산술 의 기본 정리에 따르면 1보다 큰 자연수는 소수의 곱으로 분해 될 수 있으며 일부는 반복 될 수 있으며이 형식은 해당 숫자에 대해 고유하지만 요소의 순서는 다를 수 있습니다.
소수 p는 자신과 1을 양의 제수로만 인정하는 숫자입니다. 다음 숫자는 소수입니다 : 2, 3, 5, 7, 11, 13 등. 무한대가 있기 때문입니다. 숫자 1은 제수가 하나뿐이므로 소수로 간주되지 않습니다.
그림 1. Euclid (왼쪽)는 그의 책 Elements (기원전 350 년)에서 산술의 기본 정리를 증명했으며 첫 번째 완전한 증명은 Carl F. Gauss (1777-1855) (오른쪽)에 기인합니다. 출처 : Wikimedia Commons.
그 부분에서는 위와 일치하지 않는 숫자를 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14와 같은 합성 숫자라고합니다. 예를 들어 숫자 10을 취해 보면 즉시 다음의 곱으로 분해 될 수 있음을 알 수 있습니다. 2 및 5 :
10 = 2 × 5
2와 5는 모두 사실상 소수입니다. 정리는 이것이 모든 수 n에 대해 가능하다고 말합니다.
여기서 p 1 , p 2 , p 3 … p r 은 소수이고 k 1 , k 2 , k 3 ,… k r 은 자연수입니다. 그래서 소수는 곱셈을 통해 자연수가 만들어지는 빌딩 블록 역할을합니다.
산술의 기본 정리 증명
모든 숫자가 소인수로 분해 될 수 있음을 보여주는 것으로 시작합니다. 자연수 n> 1, 소수 또는 합성이라고합시다.
예를 들어 n = 2이면 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 2 = 1 × 2, 이는 소수입니다. 같은 방식으로 다음 번호로 진행하십시오.
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
우리는 이렇게 계속해서 n-1에 도달 할 때까지 모든 자연수를 분해합니다. 다음 숫자로 할 수 있는지 봅시다 : n.
n이 소수 인 경우 n = 1 × n으로 분해 할 수 있지만 n이 합성이고 논리적으로 n보다 작은 제수 d를 갖는다 고 가정합니다.
1 <d <n.
n / d = p 1 이고 p 1 이 소수 인 경우 n은 다음과 같이 작성됩니다.
n = p 1 .d
d는 소수 경우 수행 할 더 아무것도 없지만, 그렇지 않은 경우, 수 n은 2 D의 제수가 덜 이보다 : n은 2 D가의 제품 N으로 기록 될 수 있도록, <D 2 또 다른하여 소수 p 2 :
D = P 2 N 2
원래 숫자 n으로 대체하면 다음이 제공됩니다.
N = P 1 .P 2 .N 2
이제 n 2 도 소수가 아니라고 가정하고 , n 3 <n 2 <n 1 <n이 되도록 그것의 제수 n 3에 의해 소수 p 3 의 곱으로 씁니다 .
N (2) = P (3) .N 3 → N = P 1 , P 2 , P 3 .N 3
다음을 얻을 때까지이 절차를 유한 한 횟수로 반복합니다.
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
이것은 소수의 곱으로 모든 정수를 2에서 n으로 분해 할 수 있음을 의미합니다.
소인수 분해의 고유성
이제 인자의 순서를 제외하고이 분해가 고유한지 확인하겠습니다. n을 두 가지 방법으로 쓸 수 있다고 가정합니다.
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (r ≤ s 포함)
물론 q 1 , q 2 , q 3 …도 소수입니다. p 1이 나누기 때문에 (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ) p 1 은 "q" 중 하나와 같으므로 어느 것이 든 상관 없습니다 . 따라서 p 1 = q 1 이라고 말할 수 있습니다 . n을 p 1로 나누고 다음을 얻습니다.
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
모든 것을 p r로 나눌 때까지 절차를 반복하면 다음을 얻습니다.
Q = 1 , R + 1 … Q S
그러나 r = s 인 경우에만 r <s 일 때 q r + 1 … q s = 1 에 도달 할 수 없습니다 . r = s를 인정함으로써 "p"와 "q"가 동일하다는 것도 인정됩니다. 따라서 분해는 고유합니다.
응용
앞서 말했듯이 소수는 원하는 경우 숫자의 원자, 기본 구성 요소를 나타냅니다. 따라서 산술의 기본 정리는 많은 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 가장 분명한 것은 큰 수를 작은 수의 곱으로 표현하면 더 쉽게 작업 할 수 있습니다.
같은 방식으로 우리는 분수를 더 쉽게 덧셈하고, 큰 수의 근을 찾거나, 근호로 연산하고, 합리화하고 풀 수 있도록 도와주는 절차 인 최대 공배수 (LCM)와 최대 공약수 (GCF)를 찾을 수 있습니다. 매우 다양한 성격의 응용 문제.
게다가 소수는 매우 수수께끼입니다. 패턴은 아직 인식되지 않았으며 어떤 패턴이 다음 패턴인지 알 수 없습니다. 지금까지 가장 큰 숫자는 컴퓨터에 의해 발견되었으며 24,862,048 자리 숫자이지만 새 소수는 매번 덜 자주 나타납니다.
자연의 소수
미국 북동부에 사는 매미, 시카 디도 또는 매미는 13 년 또는 17 년 주기로 나타납니다. 둘 다 소수입니다.
이런 식으로 매미는 다른 출생 기간을 가진 포식자 또는 경쟁자와 일치하지 않으며 같은 해에 일치하지 않기 때문에 서로 다른 종류의 매미가 서로 경쟁하지 않습니다.
그림 2. 미국 동부의 Magicicada 매미는 13 ~ 17 년마다 나타납니다. 출처 : Pxfuel.
소수와 온라인 쇼핑
소수는 인터넷을 통해 구매할 때 신용 카드 정보를 비밀로 유지하기 위해 암호화에 사용됩니다. 이러한 방식으로 구매자가 매장에 도착한 데이터는 분실되거나 부도덕 한 사람들의 손에 넘어 가지 않고 정확하게 전달됩니다.
어떻게? 카드의 데이터는 소수의 곱으로 표현할 수있는 숫자 N으로 인코딩됩니다. 이 소수는 데이터가 드러내는 핵심이지만 일반인에게 알려지지 않았으며 전달되는 웹에서만 디코딩 할 수 있습니다.
숫자가 작은 경우 (해결 된 연습 참조) 숫자를 요소로 분해하는 것은 쉬운 작업이지만이 경우 100 자리 소수가 키로 사용됩니다. .
해결 된 운동
- 연습 1
1029를 소인수로 나눕니다.
해결책
1029는 3으로 나눌 수 있습니다. 숫자를 더할 때 합계는 3 : 1 + 0 + 2 + 9 = 12의 배수이기 때문에 알려져 있습니다. 요인의 순서는 제품을 변경하지 않으므로 여기서 시작할 수 있습니다.
1029 3
343
1029 = 3 × 343
반면에 343 = 7 3 이면 :
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
그리고 3과 7은 모두 소수이기 때문에 이것은 1029의 분해입니다.
-연습 2
삼항 x 2 + 42x + 432를 인수 분해하십시오.
해결책
삼항식은 (x + a) 형식으로 다시 작성됩니다. (x + b) 그리고 a와 b의 값을 찾아야합니다.
a + b = 42; ab = 432
숫자 432는 소인수로 분해되고 거기에서 적절한 조합이 시행 착오에 의해 선택되어 추가 된 요인이 42가됩니다.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
여기에서 432를 작성할 수있는 몇 가지 가능성이 있습니다.
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72…
그리고 모든 것은 소인수 사이의 제품을 결합하여 찾을 수 있지만 제안 된 운동을 해결하기 위해 적합한 조합은 24 + 18 = 42이므로 432 = 24 × 18입니다.
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
참고 문헌
- Baldor, A. 1986. 이론적 실제 산술. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC 월드. 자연의 숨겨진 코드. 출처 : bbc.com.
- De Leon, Manuel. 소수 : 인터넷의 수호자. 출처 : blogs.20minutos.es.
- UNAM. 숫자 이론 I : 산술의 기본 정리. 출처 : teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. 산술의 기본 정리. 출처 : es.wikipedia.org.