물리학의 궤적 : 특성, 유형, 예 및 연습 - 물리적 인 - 2026

물리학 의 궤적 은 이동 중에 연속적인 점을 통과 할 때 모빌이 설명하는 곡선입니다. 다양한 변형이 가능하기 때문에 모바일이 따라갈 수있는 궤적도 마찬가지입니다.

한 장소에서 다른 장소로 이동하기 위해 사람은 길과 길의 보도를 걸어서 통과하거나 자동차 나 오토바이를 타고 고속도로에 도착하는 등 다양한 경로와 방법을 선택할 수 있습니다. 숲 속을 걷는 동안 등산객은 회전, 수평 상승 또는 하강, 심지어 같은 지점을 여러 번 통과하는 복잡한 경로를 따라갈 수 있습니다.

그림 1. 각 위치 벡터의 끝점을 결합하면 경로를 따라 입자가 얻어집니다. 출처 : Algarabia

모바일이 이동하는 지점이 직선을 따라 가면 궤적이 직선이됩니다. 이것은 1 차원이므로 가장 간단한 경로입니다. 위치를 지정하려면 단일 좌표가 필요합니다.

그러나 모바일은 곡선 경로를 따라 닫거나 열 수 있습니다. 이 경우 위치를 추적하려면 두 개 또는 세 개의 좌표가 필요합니다. 이것들은 각각 평면과 공간에서의 움직임입니다. 이것은 링크와 관련이 있습니다 : 물질적 이동 조건을 제한합니다. 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

-태양 주위의 행성을 설명하는 궤도는 타원 모양의 닫힌 경로입니다. 어떤 경우에는 지구의 경우와 같이 원형으로 근사 할 수 있습니다.

-골키퍼가 골킥에서 차는 공은 포물선 궤적을 따릅니다.

-비행중인 새는 공간에서 곡선의 궤적을 설명합니다. 비행기를 타는 것 외에도 마음대로 수평을 올리거나 내릴 수 있기 때문입니다.

물리학의 궤적은 모바일의 위치를 ​​어느 순간에 알 수있을 때 수학적으로 표현할 수 있습니다. r을 위치 벡터 라고 합시다. 그러면 3 차원 운동의 가장 일반적인 경우에 x, y, z 좌표가 있습니다. r (t) 기능을 알면 궤도가 완전히 결정됩니다.

종류

일반적으로 궤적은 특히 수학적으로 표현하려는 경우 다소 복잡한 곡선 일 수 있습니다. 이러한 이유로, 우리는 모바일이 직선 또는 평면으로 이동하는 가장 단순한 모델부터 시작합니다. 바닥이나 다른 적절한 모델 일 수 있습니다.

1 차원, 2 차원, 3 차원의 움직임

가장 많이 연구 된 궤도는 다음과 같습니다.

- 직선 , 수평, 수직 또는 경 사진 직선으로 주행 할 때. 수직으로 위로 던져진 공이이 경로를 따르거나 경사면 아래로 미끄러지는 물체가 따라옵니다. 그것들은 1 차원 적 움직임이며, 하나의 좌표는 그들의 위치를 ​​완전히 결정하기에 충분합니다.

- 포물선 모바일은 포물선 아크를 설명하는. 중력 (발사체)의 작용하에 비스듬히 던져진 물체는이 궤적을 따르기 때문에 자주 발생합니다. 모바일의 위치를 ​​지정하려면 x와 y의 두 좌표를 제공해야합니다.

- 원형 , 움직이는 입자가 원을 따를 때 발생합니다. 그것은 또한 자연과 일상에서 흔합니다. 많은 일상적인 물체가 타이어, 기계 부품 및 궤도 위성과 같은 원형 경로를 따라 몇 가지 예를 제공합니다.

- 타원형 , 객체가 타원 을 따라 이동합니다. 처음에 말했듯이 그것은 태양 주위를 공전하는 행성들이 따라가는 경로입니다.

- 중심력 (중력)의 작용하에있는 쌍곡선 천체는 타원형 (닫힌) 또는 쌍곡선 (열린) 궤도를 따를 수 있으며, 이는 전자보다 빈도가 낮습니다.

- 나선형 , 또는 열 전류의 조류 상승의 같은 나선형 운동.

- 흔들림 또는 진자 , 모바일은 앞뒤로 움직이는 호를 설명합니다.

예

이전 섹션에서 설명한 궤적은 물체가 어떻게 움직이는 지 빠르게 파악하는 데 매우 유용합니다. 어쨌든 모바일의 궤적은 관찰자의 위치에 달려 있음을 명확히 할 필요가 있습니다. 즉, 각 사람의 위치에 따라 동일한 이벤트를 다른 방식으로 볼 수 있습니다.

예를 들어, 소녀는 일정한 속도로 페달을 밟고 공을 위쪽으로 던집니다. 그녀는 공이 직선 경로를 나타내는 것을 관찰합니다.

그러나 길에 서서 패스를 보는 관찰자에게는 공이 포물선으로 움직입니다. 그에게 공은 처음에는 소녀의 손으로 위로 속도와 자전거의 속도를 더한 결과 경 사진 속도로 던졌습니다.

그림 2.이 애니메이션은 자전거를 타는 소녀가 볼을 볼 때 (직선 궤적) 관찰자가 볼 때 (포물선 궤적) 공을 수직으로 던지는 모습을 보여줍니다. (F. Zapata 준비).

명시 적, 암시 적 및 매개 변수 방식의 모바일 경로

- 명시 적 , 방정식 y (x)에 의해 주어진 곡선이나 궤적을 직접 지정

- 암시 적 , 곡선이 f (x, y, z) = 0으로 표현됨

- 파라 , X 좌표가이 방법으로, y 및 z는, 일반적으로, 시간 t로 선택되고있는 파라미터의 함수로서 주어진다. 이 경우 궤적은 x (t), y (t) 및 z (t) 함수로 구성됩니다.

다음으로 운동학에서 광범위하게 연구 된 두 가지 궤적, 즉 포물선 궤적과 원형 궤적에 대해 자세히 설명합니다.

공허로 기울어 진 발사

물체 (발사체)는 그림과 같이 수평 및 초기 속도 v _o 로 각도 a로 던집니다 . 공기 저항은 고려되지 않습니다. 움직임은 두 개의 독립적이고 동시적인 움직임으로 취급 할 수 있습니다. 하나는 일정한 속도를 가진 수평이고 다른 하나는 중력의 작용을받는 수직입니다.

이 방정식은 발사체 발사의 매개 변수 방정식입니다. 위에서 설명했듯이 이들은 시간이라는 공통 매개 변수 t를 갖습니다.

그림의 직각 삼각형에서 다음을 볼 수 있습니다.

그림 3. 속도 벡터의 구성 요소가 표시된 포물선 궤도와 발사체 H는 최대 높이이고 R은 최대 수평 도달 거리입니다. 출처 : Ayush12gupta

시작 각도를 포함하는 이러한 방정식을 파라 메트릭 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

포물선 경로의 방정식

경로의 명시 적 방정식은 x (t)에 대한 방정식에서 t를 풀고 y (t)에 대한 방정식을 대체하여 구합니다. 대수 작업을 용이하게하기 위해 원점 (0,0)이 시작 지점에 있으므로 x _o = y _o = 0 이라고 가정 할 수 있습니다 .

이것은 명시적인 형태의 경로 방정식입니다.

원형 경로

순환 경로는 다음과 같이 지정됩니다.

그림 4. 입자가 평면에서 원형 경로로 이동합니다. 출처 : Wikimedia Commons에서 F. Zapata에 의해 수정 됨.

여기서 x _또는 yy _o 는 모바일이 설명하는 원주의 중심을 나타내고 R은 반경입니다. P (x, y)는 경로의 한 지점입니다. 음영 처리 된 직각 삼각형 (그림 3)에서 다음을 확인할 수 있습니다.

이 경우 매개 변수는 각도 변위라고하는 스위프 각도 θ입니다. 각속도 ω (단위 시간당 스윕 된 각도)가 일정한 경우 다음과 같이 말할 수 있습니다.

여기서 θ _o 는 입자의 초기 각도 위치이며 0으로 취하면 다음과 같이 감소합니다.

이 경우 시간은 다음과 같은 파라 메트릭 방정식으로 돌아갑니다.

단위 벡터 i 와 j 는 객체 r (t) 의 위치 함수를 작성하는 데 매우 편리합니다 . x 축과 y 축의 방향을 각각 나타냅니다. 즉, 균일 한 원 운동을 설명하는 입자의 위치는 다음과 같습니다.

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

해결 된 운동

해결 된 운동 1

대포는 200m / s의 속도와 수평에 대해 40º의 각도로 총알을 발사 할 수 있습니다. 던지기가 평평한 바닥에 있고 공기 저항이 무시되면 다음을 찾으십시오.

a) 경로의 방정식 y (x) ..

b) 모수 방정식 x (t) 및 y (t).

c) 수평 범위 및 발사체가 공중에서 지속되는 시간.

d) x = 12,000 m 일 때 발사체의 높이

해결책)

a) 궤적을 찾기 위해 이전 섹션의 방정식 y (x)에 주어진 값이 대체됩니다.

솔루션 b)

b) 시작점은 좌표계 (0,0)의 원점에서 선택됩니다.

솔루션 c)

c) 발사체가 공중에서 지속되는 시간을 찾으려면 y (t) = 0으로 설정하고 평평한지면에서 발사합니다.

최대 수평 도달 거리는이 값을 x (t)로 대체하여 구합니다.

x _max를 직접 찾는 또 다른 방법 은 경로 방정식에서 y = 0을 설정하는 것입니다.

소수 반올림으로 인해 약간의 차이가 있습니다.

해결책 d)

d) x = 12000m 일 때 높이를 찾기 위해이 값은 경로 방정식에서 직접 대체됩니다.

운동 해결 2

객체의 위치 함수는 다음과 같이 지정됩니다.

r (t) = 3t i + (4 -5t ² ) j m

찾기:

a) 경로에 대한 방정식. 어떤 곡선입니까?

b) 초기 위치 및 t = 2s 일 때의 위치.

c) t = 2s 이후에 만들어진 변위.

해결책

a) 위치 함수는 각각 x 및 y 축의 방향을 결정하는 단위 벡터 i 및 j 로 주어졌습니다 .

경로 y (x)의 방정식은 x (t)에서 t를 풀고 y (t)로 대체하여 구합니다.

b) 초기 위치 : r (2) = 4 j m; t = 2s에서의 위치는 r (2) = 6 i -16 j m

c) 변위 D r 은 두 위치 벡터를 뺀 값입니다.

운동 해결 3

지구는 반지름 R = 6300km이며 축을 중심으로 한 운동의 회전주기는 하루 인 것으로 알려져 있습니다. 찾기:

a) 지구 표면상의 한 지점의 궤적과 그 위치 함수의 방정식.

b) 그 지점의 속도와 가속도.

해결책)

a) 원형 궤도의 모든 지점에 대한 위치 함수는 다음과 같습니다.

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

우리는 지구 R의 반경을 가지고 있지만 각속도 ω는 아니지만 원형 운동의 경우 다음과 같이 말하는 것이 타당하다는 것을 알고 기간으로부터 계산할 수 있습니다.

이동 기간은 1 일 = 24 시간 = 1440 분 = 86400 초이므로 다음과 같습니다.

위치 함수에서 대체 :

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j ) Km

매개 변수 형식의 경로는 다음과 같습니다.

솔루션 b)

b) 원 운동의 경우 한 점의 선 속도 v의 크기는 다음과 같이 각속도 w와 관련됩니다.

145.8m / s의 일정한 속도를 가진 운동이라 할지라도, 점을 회전시키는 역할을 담당하는 원형 궤도의 중심을 향하는 가속도가 있습니다. _c 에서의 구심 가속도는 다음과 같습니다.

참고 문헌

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