이산 푸리에 변환 : 속성, 응용 프로그램, 예 - 수학

푸리에 변환은 이산 신호를 구성하는 주파수 스펙트럼 참조 샘플을 정의하는 데 사용되는 수치 방법이다. 닫힌 매개 변수의주기 함수를 연구하여 결과적으로 또 다른 이산 신호를 생성합니다.

N 포인트의 이산 푸리에 변환을 얻으려면 이산 신호에서 시퀀스 x에서 다음 두 가지 조건이 충족되어야합니다.

TDF

이산 푸리에 변환은 푸리에 변환의 N- 포인트 샘플링으로 정의 할 수 있습니다.

이산 푸리에 변환의 해석

출처 : Pexels

서열에서 얻어진 결과는 X되는 뷰의 2 점있다 _들 해석 될 수 의 이산 푸리에 변환을 통하여.

-첫 번째는 이미 푸리에 시리즈에서 알려진 스펙트럼 계수에 해당합니다. 샘플이 시퀀스 x _s 와 일치하는 이산주기 신호에서 관찰됩니다 .

-두 번째는 시퀀스 x _s에 해당하는 샘플로 이산 비주기 신호의 스펙트럼을 다룹니다 .

이산 변환은 원래 아날로그 신호의 스펙트럼에 대한 근사치입니다. 위상은 샘플링 순간에 따라 다르지만 크기는 샘플링 간격에 따라 다릅니다.

속성

구조의 대수적 기초가 다음 섹션의 근거를 구성합니다.

선형성

씨. S _n → C. 에프; 시퀀스에 스칼라를 곱하면 변환도됩니다.

T _N + V _N = F + F; 합계의 변환은 변환의 합계와 같습니다.

이중성

F → (1 / N) S _-k;이산 푸리에 변환이 이미 변환 된 식으로 다시 계산되면 동일한식이 얻어지고 N에서 배율이 조정되고 수직 축에 대해 반전됩니다.

회선

라플라스 변환에서와 유사한 목적을 추구하는 함수의 컨볼 루션은 푸리에 변환 간의 곱을 나타냅니다. 컨볼 루션은 이산 시간에도 적용되며 많은 현대 절차를 담당합니다.

X _n * R _n → F .F; 컨볼 루션의 변환은 변환의 곱과 같습니다.

X _n . R _n → F * F; 제품의 변환은 변환의 컨볼 루션과 같습니다.

배수량

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; 시퀀스가 m 개 샘플만큼 지연되는 경우 이산 변환에 미치는 영향은 (2π / N) km로 정의 된 각도의 수정입니다.

대칭

X _t = X * _t = X _t

조정

W ^-nm_N . x ↔ X _t

생성물

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

대칭

X ↔ X _t = X * _t

결합한

x * ↔ X * _t

구문 분석 방정식

기존의 푸리에 변환과 관련하여 몇 가지 유사점과 차이점이 있습니다. 푸리에 변환은 시퀀스를 실선으로 변환합니다. 이런 식으로 푸리에 변수의 결과는 실제 변수의 복잡한 함수라고합니다.

이산 푸리에 변환은 이와 달리 이산 신호를 수신하여 다른 이산 신호, 즉 시퀀스로 변환합니다.

이산 푸리에 변환이란 무엇입니까?

그들은 주로 방정식을 크게 단순화하는 동시에 파생 식을 거듭 제곱 요소로 변환하는 데 사용됩니다. 적분 가능한 다항식 형식의 미분 표현식을 나타냅니다.

결과의 최적화, 변조 및 모델링에서 표준화 된 표현의 역할을하며 여러 세대 후에 엔지니어링을위한 빈번한 리소스가됩니다.

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역사

이 수학적 개념은 열 전파에 관한 논문을 개발하면서 1811 년 Joseph B. Fourier에 의해 도입되었습니다. 다양한 과학 및 공학 분야에서 빠르게 채택되었습니다.

라플라스 변환과 상미 분 방정식 간의 기존 작업 관계와 비교하여 편미분 방정식 연구에서 주요 작업 도구로 설정되었습니다.

푸리에 변환으로 작업 할 수있는 모든 함수는 정의 된 매개 변수 외부에 null을 표시해야합니다.

이산 푸리에 변환과 그 역

이산 변환은 다음 식을 통해 얻습니다.

이산 시퀀스 X가 주어진 후

이산 푸리에 변환의 역은 다음 식을 통해 정의됩니다.

리버스 PTO

이산 변환이 이루어지면 시간 영역 X에서 시퀀스를 정의 할 수 있습니다.

숭고한

이산 푸리에 변환에 해당하는 매개 변수화 프로세스는 윈도우에 있습니다. 변환을 수행하려면 시퀀스를 시간적으로 제한해야합니다. 대부분의 경우 문제의 신호에는 이러한 제한이 없습니다.

이산 변환에 적용 할 크기 기준을 충족하지 않는 시퀀스는 제어 된 매개 변수에서 시퀀스의 동작을 정의하는 "창"함수 V로 곱해질 수 있습니다.

엑스. V

스펙트럼의 너비는 창의 너비에 따라 달라집니다. 창의 너비가 증가하면 계산 된 변환이 더 좁아집니다.

응용

기본 솔루션 계산

이산 푸리에 변환은 이산 시퀀스 연구에서 강력한 도구입니다.

이산 푸리에 변환은 연속 변수 함수를 이산 변수 변환으로 변환합니다.

열 방정식에 대한 코시 문제는 이산 푸리에 변환의 빈번한 적용 분야를 나타냅니다 . 열 또는 Dirichlet 코어의 핵심 기능이 생성되는 경우, 정의 된 매개 변수의 샘플링 값에 적용됩니다.

신호 이론

이 분기에서 이산 푸리에 변환을 적용하는 일반적인 이유는 주로 더 쉽게 처리 할 수있는 신호의 무한 중첩으로 신호의 특성 분해 때문입니다.

음파 또는 전자기 파일 수 있으며, 이산 푸리에 변환은 단순한 파동의 중첩으로 표현합니다. 이 표현은 전기 공학에서 매우 자주 발생합니다.

푸리에 시리즈

이들은 코사인과 사인으로 정의 된 시리즈입니다. 일반적인 주기적 기능으로 작업을 용이하게하는 역할을합니다. 적용되면 상미 분 방정식과 편미분 방정식을 푸는 기술의 일부입니다.

푸리에 급수는 Taylor 급수가없는 주기적 불연속 함수를 개발하기 때문에 Taylor 급수보다 훨씬 더 일반적입니다.

푸리에 급수의 다른 형태

푸리에 변환을 분석적으로 이해하려면 푸리에 시리즈가 복잡한 표기법으로 정의 될 때까지 푸리에 시리즈를 찾을 수있는 다른 방법을 검토하는 것이 중요합니다.

-기간 2L의 함수에 대한 푸리에 시리즈 :

기능의 대칭 적 특성을 활용할 때 이점을 제공하는 간격이 고려됩니다.

f가 짝수이면 푸리에 급수는 일련의 코사인으로 설정됩니다.

f가 홀수이면 푸리에 급수는 일련의 사인으로 설정됩니다.

-푸리에 시리즈의 복잡한 표기법

푸리에 급수의 모든 요구 사항을 충족하는 함수 f (t)가있는 경우 복잡한 표기법을 사용하여 간격으로 표시 할 수 있습니다.

예

기본 솔루션의 계산과 관련하여 다음 예제가 제공됩니다.

한편, 다음은 신호 이론 분야에서 이산 푸리에 변환을 적용한 예입니다.

-시스템 식별 문제. f 및 g 설립

-출력 신호의 일관성 문제

-신호 필터링 문제

식

연습 1

다음 시퀀스에 대한 이산 푸리에 변환을 계산합니다.

x의 PTO를 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

k = 0, 1, 2, 3 인 경우 X _t = {4, -j2, 0, j2}

연습 2

디지털 알고리즘을 통해 x (t) = e ^-t 식으로 정의 된 스펙트럼 신호를 결정하려고합니다 . 최대 주파수 요청 계수는 f _m = 1Hz입니다. 고조파는 f = 0.3Hz에 해당하며 오류는 5 % 미만으로 제한됩니다. 계산 F _S , D 및 N.

샘플링 정리 고려 f _s = 2f _m = 2 Hz

f ₀ = 0.1 Hz 의 주파수 분해능이 선택 되어 D = 1 / 0.1 = 10s를 얻습니다.

0.3Hz는 인덱스 k = 3에 해당하는 주파수이며 N = 3 × 8 = 24 개 샘플입니다. 그 지시 F _S = N / D = 2.4 10분의 24 => 2

목표는 N에 대해 가능한 가장 낮은 값을 얻는 것이므로 다음 값을 솔루션으로 고려할 수 있습니다.

f ₀ = 0.3Hz

D = 1 / 0.3 = 3.33 초

k = 1

N = 1 × 8 = 8

참고 문헌

1 차원, 2 차원 또는 여러 차원에서 이산 푸리에 변환 마스터하기 : 함정과 아티팩트. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 7 월 19 일. 2013 년
DFT : 이산 푸리에 변환에 대한 소유자 매뉴얼. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 월 1 일. 1995 년
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신호 분석 및 표현을위한 변환 및 고속 알고리즘. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 12 월 6 일. 2012 년
이산 및 연속 푸리에 변환 : 분석, 응용 및 고속 알고리즘. Eleanor Chu. CRC Press, 3 월 19 일. 2008 년

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