이항 정리는 어떻게 형태의 식 (A + B를) 개발할 수를 알려주는 방정식 N 일부 자연수 n에 대한있다. 이항은 (a + b)와 같이 두 요소의 합에 지나지 않습니다. 또한 k b n-k에 의해 주어진 항에 수반되는 계수가 무엇인지 알 수 있습니다.
이 정리는 일반적으로 영국 발명가, 물리학 자 및 수학자 Isaac Newton 경에 기인합니다. 그러나 1000 년경 중동에서 이미 그 존재가 알려졌다는 다양한 기록이 발견되었습니다.
조합 숫자
이항 정리는 수학적으로 다음을 알려줍니다.
이 식에서 a와 b는 실수이고 n은 자연수입니다.
데모를 제공하기 전에 필요한 몇 가지 기본 개념을 살펴 보겠습니다.
k에서 n의 조합 수 또는 조합은 다음과 같이 표현됩니다.
이 형식은 n 개의 요소 집합에서 k 요소가있는 하위 집합을 선택할 수있는 값을 나타냅니다. 대수적 표현은 다음과 같이 주어진다.
예를 들어 보겠습니다. 7 개의 공 그룹이 있다고 가정 해 보겠습니다. 그중 2 개는 빨간색이고 나머지는 파란색입니다.
우리는 그것들을 연속적으로 배열 할 수있는 방법을 알고 싶습니다. 한 가지 방법은 두 개의 빨간색을 첫 번째와 두 번째 위치에 배치하고 나머지 공은 나머지 위치에 배치하는 것입니다.
앞의 경우와 비슷하게 빨간 공에 각각 첫 번째와 마지막 위치를 부여하고 다른 공은 파란색 공으로 점유 할 수 있습니다.
이제 우리가 볼을 연속으로 배열 할 수있는 방법을 계산하는 효율적인 방법은 조합 숫자를 사용하는 것입니다. 각 위치는 다음 세트의 요소로 볼 수 있습니다.
그런 다음 두 요소의 하위 집합 만 선택하면됩니다. 각 요소는 빨간색 공이 차지할 위치를 나타냅니다. 우리는 다음과 같은 관계에 따라이 선택을 할 수 있습니다.
이런 식으로 우리는이 공을 주문하는 21 가지 방법이 있습니다.
이 예의 일반적인 아이디어는 이항 정리를 증명하는 데 매우 유용합니다. 특정 경우를 살펴 보겠습니다. n = 4이면 (a + b) 4 를 얻습니다.
이 제품을 개발할 때 네 가지 요소 (a + b) 각각에 하나의 요소를 곱하여 얻은 항의 합계가 남습니다. 따라서 다음과 같은 형식의 용어를 갖게됩니다.
a 4 형식의 항을 얻으려면 다음과 같이 곱하면됩니다.
이 요소를 얻는 방법은 한 가지뿐입니다. 하지만 이제 a 2 b 2 형식의 항을 찾으면 어떻게 될까요? "a"와 "b"는 실수이므로 교환 법칙이 유효하므로이 항을 구하는 한 가지 방법은 화살표로 표시된대로 구성원을 곱하는 것입니다.
이러한 모든 작업을 수행하는 것은 일반적으로 다소 지루하지만 "a"라는 용어를 조합으로보고 네 가지 요소 집합에서 두 개의 "a"를 선택할 수있는 방법을 알고 싶다면 이전 예의 아이디어를 사용할 수 있습니다. 그래서 우리는 다음을 가지고 있습니다 :
따라서 식 (a + b) 4 의 최종 확장에서 정확히 6a 2 b 2를 갖게됩니다 . 다른 요소에 대해 동일한 아이디어를 사용하여 다음을 수행해야합니다.
그런 다음 이전에 얻은 표현식을 추가하면 다음과 같습니다.
이것은 "n"이 자연수 인 일반적인 경우에 대한 공식적인 증거입니다.
데모
(a + b) n 을 확장하여 남은 항 은 a k b n-k 형식 이며, 여기서 k = 0,1,…, n입니다. 이전 예의 아이디어를 사용하여«n»요인 중«k»변수«a»를 선택하는 방법은 다음과 같습니다.
이 방법으로 선택하면 nk 변수 "b"가 자동으로 선택됩니다. 이것으로부터 다음과 같습니다.
예
(a + b) 5를 고려할 때 그 발전은 무엇입니까?
이항 정리에 따르면 다음과 같습니다.
이항 정리는 전체 확장을 수행하지 않고도 특정 항의 계수가 무엇인지 알고 싶은식이있는 경우 매우 유용합니다. 예를 들어 우리는 다음과 같은 미지수를 취할 수 있습니다. (x + y) 16 의 확장에서 x 7 과 9 의 계수는 무엇 입니까?
이항 정리에 따르면 계수는 다음과 같습니다.
또 다른 예는 다음과 같습니다. (3x-7y) 13 의 확장에서 x 5 와 8 의 계수는 얼마입니까?
먼저 편리한 방식으로 표현식을 다시 작성합니다. 이것은:
그런 다음 이항 정리를 사용하면 k = 5 일 때 구하는 계수가
이 정리의 사용에 대한 또 다른 예는 다음에 언급 할 것과 같은 몇 가지 공통적 인 정체성의 증명에 있습니다.
정체성 1
«n»이 자연수이면 다음과 같습니다.
증명을 위해«a»와«b»모두 1의 값을 취하는 이항 정리를 사용합니다.
이런 식으로 우리는 첫 번째 정체성을 입증했습니다.
정체성 2
"n"이 자연수이면
이항 정리에 따르면 다음과 같습니다.
또 다른 시연
귀납법과 Pascal의 항등을 사용하여 이항 정리에 대해 다른 증명을 만들 수 있습니다. 이는«n»과«k»가 n ≥ k를 만족하는 양의 정수이면 다음과 같습니다.
감응 작용 증명
먼저 유도 성베이스가 유지되는 것을 봅시다. n = 1이면 다음과 같습니다.
실제로 우리는 그것이 성취되었음을 봅니다. 이제 n = j를 다음과 같이합시다.
우리는 n = j + 1에 대해 다음이 사실임을 알고 싶습니다.
따라서 다음을 수행해야합니다.
가설에 의해 우리는 다음을 알고 있습니다.
그런 다음 분배 속성을 사용합니다.
그 후 각 요약을 개발하면 다음과 같은 이점이 있습니다.
이제 편리한 방법으로 그룹화하면 다음과 같이됩니다.
파스칼의 아이덴티티를 사용하여 우리는 :
마지막으로 다음 사항에 유의하십시오.
따라서 우리는 이항 정리가 자연수에 속하는 모든 "n"에 대해 성립하는 것을 볼 수 있으며, 이것으로 증명이 끝납니다.
호기심
조합 수 (nk)는 이항 계수 (a + b) n 의 전개에 정확하게 나타나는 계수이기 때문에 이항 계수라고도합니다 .
Isaac Newton은 지수가 실수 인 경우에 대해이 정리를 일반화했습니다. 이 정리는 뉴턴의 이항 정리로 알려져 있습니다.
이미 고대에이 결과는 n = 2 인 특정 경우에 대해 알려졌습니다. 이 사례는 Euclid의 Elements에 언급되어 있습니다.
참고 문헌
- Johnsonbaugh Richard. 이산 수학. PHH
- 케네스 H. Rosen 이산 수학 및 그 응용. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. 이산 수학. McGRAW-HILL.
- 랄프 P. 그리말디. 이산 및 조합 수학. Addison-Wesley Iberoamericana
- 그린 스타 루이스. . 이산 및 조합 수학 Anthropos