- 벡터의 요소
- 벡터의 직사각형 구성 요소
- 벡터의 극형
- 종류
- 직교 단위 벡터
- 벡터 추가
- 벡터 덧셈의 속성
- 벡터 예
- 벡터 간의 다른 작업
- 스칼라와 벡터의 곱
- 벡터 간의 내적 또는 내적
- 벡터 간 외적 또는 벡터 곱
- 단위 벡터 간의 외적
- 해결 된 운동
- - 연습 1
- 해결책
- -연습 2
- 해결책
- 참고 문헌
벡터는 일반적으로 잘 측정 단위 -positiva- 크기와 방향을 동반 한 수학 엔티티입니다. 이러한 특성은 속도, 힘, 가속도 등과 같은 물리량을 설명하는 데 매우 적합합니다.
벡터를 사용하면 더하기, 빼기 및 곱과 같은 작업을 수행 할 수 있습니다. 나눗셈은 벡터에 대해 정의되지 않았으며 곱의 경우 나중에 설명 할 세 가지 클래스가 있습니다 : 내적 또는 점, 벡터 곱 또는 교차 및 벡터에 의한 스칼라의 곱.
그림 1. 벡터의 요소. 출처 : Wikimedia Commons.
벡터를 완전히 설명하려면 모든 특성을 표시해야합니다. 크기 또는 모듈은 단위가 수반되는 숫자 값이며 방향과 감각은 좌표계의 도움으로 설정됩니다.
예를 들어 보겠습니다. 비행기가 NE 방향으로 850km / h의 속도로 한 도시에서 다른 도시로 비행한다고 가정합니다. 여기에는 크기가 850km / h이고 방향과 감각이 NE이므로 완전히 지정된 벡터가 있습니다.
벡터는 일반적으로 길이가 크기에 비례하는 방향이 지정된 선분으로 그래픽으로 표시됩니다.
방향과 감각을 지정하려면 일반적으로 수평 축인 기준선이 필요하지만 북쪽도 기준으로 사용할 수 있습니다. 비행기 속도의 경우도 마찬가지입니다.
그림 2. 속도 벡터. 출처 : F. Zapata.
로 표시 항공기의 속도 벡터 도형 방송 V 에서 굵은 글씨는 단지 수치를 요구하는 스칼라 양, 일부 장치들과 구별하기 위해 지정한다.
벡터의 요소
앞서 말했듯이 벡터의 요소는 다음과 같습니다.
-크기 또는 모듈, 벡터의 절대 값 또는 표준이라고도합니다.
-주소
-감각
그림 2의 예에서 v 의 계수 는 850km / h입니다. 모듈러스는 굵은없이 V로 표시하거나, 또는, - V - 바는 절대 값을 나타내며.
v 의 방향은 북쪽을 기준으로 지정됩니다. 이 경우 동쪽에서 45º 북쪽 (45º NE)입니다. 마지막으로 화살표 끝은 v 의 의미를 알려줍니다 .
이 예에서는 벡터의 원점이 좌표계의 원점 O와 일치하도록 그려져 있으며,이를 연결된 벡터라고합니다. 반면에 벡터의 원점이 참조 시스템의 원점과 일치하지 않으면 자유 벡터라고합니다.
벡터를 완전히 지정하려면이 세 가지 요소에주의해야합니다. 그렇지 않으면 벡터에 대한 설명이 불완전합니다.
벡터의 직사각형 구성 요소
그림 3. 평면에서 벡터의 직사각형 구성 요소. 출처 : Wikimedia Commons. 우란 더
이미지 에는 xy 평면에있는 예제 벡터 v 가 있습니다.
x 및 y 좌표축에서 v의 투영이 직각 삼각형을 결정한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 예측은 브이있다 Y 및 V의 X 및 직사각형 컴포넌트 불리는 브이 .
v 를 직사각형 구성 요소 로 표시하는 한 가지 방법 은 다음과 같습니다. v =
벡터가 3 차원 공간에 있으면 구성 요소가 하나 더 필요하므로 다음을 수행합니다.
v =
다리 브이되는 직각 삼각형의 빗변 찾아 동등한 벡터의 크기를 산출 직사각형 성분 알면 X 및 V 와 . 피타고라스 정리를 통해 다음과 같습니다.
벡터의 극형
상기 벡터의 크기의 경우 - V - 그것을 기준 축을 일반적으로 가로 축과 만드는 각도 θ가 알려져 있으며, 벡터도 지정된다. 그런 다음 벡터는 극성 형식으로 표현된다고합니다.
이 경우 직사각형 구성 요소는 쉽게 계산됩니다.
위의 내용에 따르면 평면 의 속도 벡터 v 의 직사각형 구성 요소 는 다음과 같습니다.
종류
여러 유형의 벡터가 있습니다. 속도, 위치, 변위, 힘, 전기장, 운동량 등의 벡터가 있습니다. 이미 말했듯이 물리학에는 많은 수의 벡터 양이 있습니다.
특정 특성을 가진 벡터와 관련하여 다음 유형의 벡터를 언급 할 수 있습니다.
-null : 이것들은 그 크기가 0이고,로 표시되는 벡터이다 0. 일반 문자 만 모듈을 나타낸다 굵은 문자, 벡터의 세 가지 기본 특성을 상징 기억이.
예를 들어, 정적 평형 상태의 물체에서 힘의 합은 null 벡터 여야합니다.
- 자유 및 링크 : 자유 벡터는 원점과 도착 지점이 평면 또는 공간에있는 한 쌍의 점인 링크 된 벡터와 달리 원점을 설명하는 데 사용 된 참조 시스템의 원점과 일치하는 벡터입니다.
한 쌍이 특정 지점에 적용되지 않기 때문에 몇 가지 힘에 의해 생성 된 쌍 또는 모멘트는 자유 벡터의 좋은 예입니다.
- Equipolentes을 : 그들은 동일한 특성을 공유하는 두 무료 벡터이다. 따라서 그들은 동일한 크기, 방향 및 감각을 가지고 있습니다.
- 동일 평면 또는 평면 : 동일한 평면에 속하는 벡터.
- 반대 : 크기와 방향은 같지만 방향이 반대 인 벡터. 벡터 대향 벡터 V는 - 벡터이고 V : 널 벡터 및 양자의 합인 V + (- V ) = 0 .
- 동시 : 그 작업의 라인 벡터가 모두 동일한 지점 통과한다.
- 슬라이더 : 특정 선을 따라 적용 포인트가 미끄러질 수있는 벡터입니다.
- 동일 선상 : 같은 줄에있는 벡터.
- 유니 터리 : 그 모듈 1 백터이다.
직교 단위 벡터
물리학에서 직교 단위 벡터라는 매우 유용한 유형의 벡터가 있습니다. 직교 단위 벡터는 1과 동일한 모듈을 가지며 단위는 예를 들어 속도, 위치, 힘 또는 기타 단위가 될 수 있습니다.
다른 벡터를 쉽게 표현하고 연산을 수행하는 데 도움이되는 특수 벡터 세트가 있습니다. 이들은 서로 직교하는 단위 벡터 i , j 및 k , 단위이며 서로 수직입니다.
2 차원에서 이러한 벡터는 x 축과 y 축의 양의 방향을 따라 향합니다. 그리고 3 차원에서 단위 벡터는 양의 z 축 방향으로 추가됩니다. 다음과 같이 표시됩니다.
나는 = <1, 0.0>
j = <0,1,0>
k = <0,0,1>
벡터는 다음과 같이 단위 벡터 i , j 및 k 로 나타낼 수 있습니다 .
v = v x i + v y j + v z k
예를 들어, 이전 예제 의 속도 벡터 v 는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
v = 601.04 i + 601.04 j km / h
이 벡터는 평면에 있으므로 k 의 구성 요소 는 필요하지 않습니다.
벡터 추가
벡터의 합은 다양한 상황에서 매우 자주 나타납니다. 예를 들어 다양한 힘의 영향을받는 물체에 대한 결과적인 힘을 찾으려는 경우입니다. 시작하려면 왼쪽의 다음 그림과 같이 평면에 두 개의 자유 벡터 u 와 v 가 있다고 가정합니다 .
그림 4. 두 벡터의 그래픽 합계. 출처 : Wikimedia Commons. Lluc cabanach.
크기, 방향 또는 감각을 수정하지 않고 즉시 벡터 v로 조심스럽게 전달되어 원점이 u 의 끝과 일치하도록합니다 .
벡터 합은 w 라고 하며 오른쪽 그림에 따라 u에서 시작하여 v로 끝나는 벡터 합계를 그립니다 . 벡터 w 의 크기가 반드시 v 와 u 의 크기의 합인 것은 아니라는 점에 유의하는 것이 중요합니다 .
신중하게 생각하면 결과 벡터의 크기가 덧셈 크기의 합이되는 유일한 경우는 두 덧셈이 같은 방향에 있고 같은 의미를 가질 때입니다.
벡터가 자유롭지 않으면 어떻게 될까요? 추가하는 것도 매우 쉽습니다. 이를 수행하는 방법은 구성 요소에 구성 요소를 추가하거나 분석 방법을 사용하는 것입니다.
예를 들어 다음 그림의 벡터를 고려해 보겠습니다. 먼저 앞서 설명한 데카르트 방식 중 하나로 벡터를 표현해야합니다.
그림 5. 연결된 두 벡터의 합계. 출처 : Wikimedia Commons.
v = <5.1>
u = <2,3>
합 벡터 w 의 x 성분을 구하려면 v 와 u 의 각 x 성분을 더하십시오 . w x = 5 + 2 = 7 그리고 w y 를 얻기 위해 유사한 절차를 따릅니다 : w y = 1 + 3. 그러므로:
u = <7.4>
벡터 덧셈의 속성
-두 개 이상의 벡터의 합이 다른 벡터가됩니다.
-교환 적이며 가산 순서는 다음과 같은 방식으로 합계를 변경하지 않습니다.
u + v = v + u
- 벡터 합의 중립 요소는 null 벡터입니다. v + 0 = v
- 두 벡터의 빼기는 반대의 합으로 정의됩니다. v-u = v + (-u)
벡터 예
우리가 말했듯이 물리학에는 수많은 벡터 수량이 있습니다. 가장 잘 알려진 것은 다음과 같습니다.
-위치
-배수량
-평균 속도 및 순간 속도
-가속
-힘
-이동량
-힘의 토크 또는 모멘트
-충동
-전기장
-자기장
-자기 순간
반면에, 그들은 벡터가 아니라 스칼라입니다.
-날씨
-질량
-온도
-음량
-밀도
-기계 작업
-에너지
-뜨거운
-힘
-전압
-전류
벡터 간의 다른 작업
벡터의 덧셈과 뺄셈 외에도 벡터간에 매우 중요한 세 가지 연산이 있습니다. 왜냐하면 매우 중요한 새로운 물리량을 발생시키기 때문입니다.
-스칼라를 벡터로 곱한 값입니다.
-벡터 간의 내적 또는 내적
-그리고 두 벡터 사이의 교차 또는 벡터 곱.
스칼라와 벡터의 곱
힘 F 와 가속도 a 가 비례 한다는 뉴턴의 두 번째 법칙을 고려하십시오 . 비례 상수는 물체의 질량 m이므로 다음과 같습니다.
F = m. 에
질량은 스칼라입니다. 그 부분에서 힘과 가속도는 벡터입니다. 힘은 질량에 가속도를 곱하여 얻어 지므로 스칼라와 벡터의 곱의 결과입니다.
이 유형의 제품은 항상 벡터가됩니다. 여기에 또 다른 예가 있습니다 : 움직임의 양. 하자 P가 될 운동량 벡터, V 속도 벡터, 그리고 언제나처럼, m은 질량 :
P = m. V
벡터 간의 내적 또는 내적
벡터가 아닌 수량 목록에 기계 작업을 배치했습니다. 그러나 물리학에서의 작업은 스칼라 곱, 내적 또는 내적이라고하는 벡터 간의 연산 결과입니다.
벡터 v 및 u 를 다음과 같이 점 또는 스칼라 곱으로 정의합니다.
V ∙ 유 = - 절 - ∙ - 유 -.cos θ
여기서 θ는 둘 사이의 각도입니다. 표시된 방정식에서 내적의 결과가 스칼라이고 두 벡터가 모두 수직이면 내적은 0임을 즉시 알 수 있습니다.
다시 기계적 작업 W로 돌아 가면 이것은 힘 벡터 F 와 변위 벡터 ℓ 사이의 스칼라 곱 입니다.
벡터를 구성 요소로 사용할 수 있으면 내적도 계산하기가 매우 쉽습니다. 만약 브이 =
v ∙ u = v x u x + v y u y + v z u z
벡터 간의 내적은 교환 적이므로 다음과 같습니다.
v ∙ u = u ∙ v
벡터 간 외적 또는 벡터 곱
만약 V와 u는 우리의 두 예 벡터를, 우리는 벡터 제품으로 정의 :
v x u = w
외적은 즉시 다음과 같이 정의 된 모듈러스를 갖는 벡터를 생성합니다.
여기서 θ는 벡터 사이의 각도입니다.
외적은 교환 적이 지 않으므로 v x u ≠ u x v입니다. 사실 v x u =-(u x v).
두 예제 벡터를 단위 벡터로 표현하면 벡터 곱의 계산이 용이 해집니다.
v = v x i + v y j + v z k
u = u x i + u y j + u z k
단위 벡터 간의 외적
동일한 단위 벡터 간의 외적은 그 사이의 각도가 0º이므로 0입니다. 그러나 다른 단위 벡터 사이의 각도는 90º이고 sin 90º = 1입니다.
다음 다이어그램은 이러한 제품을 찾는 데 도움이됩니다. 화살표 방향으로는 양의 방향이고 반대 방향으로는 음의 방향입니다.
나는 x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; 나는 x k = -j
벡터 간의 곱과 단위 벡터의 속성에 대해 여전히 유효한 분배 속성을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
v x u = (v x i + v y j + v z k ) x (u x i + u y j + u z k ) =
해결 된 운동
- 연습 1
주어진 벡터 :
v = -5 i + 4 j + 1k
u = 2 나는 -3 j + 7k
v + u + w 의 합 이 6 i +8 j -10 k가 되려면 벡터 w 는 무엇이어야 합니까?
해결책
따라서 다음을 충족해야합니다.
답은 다음과 같습니다. w = 9 i +7 j -18 k
-연습 2
연습 1에서 벡터 v 와 u 사이의 각도는 얼마입니까?
해결책
내적을 사용하겠습니다. 정의에서 우리는 :
v ∙ u = -10-12 + 7 = -15
다음 값으로 대체 :
참고 문헌
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- Giancoli, D. 2006. Physics : Principles with Applications. 6 일. 에드 프렌 티스 홀.
- Rex, A. 2011. 물리학의 기초. 피어슨.
- 시어스, 제만 스키. 2016. 현대 물리학과 대학 물리학. 14 일. Ed. 볼륨 1.
- Serway, R., Jewett, J. 2008. 과학 및 공학을위한 물리학. 1 권. Ed. Cengage Learning.