테셀레이션 : 특성, 유형 (일반, 불규칙), 예 - 수학

타일링은 코팅 된 표면 하나 tesserae로 불리는 인물이다. 그들은 모든 종류의 거리와 건물에 있습니다. 타일 또는 타일은 평평한 조각으로, 일반적으로 합동 또는 등각 투영 사본이있는 다각형이며 규칙적인 패턴을 따라 배치됩니다. 이런 식으로 드러나지 않은 공간이없고 타일이나 모자이크가 겹치지 않습니다.

정다각형으로 구성된 단일 유형의 모자이크를 사용하는 경우에는 정다각형 테셀레이션이 있지만, 두 개 이상의 정다각형을 사용하면 반 정기 테셀레이션입니다.

그림 1. 사각형이 비정규 다각형이기 때문에 불규칙한 테셀레이션이있는 타일 바닥. 출처 : Pixabay.

마지막으로 테셀레이션이 형성하는 다각형이 규칙적이지 않으면 불규칙한 테셀레이션입니다.

가장 일반적인 유형의 테셀레이션은 직사각형 및 특히 정사각형 모자이크로 형성되는 것입니다. 그림 1에는 좋은 예가 있습니다.

테셀레이션의 역사

테셀레이션은 다양한 문화와 종교의 궁전과 사원의 바닥과 벽을 덮기 위해 수천 년 동안 사용되었습니다.

예를 들어 기원전 3500 년경 메소포타미아 남쪽의 유프라테스 강과 티그리스 강 사이에서 번성했던 수메르 문명은 건축에 테셀레이션을 사용했습니다.

그림 2. Istar 게이트의 수메르 테셀레이션. 출처 : Wikimedia Commons.

테셀레이션은 또한 BC 3 세기 아르키메데스에서 시작하여 1619 년 요하네스 케플러, 1880 년 카밀 조던, 로저 펜로즈와 함께 현대에 이르기까지 모든 연령대의 수학자들의 관심을 불러 일으켰습니다.

Penrose는 Penrose 테셀레이션으로 알려진 비 주기적 테셀레이션을 만들었습니다. 이들은 테셀레이션에 많은 공헌을 한 과학자들의 몇 명에 불과합니다.

정규 테셀레이션

일반 테셀레이션은 한 가지 유형의 일반 다각형으로 만 이루어집니다. 반면, 테셀레이션이 규칙적인 것으로 간주 되려면 평면의 모든 점이 다음을 수행해야합니다.

-다각형 내부에 속

-또는 인접한 두 다각형의 가장자리

-마지막으로 적어도 3 개의 다각형의 공통 꼭지점에 속할 수 있습니다.

위의 제한 사항으로 정삼각형, 정사각형 및 육각형 만 규칙적인 테셀레이션을 형성 할 수 있음을 보여줄 수 있습니다.

명명법

시계 방향으로 나열하고 점으로 구분 된 테셀레이션을 나타내는 명명법이 있습니다. 테셀레이션의 각 노드 (또는 꼭지점)를 둘러싸는 다각형의 변 수는 항상 가장 낮은 숫자의 다각형으로 시작합니다. 측면.

이 명명법은 일반 및 반 정기 테셀레이션에 적용됩니다.

예제 1 : 삼각형 테셀레이션

그림 3은 규칙적인 삼각형 테셀레이션을 보여줍니다. 삼각형 테셀레이션의 각 노드는 6 개의 정삼각형의 공통 꼭지점이라는 점에 유의해야합니다.

이러한 유형의 테셀레이션을 표시하는 방법은 3.3.3.3.3.3이며 3 ^6으로 도 표시됩니다 .

그림 3. 일반 삼각 테셀레이션 3.3.3.3.3.3. 출처 : wikimedia commons

예제 2 : 정사각형 테셀레이션

그림 4는 정사각형으로 만 구성된 규칙적인 테셀레이션을 보여줍니다. 테셀레이션의 각 노드는 4 개의 합동 사각형으로 둘러싸여 있습니다. 이 유형의 정사각형 테셀레이션에 적용되는 표기법은 4.4.4.4 또는 4 ^4입니다.

그림 4. 스퀘어 테셀레이션 4.4.4.4. 출처 : wikimedia commons.

예제 3 : 육각형 테셀레이션

육각형 테셀레이션에서 각 노드는 그림 5와 같이 3 개의 정육각형으로 둘러싸여 있습니다. 정육각형 테셀레이션의 명명법은 6.6.6 또는 6 ³ 입니다.

그림 5. 육각형 테셀레이션 6.6.6. 출처 : wikimedia commons.

반 정기 테셀레이션

반 정규 또는 아르키메데스 테셀레이션은 두 개 이상의 정다각형 유형으로 구성됩니다. 각 노드는 항상 같은 순서로 테셀레이션을 구성하는 다각형 유형으로 둘러싸여 있으며 가장자리 조건은 인접 항목과 완전히 공유됩니다.

반 정기 테셀레이션에는 8 가지가 있습니다.

3.6.3.6 (삼각형 테셀레이션)
3.3.3.3.6 (무딘 육각형 테셀레이션)
3.3.3.4.4 (길쭉한 삼각형 테셀레이션)
3.3.4.3.4 (블런트 스퀘어 테셀레이션)
3.4.6.4 (rhombi-tri-hexagonal tessellation)
4.8.8 (잘린 제곱 테셀레이션)
3.12.12 (잘린 육각형 테셀레이션)
4.6.12 (잘린 삼 육각형 테셀레이션)

준 정규 테셀레이션의 몇 가지 예가 아래에 나와 있습니다.

예제 4 : Tri-hexagonal tessellation

3.6.3.6 구조에서 정삼각형과 정육각형으로 구성된 것으로, 테셀레이션의 노드가 삼각형, 육각형, 삼각형 및 육각형으로 둘러싸여 (한 턴 완료 될 때까지) 있음을 의미합니다. 그림 6은 이러한 테셀레이션을 보여줍니다.

그림 6. 삼 육각형 테셀레이션 (3.6.3.6)은 준 정규 테셀레이션의 예입니다. 출처 : Wikimedia Commons.

예제 5 : 무딘 육각형 테셀레이션

이전 예의 테셀레이션과 마찬가지로이 테셀레이션도 삼각형과 육각형으로 구성되지만 노드 주변의 분포는 3.3.3.3.6입니다. 그림 7은 이러한 유형의 테셀레이션을 명확하게 보여줍니다.

그림 7. 무딘 육각형 테셀레이션은 3.3.3.3.6 구성에서 16 개의 삼각형으로 둘러싸인 육각형으로 구성됩니다. 출처 : Wikimedia Commons.

예제 6 : 마름모-삼각형 테셀레이션

그림 8에 표시된 3.4.6.4 구성에서 삼각형, 정사각형 및 육각형으로 구성된 테셀레이션입니다.

그림 8. 3.4.6.4 구성에서 삼각형, 정사각형 및 육각형으로 구성된 반 정규 테셀레이션. 출처 : Wikimedia Commons.

불규칙한 테셀레이션

불규칙한 테셀레이션은 불규칙한 다각형 또는 정다각형으로 형성되지만 노드가 3 개 이상의 다각형의 꼭지점이라는 기준을 충족하지 않는 것입니다.

예제 7

그림 9는 모든 다각형이 규칙적이고 합동 인 불규칙한 테셀레이션의 예를 보여줍니다. 노드가 3 개 이상의 정사각형의 공통 정점이 아니고 모서리를 완전히 공유하지 않는 인접 정사각형도 있기 때문에 불규칙합니다.

그림 9. 모든 타일이 합동 사각형이지만 이것은 불규칙한 테셀레이션의 명확한 예입니다. 출처 : F. Zapata.

예 8

평행 사변형은 평평한 표면을 바둑판 식으로 배열하지만 정사각형이 아니면 규칙적인 테셀레이션을 형성 할 수 없습니다.

그림 10. 평행 사변형으로 형성된 테셀레이션은 모자이크가 비정규 다각형이기 때문에 불규칙합니다. 출처 : F. Zapata.

예 9

다음 그림과 같이 중심 대칭이있는 비정규 육각형은 평평한 표면을 테셀레이션합니다.

그림 11. 규칙적이지 않은 경우에도 중앙 대칭이있는 육각형은 평면을 테셀레이션합니다. 출처 : F. Zapata.

예제 10 : 카이로 테셀레이션

매우 흥미로운 테셀레이션으로, 변의 길이는 같지만 각도가 같지 않은 오각형으로 구성되어 있는데, 두 개는 직선이고 나머지 세 개는 각각 120º입니다.

그 이름은이 테셀레이션이 이집트 카이로의 일부 거리 포장 도로에서 발견된다는 사실에서 비롯된 것입니다. 그림 12는 Cairo의 테셀레이션을 보여줍니다.

그림 12. Cairo Tessellation. 출처 : Wikimedia Commons.

예제 11 : Al-Andalus 테셀레이션

안달루시아와 북아프리카의 일부 지역에서 테셀레이션은 초목과 같은 장식적인 요소 외에도 기하학과 서피 그래피가 특징입니다.

알함브라 궁전과 같은 궁전의 테셀레이션은 다양한 색상의 세라믹 조각으로 구성된 타일로 구성되어 있으며, 기하학적 패턴으로 펼쳐지는 여러 가지 (무한한 것은 아니지만) 모양이 있습니다.

그림 13. 알함브라 궁전의 테셀레이션. Tartaglia / 퍼블릭 도메인

예제 12 : 비디오 게임의 테셀레이션

테셀레이션이라고도하는이 게임은 비디오 게임에서 가장 인기있는 신기한 것 중 하나입니다. 시뮬레이터에 나타나는 다양한 시나리오의 테셀레이션을 시뮬레이션하기 위해 텍스처를 만드는 것입니다.

이것은 이러한 코팅이 현실의 경계를 넘어 계속 진화하고 있다는 분명한 반영입니다.

참고 문헌

수학을 즐기십시오. 테셀레이션. 출처 : enjoymatematicas.com
루비 뇨. 테셀레이션은 예제를 해결했습니다. 출처 : matematicasn.blogspot.com
Weisstein, Eric W. "반 정규 테셀레이션." Weisstein, Eric W, 편집. MathWorld. Wolfram Research.
Wikipedia. 모자이크 세공. 출처 : es.wikipedia.com
Wikipedia. 정규 테셀레이션. 출처 : es.wikipedia.com

테셀레이션 : 특성, 유형 (일반, 불규칙), 예 - 수학 - 2025