x ^ 2 + bx + c 형태 의 삼항식 을 풀기 전에 , 그리고 삼항식의 개념을 알기 전에도 두 가지 본질적인 개념을 아는 것이 중요합니다. 즉, 단항식과 다항식의 개념입니다. 단항식은 a * x n 유형의 표현식입니다. 여기서 a는 유리수, n은 자연수, x는 변수입니다.
다항식은 a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0 형식의 단항식의 선형 조합입니다 . 여기서 각 a i , i = 0,…, n은 유리수, n은 자연수, a_n은 0이 아닙니다. 이 경우 다항식의 차수는 n이라고합니다.
각도가 다른 두 항 (두 단항식)의 합으로 구성된 다항식을 이항이라고합니다.
삼항식
서로 다른 정도의 3 개 항 (3 개의 단항식)의 합으로 이루어진 다항식을 삼항식이라고합니다. 다음은 삼항식의 예입니다.
- x 3 + x 2 + 5 배
- 2 × 4 -x 3 +5
- x 2 + 6x + 3
삼항식에는 여러 유형이 있습니다. 이 중에서 완벽한 제곱 삼항식이 두드러집니다.
완전 제곱 삼항
완전 제곱 삼항식은 이항을 제곱 한 결과입니다. 예를 들면 :
- (3X-2) 2 = 9 배 2 -12x + 4
- (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
- (4X 2 -2y 4 ) 2 = 16 배 (4) -16 배 2 Y 4 + 4Y 8
- 1 / 16X 2 Y 8 -1 / 마찬가지로 Y (4) Z, Z + 2 = (1 / 4xy 4 ) (2) -2 (1 / 4xy 4 ) Z, Z + 2 = (1 / 4xy 4 -z) 2
2 등급 삼항식의 특성
완전 제곱
일반적으로 ax 2 + bx + c 형식의 삼항식은 판별자가 0이면 완전 제곱입니다. 즉, b 2 -4ac = 0이면,이 경우 단일 근을 가지며 a (xd) 2 = (√a (xd)) 2 형식으로 표현할 수 있습니다 . 여기서 d는 이미 언급 된 근입니다.
다항식의 근은 다항식이 0이되는 숫자입니다. 즉, 다항식에서 x를 대체 할 때 0이되는 숫자입니다.
공식 해결
ax 2 + bx + c 형식의 2 차 다항식의 근을 계산하는 일반 공식 은 이러한 근이 (–b ± √ (b 2 -4ac)) / 여기서 b 2 -4ac는 판별 자로 알려져 있으며 일반적으로 ∆로 표시됩니다. 이 공식에서 ax 2 + bx + c는 다음과 같습니다 .
-∆> 0 인 경우 두 개의 다른 실수 근.
-∆ = 0 인 경우 단일 실수 근.
-∆ <0이면 실제 근이 없습니다.
다음에서는 x 2 + bx + c 형식의 삼항식 만 고려됩니다. 여기서 c는 0이 아닌 숫자 여야합니다 (그렇지 않으면 이항식). 이러한 유형의 삼항식은 인수 분해하고 사용할 때 특정 이점이 있습니다.
기하학적 해석
기하학적 상기 삼항식 X 2 + BX + C 위쪽으로 열고 포인트에서 정점 (-b / 2 -b 갖는 포물선 2 X 직교 평면 / 4 + C)를 2 + BX + C = ( X + B / 2) 2 -b 2 / 4 + C.
이 포물선은 점 (0, c)에서 Y 축을 자르고 점 (d 1 , 0) 및 (d 2 , 0) 에서 X 축을 자릅니다 . d 1 과 d 2 는 삼항식의 근입니다. 삼항식에 단일 루트 d가있을 수 있으며,이 경우 X 축을 사용하는 유일한 절단은 (d, 0)입니다.
또한 삼항식에 실제 근이없는 경우도 발생할 수 있으며,이 경우 어떤 지점에서도 X 축과 교차하지 않습니다.
예를 들어, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 는 정점이 (-3,0)에있는 포물선으로, (0, 9) 및 (-3,0)에서 X 축에.
삼항 인수 분해
다항식으로 작업 할 때 매우 유용한 도구는 다항식을 요인의 곱으로 표현하는 인수 분해입니다. 일반적으로 x 2 + bx + c 형식의 삼항식이 주어 졌을 때 두 개의 다른 근 d 1 과 d 2 가 있으면 (xd 1 ) (xd 2 ) 로 인수 분해 될 수 있습니다 .
단일 근 d가있는 경우 (xd) (xd) = (xd) 2 로 인수 분해 될 수 있으며 실제 근이 없으면 동일하게 남습니다. 이 경우에는 자신이 아닌 다른 요인의 산물로 분해를 인정하지 않습니다.
이것은 이미 확립 된 형태의 삼항식의 뿌리를 알면 분해를 쉽게 표현할 수 있으며 이미 위에서 언급했듯이 이러한 뿌리는 항상 리졸 턴트를 사용하여 결정될 수 있음을 의미합니다.
그러나 이러한 유형의 삼항식은 뿌리를 먼저 알지 않고도 인수 분해 할 수있는 상당량의 삼항식이 있으므로 작업을 단순화합니다.
분해 공식을 사용하지 않고 분해에서 직접 근을 결정할 수 있습니다. 이것들은 x 2 + (a + b) x + ab 형식의 다항식입니다 . 이 경우에는 다음이 있습니다.
x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).
이로부터 뿌리가 –a와 –b임을 쉽게 알 수 있습니다.
즉, 삼항식 x 2 + bx + c가 주어지면 c = uv 및 b = u + v 인 두 개의 숫자 u와 v가 있으면 x 2 + bx + c = (x + u) (x + v)입니다.
즉, 삼항식 x 2 + bx + c 가 주어지면 먼저 곱하여 독립 항 (c)을 제공하고 추가 (또는 경우에 따라 빼기)하는 두 개의 숫자가 있는지 확인하고 x ( 비).
이런 식으로 모든 삼항식에이 방법을 적용 할 수있는 것은 아닙니다. 불가능한 경우에는 해상도를 사용하고 앞서 언급 한 내용이 적용됩니다.
예
예 1
다음 삼항 x 2 + 3x + 2 를 인수 분해하려면 다음 과 같이 진행하십시오.
두 수를 더할 때 결과가 3이고 곱하면 결과가 2가되도록 두 개의 숫자를 찾아야합니다.
검사 후 검색된 숫자는 2와 1이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1)입니다.
예 2
삼항 x 2 -5x + 6 을 인수 분해하기 위해 합이 -5이고 곱이 6 인 두 숫자를 찾습니다.이 두 조건을 충족하는 숫자는 -3과 -2입니다. 따라서 주어진 삼항식의 분해는 x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2)입니다.
참고 문헌
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