동시 벡터 : 특성, 예 및 연습 - 수학 - 2026

동시 벡터 축이 내외부 다른 각도의 각각의 쌍간에 형성 한 점에서 일치 벡터 기이다. 아래 그림에서 A, B 및 C가 서로 동시적인 벡터 인 명확한 예를 볼 수 있습니다.

나머지와 달리 D와 E는 그렇지 않습니다. 동시 벡터 AB, AC 및 CB 사이에는 각도가 형성됩니다. 이를 벡터 간의 관계 각도라고합니다.

형질

-원점과 일치하는 공통 점이 있습니다. 동시 벡터의 모든 크기는 공통 점에서 각 끝까지 시작됩니다.

-원점은 벡터의 작용점으로 간주됩니다 : 각 동시 벡터에 의해 직접 영향을받을 행동 점을 설정해야합니다.

-평면과 공간의 영역은 각각 R ² 및 R ³ 입니다. 동시 벡터는 전체 기하학적 공간을 자유롭게 커버 할 수 있습니다.

-동일한 벡터 그룹에서 다른 표기법을 허용합니다. 연구 분야에 따르면 벡터를 사용한 연산에는 다른 표기법이 있습니다.

벡터 유형

벡터의 가지에는 여러 세분화가 있으며 그중 일부는 병렬, 수직, 동일 평면, 대응, 반대 및 단일 등의 이름을 지정할 수 있습니다. 동시 벡터가 여기에 나열되어 있으며 위에 언급 된 모든 벡터와 마찬가지로 서로 다른 과학에서 많은 응용 프로그램이 있습니다.

벡터를 사용하는 작업에서 유용한 일반화를 나타 내기 때문에 벡터 연구에서 매우 일반적입니다. 평면과 공간 모두에서 동시 벡터는 일반적으로 다른 요소를 표현하고 특정 시스템에 미치는 영향을 연구하는 데 사용됩니다.

벡터 표기법

벡터 요소를 표현하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 잘 알려진 주요 사항은 다음과 같습니다.

데카르

이 동일한 수학적 접근 방식에 의해 제안되며 각 축 (x, y, z)의 크기에 해당하는 트리플을 갖는 벡터를 나타냅니다.

A : (1, 1, -1) 공간 A : (1, 1) 평면

극선

적분 미적분에서는 깊이 구성 요소가 할당되지만 평면에서 벡터를 나타내는 데만 사용됩니다. 선형 크기 r 과 극축 Ɵ에 대한 각도 로 구성됩니다 .

A : (3, 45 ⁰ ) Plane A : (2, 45 ⁰ , 3) 공간

분석

그들은 versores를 사용하여 벡터의 크기를 정의합니다. versores (i + j + k)는 X, Y 및 축에 해당하는 단위 벡터를 나타냅니다.

A : 3i + 2j-3k

구의

이들은 극좌표 표기법과 유사하지만 δ로 상징되는 xy 평면을 스위핑하는 두 번째 각도를 추가 합니다.

A : (4, 60 ^또는 , π / 4)

동시 벡터 연산

동시 벡터는 벡터가 동시에 표시 될 때 벡터의 요소를 비교하는 것이 더 쉽기 때문에 벡터 간의 연산을 정의하는 데 주로 사용됩니다.

합계 (A + B)

동시 벡터의 합은 결과 벡터 V _r 을 찾는 것을 목표로합니다 . 연구 분야에 따르면 최종 조치에 해당

예 : 3 개의 문자열 {A, B, C}는 상자에 묶여 있고 문자열의 각 끝은 한 주제에 의해 유지됩니다. 3 명의 피험자는 각각 다른 2 명과는 다른 방향으로 로프를 당겨야합니다.

A : (ax, ay, az) B : (bx, by, bz) C : (cx, cy, cz)

A + B + C = (AX + BX + CX; AY + + CY 의해, AZ BZ + + CZ) = V의 _(R)

상자는 한 방향으로 만 이동할 수 있으므로 V _r 은 상자의 이동 방향과 방향을 나타냅니다.

차이 (A-B)

벡터 간의 차이에 관한 많은 기준이 있으며, 많은 저자는이를 배제하고 벡터 간의 합계 만 규정되어 있으며, 여기서 차이는 반대 벡터의 합에 관한 것입니다. 진실은 벡터를 대수적으로 뺄 수 있다는 것입니다.

A : (ax, ay, az) B : (bx, by, bz)

A-B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

스칼라 곱 (A. B)

내적이라고도하며 연구 분야에 따라 다양한 크기와 관련 될 수있는 스칼라 값을 생성합니다.

기하학의 경우 평행 사변형 방법을 통해 한 쌍의 동시 벡터에 의해 형성된 평행 사변형의 면적을 나타냅니다. 기계 물리학의 경우 물체를 거리 Δr만큼 움직일 때 힘 F에 의해 수행되는 작업을 정의합니다 .

ѡ = F . Δr

이름에서 알 수 있듯이 스칼라 값을 생성하며 다음과 같이 정의됩니다.

벡터 A와 B를

A : (ax, ay, az) B : (bx, by, bz)

-분석 형식 :

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

여기서 θ는 두 벡터 사이의 내부 각도입니다.

-대수 형식 :

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

외적 (A x B)

두 벡터 간의 벡터 곱 또는 내적은 B 및 C 에 수직 인 품질을 갖는 세 번째 벡터 C 를 정의합니다 . 물리학에서 토크 벡터 τ는 회전 역학 의 기본 요소입니다.

-분석 형식 :

-A x B-= -A -.- B-. 센 θ

-대수 형식 :

(A x B) = = (ax. By-ay. Bx)-(ax. Bz-az. Bx) j + (ax. By-ay. Bx) k

-상대 운동 : r _{A / B}

상대성 이론의 기초는 상대 운동이고 동시 벡터는 상대 운동의 기초입니다. 상대적 위치, 속도 및 가속도는 다음 아이디어 순서를 적용하여 추론 할 수 있습니다.

r _{A / B} = r _A -r _B ; B에 대한 A의 상대적 위치

v _{A / B} = v _A -v _B ; B에 대한 A의 상대 속도

a _{A / B} = a _A -a _B ; B에 대한 A의 상대 가속도

예 : 해결 된 운동

연습 1

A, B, C를 동시 벡터라고합시다.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

- 결과 벡터 정의 V _r = 2A-3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-내적 정의 (A.C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(A. C) = 3

-A와 C 사이의 각도 계산

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ 여기서 θ는 벡터 사이의 가장 짧은 각도입니다.

θ = 88.63 ⁰

-A와 B에 수직 인 벡터 찾기

이를 위해서는 (-1, 3, 5)와 (3, 5, -2) 사이의 벡터 곱을 정의해야합니다. 앞에서 설명한 것처럼 첫 번째 행이 트리플 단위 벡터 (i, j, k)로 구성된 3 x 3 행렬이 구성됩니다. 그런 다음 두 번째 및 세 번째 행은 작업 순서에 따라 작업 할 벡터로 구성됩니다.

(A x B) = = i-j + k

(A x B) = (-5-9) I-(2-15) j + (-5-9) k

(A x B) =-14 I + 13 j-14k

연습 2

V _a 와 V _b를 각각 A와 B의 속도 벡터 _라고 합시다 . A에서 본 B의 속도를 계산합니다.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

이 경우 A V _{B / A에} 대한 B의 상대 속도가 요청됩니다.

V _{B / A} = V _B - V

V _{B / A} = (2, 5, -3)-(3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

이것은 A에서 본 B의 속도 벡터입니다. 여기서 B의 속도의 새로운 벡터는 A에 위치한 관찰자로부터 참조를 받아 A의 속도로 이동하는 것으로 설명됩니다.

제안 된 운동

1- 동시에있는 3 개의 벡터 A, B, C를 구성하고 실습을 통해 이들 사이에 3 개의 연산을 연결합니다.

2- 벡터 A : (-2, 4, -11), B : (1, -6, 9) 및 C : (-2, -1, 10)을 설정합니다. A와 B, C와 B, The sum A + B + C에 수직 인 벡터를 찾습니다.

4- 좌표 축을 고려하지 않고 서로 수직 인 3 개의 벡터를 결정합니다.

5-20m 깊이의 우물 바닥에서 5kg의 질량 블록을 들어 올리는 힘에 의해 수행되는 작업을 정의하십시오.

6- 벡터의 뺄셈이 반대 벡터의 합과 같다는 것을 대수적으로 보여줍니다. 가정을 정당화하십시오.

7-이 기사에서 개발 한 모든 표기법의 벡터를 나타냅니다. (직교, 극, 분석 및 구형).

8- 테이블 위에 놓인 자석에 가해지는 자기력은 다음 벡터에 의해 주어집니다. V : (5, 3, -2), T : (4, 7, 9), H : (-3, 5, -4). 모든 자기력이 동시에 작용하면 자석이 어느 방향으로 움직 일지 결정합니다.

참고 문헌

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4. 벡터. Rocío Navarro Lacoba, 6 월 7 일. 2014 년
5. 선형 대수. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006 년