공간의 벡터 : 그래프, 응용, 연습 방법 - 물리적 인 - 2026

공간 의 벡터는 x, y, z로 주어진 좌표계로 표현되는 모든 것입니다. 대부분의 경우 xy 평면은 수평 표면 평면이고 z 축은 높이 (또는 깊이)를 나타냅니다.

그림 1에 표시된 데카르트 좌표 축은 x-y 축이 평면을 4 사분면으로 나누는 것과 유사하게 공간을 8 분원이라고하는 8 개 영역으로 나눕니다. 그런 다음 1st octant, 2nd octant 등이 있습니다.

그림 1. 공간의 벡터. 출처 : 자체 제작.

그림 1에는 공간에서 벡터 v 의 표현이 포함되어 있습니다 . 화면의 평면에 3 차원의 환상을 만들려면 약간의 원근이 필요하며, 이는 비스듬한 뷰를 그려서 달성됩니다.

3D 벡터를 그래프로 나타내려면 그리드에서 투영 좌표 또는 xy 표면 에서 v의 "그림자"를 결정하는 점선을 사용해야합니다 . 이 투영은 O에서 시작하여 녹색 지점에서 끝납니다.

일단 거기에 있으면 P에 도달 할 때까지 z의 값에 따라 필요한 높이 (또는 깊이)까지 수직을 따라 계속해야합니다. 벡터는 O에서 시작하여 P에서 끝나며,이 예에서는 첫 번째 8 분원에 있습니다.

응용

우주의 벡터는 우리를 둘러싼 구조가 3 차원의 기하학을 필요로하기 때문에 역학 및 기타 물리학 및 공학 분야에서 널리 사용됩니다.

공간의 위치 벡터는 OR 원점이라고하는 기준점을 기준으로 객체를 배치하는 데 사용되므로 탐색에도 필요한 도구이지만 그게 전부는 아닙니다.

볼트, 브래킷, 케이블, 스트럿 등과 같은 구조에 작용하는 힘은 본질적으로 벡터이며 공간 방향입니다. 그 효과를 알기 위해서는 주소 (및 적용 지점)를 알아야합니다.

그리고 종종 힘의 방향은 행동 선에 속하는 공간의 두 지점을 아는 것으로 알 수 있습니다. 이러한 방식으로 힘은 다음과 같습니다.

F = F u

여기서 F는 힘의 크기 또는 크기이고 u 는 작용선 F를 따라 향하는 단위 벡터 (모듈 1)입니다 .

표기법 및 3D 벡터 표현

몇 가지 예제를 해결하기 전에 3D 벡터 표기법을 간략하게 살펴 보겠습니다.

그림 1의 예에서 원점이 O와 일치하고 끝이 P 인 벡터 v는 양의 xyz 좌표를 가지며 y 좌표는 음수입니다. 이러한 좌표는 정확히 P의 좌표 인 x ₁ , y ₁ , z ₁ 입니다.

따라서 원점에 연결된 벡터, 즉 시작점이 O와 일치하는 경우 극점 또는 P의 좌표가 될 좌표를 표시하는 것이 매우 쉽습니다. 점과 벡터를 구별하기 위해 다음을 사용합니다. 마지막 굵은 글자와 대괄호는 다음과 같습니다.

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

점 P는 괄호로 표시됩니다.

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

또 다른 표현은 x, y 및 z 축에서 각각 공간의 세 방향을 정의 하는 단위 벡터 i , j 및 k 를 사용합니다.

이러한 벡터는 서로 직각을 이루며 직교 기반을 형성합니다 (그림 2 참조). 이는 3D 벡터를 다음과 같이 작성할 수 있음을 의미합니다.

v = v _x i + v _y j + v _z k

벡터의 각도와 디렉터 코사인

그림 2는 또한 벡터 v 가 각각 x, y 및 z 축으로 만드는 방향 각 γ ₁ , γ ₂ 및 γ ₃ 을 보여줍니다 . 이 각도와 벡터의 크기를 알면 완전히 결정됩니다. 또한 디렉터 앵글의 코사인은 다음 관계를 충족합니다.

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

그림 2. 단위 벡터 i, j 및 k는 공간의 3 가지 우선 방향을 결정합니다. 출처 : 자체 제작.

해결 된 운동

-연습 1

그림 2에서 계수 50 의 벡터 v 가 좌표축과 함께 형성 하는 각도 γ ₁ , γ ₂ 및 γ ₃ 은 각각 75.0º, 60.0º 및 34.3º입니다. 이 벡터의 데카르트 성분을 찾아 단위 벡터 i , j 및 k로 표현 합니다.

해결책

벡터 v 를 x 축에 투영하는 것은 v _x = 50입니다. cos 75º = 12,941. 같은 방식으로, y 축 에서 v 의 투영 은 v _y = 50 cos 60 º = 25이고 마지막으로 z 축에서 v _z = 50입니다. cos 34.3 º = 41.3. 이제 v 는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

V = 12.9 I + 25.0 J + 41.3 K

-운동 2

무게가 30N 인 경우 평형 상태 인 그림에서 버킷을 고정하는 각 케이블의 장력을 찾으십시오.

그림 3. 운동 2에 대한 스트레스 다이어그램

해결책

버킷에서 자유 물체 다이어그램은 T _D (녹색)가 중량 W (노란색)를 상쇄 하므로 T _D = W = 30 N 임을 나타냅니다 .

노드에서, 벡터 T _D는 수직 하방으로, 다음에 관한 것이다 :

T _D = 30 ( -k ) N.

나머지 전압을 설정하려면 다음 단계를 따르십시오.

1 단계 : 모든 점의 좌표 찾기

A = (4.5,0,3) (A는 벽 xz의 평면에 있음)

B = (1.5,0,0) (B는 x 축에 있음)

C = (0, 2.5, 3) (C는 벽면에 있고 z)

D = (1.5, 1.5, 0) (D는 수평 xy 평면에 있음)

2 단계 : 끝과 시작의 좌표를 빼서 각 방향의 벡터 찾기

DA = <3; -1.5; 3>

DC = <-1.5; 하나; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

3 단계 : 모듈 및 단위 벡터 계산

단위 벡터는 u = r / r 식으로 구합니다. r (굵게 표시)은 벡터이고 r (굵게 표시하지 않음)은 벡터의 모듈입니다.

DA = (3 ² + (-1.5) ² + 3 ² ) ^½ = 4.5; DC = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3.5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>

u _DC = <-1.5; 하나; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>

u _DB = <0; -하나; 0>

u _D = <0; 0; -1>

4 단계 : 모든 응력을 벡터로 표현

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0.67; -0.33; 0.67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0.43; 0.29; 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -하나; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

5 단계 : 정적 평형 조건을 적용하고 연립 방정식 풀기

마지막으로 정적 평형 조건이 버킷에 적용되어 노드에 대한 모든 힘의 벡터 합이 0이됩니다.

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

응력이 공간에 있기 때문에 응력의 각 구성 요소 (x, y 및 z)에 대해 세 가지 방정식 시스템이 생성됩니다.

0.67 T _DA -0.43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0.33 T _DA + 0.29 T _DC -T _DB = 0

0.67 T _DA + 0.86 T _DC +0 T _DB -30 = 0

해결책은 다음과 같습니다. T _DA = 14.9 N; T _DA = 23.3 N; T _DB = 1.82 N

참고 문헌

1. Bedford, 2000. A. 공학 역학 : 정적. 애디슨 웨슬리. 38-52.
2. Figueroa, D. 시리즈 : 과학 및 공학 물리학. 볼륨 1. 운동학 .31-68.
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4. Hibbeler, R. 2006. 엔지니어를위한 역학. 공전 6 판. 콘티넨탈 출판사. 15-53.
5. 벡터 추가 계산기. 출처 : 1728.org