라플라스 변환 : 정의, 역사 및 목적 - 수학 - 2025

라플라스 변환은 , 공학, 수학, 다른 과학 영역 중 물리,뿐만 아니라 이론에 큰 관심의 복지에 큰 중요성 최근 몇 년 동안 있었다에서 오는 문제를 해결하는 간단한 방법을 제공하고있다 과학과 공학.

원래 Laplace 변환은 확률 이론에 대한 연구에서 Pierre-Simón Laplace에 의해 제시되었으며 처음에는 순전히 이론적 인 관심의 수학적 대상으로 취급되었습니다.

다양한 수학자들이 전자기 이론 방정식 연구에서 Heaviside가 사용하는 "작동 규칙"을 공식적으로 정당화하려고 할 때 현재 응용 프로그램이 발생합니다.

정의

f를 t ≥ 0에 대해 정의 된 함수라고합니다. 라플라스 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

라플라스 변환은 이전 적분이 수렴하면 존재한다고 말하고 그렇지 않으면 라플라스 변환은 존재하지 않는다고합니다.

일반적으로 소문자는 변환 할 함수를 나타내며 대문자는 변환에 해당합니다. 이런 식으로 우리는 다음을 갖게 될 것입니다.

예

상수 함수 f (t) = 1을 고려하십시오. 변환은 다음과 같습니다.

적분이 수렴 할 때마다, 즉 s> 0 일 때마다. 그렇지 않으면 s <0이면 적분이 발산합니다.

g (t) = t라고합시다. 라플라스 변환은 다음과 같이 제공됩니다.

부분으로 통합하고 t가 무한대이고 s> 0 일 때 te ^-st 가 0이되는 경향이 있다는 것을 알면 이전 예제와 함께

변환은 존재하거나 존재하지 않을 수 있습니다. 예를 들어 함수 f (t) = 1 / t의 경우 라플라스 변환을 정의하는 적분은 수렴하지 않으므로 변환이 존재하지 않습니다.

함수 f의 라플라스 변환이 존재 함을 보장하기에 충분한 조건은 f가 t ≥ 0에 대해 부분적으로 연속적이고 지수 순서라는 것입니다.

함수는 t ≥ 0에 대해 부분 연속이라고합니다. a> 0의 구간에 대해 유한 수의 점 t _{k가있을 때,} 여기서 f는 불연속성을 가지며 각 하위 구간에서 연속입니다.

반면에 함수는 다음과 같은 실제 상수 M> 0, c 및 T> 0이있는 경우 지수 순서 c라고합니다.

예를 들어 f (t) = t ² 는 -t ^2- <e ^3t for all t> 0 이므로 지수 순서 입니다.

공식적인 방법으로 우리는 다음 정리를 가지고 있습니다.

정리 (존재하기에 충분한 조건)

f가 t> 0이고 지수 순서 c에 대한 부분 연속 함수이면 s> c에 대한 라플라스 변환이 존재합니다.

이것이 충분한 조건이라는 점을 강조하는 것이 중요합니다. 즉, 이러한 조건을 충족하지 않는 함수가있을 수 있고 심지어 Laplace 변환이 존재하는 경우 일 수 있습니다.

이에 대한 예는 t ≥ 0에 대해 ^부분적 으로 연속적이지 않지만 라플라스 변환이 존재 하는 함수 f (t) = t ^-1/2 입니다.

일부 기본 기능의 라플라스 변환

다음 표는 가장 일반적인 함수의 라플라스 변환을 보여줍니다.

역사

라플라스 변형은 1749 년에 태어나 1827 년에 사망 한 프랑스의 수학자이자 이론적 인 천문학자인 피에르-시몬 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)에게 이름이 붙여졌습니다. 그의 명성은 그가 프랑스의 뉴턴 (Newton of France)으로 알려졌습니다.

1744 년 ​​Leonard Euler는

상미 분 방정식의 해답 이었지만 그는이 조사를 빨리 포기했습니다. 나중에 Euler를 크게 존경했던 Joseph Louis Lagrange도 이러한 유형의 적분을 조사하여 확률 이론과 연관 시켰습니다.

1782, 라플라스

1782 년에 라플라스는 미분 방정식에 대한 해답과 같은 적분을 연구하기 시작했고, 역사가들에 따르면 1785 년에 그는 문제를 재구성하기로 결정했으며, 나중에 오늘날 이해되는 라플라스 변환이 발생했습니다.

확률 이론 분야에 도입 되었기 때문에 당시 과학자들에게는 거의 관심이 없었으며 단지 이론적 인 관심을 가진 수학적 대상으로 만 간주되었습니다.

올리버 헤비 사이드

19 세기 중반 영국 엔지니어 Oliver Heaviside가 미분 연산자를 대수 변수로 취급 할 수 있다는 사실을 발견하여 Laplace 변환에 현대적인 적용을 제공했습니다.

Oliver Heaviside는 1850 년 런던에서 태어나 1925 년에 사망 한 영국의 물리학 자, 전기 공학자 및 수학자였습니다. 진동 이론에 적용된 미분 방정식 문제를 풀고 Laplace의 연구를 사용하면서 그는 Laplace 변환의 최신 응용 프로그램.

Heaviside가 제시 한 결과는 당시 과학계 전체에 빠르게 퍼졌지만 그의 작업이 엄격하지 않았기 때문에 그는보다 전통적인 수학자들로부터 빠르게 비판을 받았습니다.

그러나 물리학에서 방정식을 푸는 데있어서 Heaviside의 연구의 유용성은 그의 방법을 물리학 자와 엔지니어들에게 인기있게 만들었습니다.

이러한 좌절에도 불구하고 수십 년의 실패한 시도 끝에 20 세기 초 Heaviside가 제공 한 운영 규칙에 대해 엄격한 정당화가 주어질 수있었습니다.

이러한 시도는 Bromwich, Carson, van der Pol 등과 같은 다양한 수학자들의 노력 덕분에 결실을 맺었습니다.

속성

Laplace 변환의 속성 중 다음과 같은 점이 두드러집니다.

선형성

c1과 c2를 상수이고, 라플라스 변환이 각각 F (s) 및 G (s) 인 f (t) 및 g (t) 함수라고 가정하면 다음과 같이됩니다.

이 속성으로 인해 Laplace 변환은 선형 연산자라고합니다.

예

첫 번째 번역 정리

그럴 경우 :

그리고 'a'는 임의의 실수이므로 :

예

cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4)의 라플라스 변환 이후 :

두 번째 번역 정리

예

그래서

예

f (t) = t ^ 3이면 F (s) = 6 / s ^ 4. 따라서

은 G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

규모 변경

예

그리고 'a'는 0이 아닌 실수입니다.

예

f (t) = sin (t)의 변환은 F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1)이므로

라플라스의 파생 상품 변환

f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ 이 t ≥ 0에 대해 연속적이고 지수 차수이고 f ⁽ⁿ⁾ (t)가 t ≥ 0에 대해 부분 연속이면

적분의 라플라스 변환

예

그래서

t 곱하기

우리가해야하는 경우

그래서

t로 나누기

우리가해야하는 경우

그래서

주기적 기능

f를주기 T> 0, 즉 f (t + T) = f (t) 인주기 함수라고 가정합니다.

s가 무한대가되는 경향이 있으므로 F (s)의 동작

f가 부분적으로 연속적이고 지수 순서이고

그래서

역변환

라플라스 변환을 함수 f (t)에 적용하면이 변환을 나타내는 F (s)를 얻습니다. 같은 방식으로 f (t)는 F (s)의 역 라플라스 변환이며 다음과 같이 작성됩니다.

우리는 f (t) = 1 및 g (t) = t의 라플라스 변환이 각각 F (s) = 1 / s 및 G (s) = 1 / s ² 임을 알고 있습니다.

일반적인 역 라플라스 변환은 다음과 같습니다.

또한 역 라플라스 변환은 선형입니다. 즉,

운동

찾기

이 연습을 해결하려면 함수 F (s)를 이전 표 중 하나와 일치시켜야합니다. 이 경우 + 1 = 5를 취하고 역변환의 선형성 속성을 사용하면 곱하고 4로 나눕니다! 얻기

두 번째 역변환의 경우 부분 분수를 적용하여 함수 F (s)를 재 작성한 다음 선형성 속성을

이 예제에서 볼 수 있듯이 평가되는 함수 F (s)가 표에 제공된 함수와 정확히 일치하지 않는 것이 일반적입니다. 이러한 경우에는 알 수 있듯이 적절한 형식에 도달 할 때까지 함수를 다시 작성하는 것으로 충분합니다.

라플라스 변환의 응용

미분 방정식

라플라스 변환의 주요 응용 프로그램은 미분 방정식을 푸는 것입니다.

도함수의 변환 속성을 사용하면

n-1 미분의 Y는 t = 0에서 평가됩니다.

이 속성은 상수 계수가있는 미분 방정식이 관련된 초기 값 문제를 해결하는 데 변환을 매우 유용하게 만듭니다.

다음 예제는 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 푸는 방법을 보여줍니다.

예 1

다음과 같은 초기 값 문제를 고려

Laplace 변환을 사용하여 솔루션을 찾으십시오.

미분 방정식의 각 구성원에 Laplace 변환을 적용합니다.

미분 변환의 속성으로 우리는

모든 표현을 개발하고 Y (s)를 지우면

부분 분수를 사용하여 방정식의 우변을 다시 작성합니다.

마지막으로 우리의 목표는 미분 방정식을 만족하는 함수 y (t)를 찾는 것입니다. 역 라플라스 변환을 사용하면 결과를 얻을 수 있습니다.

예 2

풀다

앞의 경우와 마찬가지로 방정식의 양쪽에 변환을 적용하고 용어별로 용어를 분리합니다.

이런 식으로 우리는 결과적으로

주어진 초기 값으로 대체하고 Y (s)를 해결

간단한 분수를 사용하여 방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

역 Laplace 변환을 적용하면

이 예에서이 방법이 미분 방정식을 푸는 기존 방법보다별로 좋지 않다는 잘못된 결론을 내릴 수 있습니다.

라플라스 변환의 장점은 매개 변수 변동을 사용하거나 불확실한 계수 방법의 다양한 경우에 대해 걱정할 필요가 없다는 것입니다.

또한이 방법으로 초기 값 문제를 해결할 때 처음부터 초기 조건을 사용하므로 특정 솔루션을 찾기 위해 다른 계산을 수행 할 필요가 없습니다.

미분 방정식 시스템

라플라스 변환을 사용하여 다음 예제와 같이 상미 분 연립 방정식의 해를 찾을 수도 있습니다.

예

결의

초기 조건 x (0) = 8 및 y (0) = 3.

우리가해야하는 경우

그래서

해결하면 결과적으로

그리고 역 라플라스 변환을 적용하면

역학 및 전기 회로

Laplace 변환은 물리학에서 매우 중요하며 주로 역학 및 전기 회로에 적용됩니다.

간단한 전기 회로는 다음 요소로 구성됩니다.

스위치, 배터리 또는 소스, 인덕터, 저항 및 커패시터. 스위치가 닫히면 i (t)로 표시되는 전류가 생성됩니다. 커패시터의 전하는 q (t)로 표시됩니다.

Kirchhoff의 두 번째 법칙에 따르면 폐쇄 회로에서 소스 E에 의해 생성 된 전압은 각 전압 강하의 합과 같아야합니다.

전류 i (t)는 i = dq / dt에 의해 커패시터의 전하 q (t)와 관련됩니다. 반면에 각 요소의 전압 강하는 다음과 같이 정의됩니다.

저항의 전압 강하는 iR = R (dq / dt)입니다.

인덕터 양단의 전압 강하는 L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

커패시터 양단의 전압 강하는 q / C

이 데이터와 Kirchhoff의 2 번째 법칙을 단순 폐회로에 적용하면 시스템을 설명하고 q (t)의 값을 결정할 수있는 2 차 미분 방정식이 얻어집니다.

예

인덕터, 커패시터 및 저항은 그림과 같이 배터리 E에 연결됩니다. 인덕터는 2 헨리, 커패시터는 0.02 패럿, 저항은 16 옴입니다. 시간 t = 0에서 회로가 닫힙니다. E = 300 볼트 인 경우 언제든지 t> 0에서 충전 및 전류를 찾습니다.

이 회로를 설명하는 미분 방정식은 다음과 같습니다.

초기 조건은 q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0)입니다.

라플라스 변환을 적용하면

그리고 Q (t)

그런 다음 역 라플라스 변환을 적용하여

참고 문헌

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