulli의 원리는 다음과 같이 공식화됩니다.
이 공식의 해석은 다음과 같습니다.
- 첫 번째 항은 단위 부피당 유체의 운동 에너지를 나타냅니다.
- 두 번째는 단위 단 면적당 압력에 의해 수행되는 작업을 나타냅니다.
- 세 번째는 유체의 단위 부피당 중력 위치 에너지를 나타냅니다.
상대적으로 낮은 속도를 가진 비난 류 조건에서 이상적인 유체라는 전제에서 시작하면 유체의 단위 부피당 기계적 에너지가 모든 영역 또는 단면에서 일정하다는 것을 확인하는 것이 적절합니다.
이 공식에서 V는 유체의 속도, ρ는 유체의 밀도, P는 압력, z는 수직 위치입니다.
아래 그림은 Bernoulli의 원리에서 시작하는 Torricelli의 공식을 보여줍니다.
Bernoulli의 공식을 (1)로 표시하는 액체의 자유 표면과 (2)로 표시하는 출구 구멍에 적용합니다. 제로 헤드 레벨은 출구 구멍과 같은 높이로 선택되었습니다.
(1)의 단면이 (2)보다 훨씬 크다는 전제하에, 우리는 (1)의 액체 하강 속도가 사실상 무시할 만하다고 가정 할 수 있습니다.
이러한 이유로 V 1 = 0 으로 설정 되고 (1)에서 액체가받는 압력은 대기압이고 오리피스에서 측정 된 높이는 h입니다.
출구 섹션 (2)의 경우 출구 속도가 v이고 출구에서 액체가받는 압력도 대기압이고 출구 높이가 0이라고 가정합니다.
Bernoulli의 공식에서 섹션 (1) 및 (2)에 해당하는 값을 대체하고 동일하게 설정하십시오. 유체가 이상적이며 점성 마찰 손실이 없다고 가정하기 때문에 동등성이 유지됩니다. 모든 항이 단순화되면 출구 구멍에서의 속도가 얻어집니다.
위의 상자는 얻은 결과가 자유롭게 떨어지는 물체의 결과와 동일하다는 것을 보여줍니다.
해결 된 운동
연습 1
I ) 물 탱크의 작은 출구 파이프는 수면에서 3m 아래에 있습니다. 물의 출구 속도를 계산하십시오.
해결책:
다음 그림은이 경우에 Torricelli의 공식이 적용되는 방식을 보여줍니다.
연습 2
II ) 이전 연습에서 탱크의 출구 파이프의 직경이 1cm라고 가정하고 물 출구 유량을 계산하십시오.
해결책:
유량은 단위 시간당 배출되는 액체의 부피이며 배출구의 면적에 배출 속도를 곱하여 간단히 계산됩니다.
다음 그림은 계산의 세부 사항을 보여줍니다.
연습 3
III ) 알고있는 경우 용기에서 물의 자유 표면이 얼마나 높은지 확인
용기 바닥의 구멍에 물이 10m / s로 나옵니다.
해결책:
구멍이 용기 바닥에있는 경우에도 Torricelli 공식을 적용 할 수 있습니다.
다음 그림은 계산의 세부 사항을 보여줍니다.
참고 문헌
- Wikipedia. Torricelli의 정리.
- Hewitt, P. 개념 물리 과학. 제 5 판 .119.
- 영, 휴. 2016. Sears-Zemansky의 현대 물리학과 대학 물리학. 14th Ed. Pearson. 384.