각속도 회전 속도의 측정은 단위 시간 당 회전 물체의 위치 벡터의 회전 각도로서 정의된다. CD, 자동차 바퀴, 기계, 지구 등 모든 곳에서 끊임없이 회전하는 수많은 물체의 움직임을 매우 잘 설명하는 크기입니다.
«런던 아이»의 다이어그램은 다음 그림에서 볼 수 있습니다. 그것은 c라고 불리는 원형 경로를 따르는 점 P로 표시된 승객의 움직임을 나타냅니다.
«런던 아이»승객이 따르는 원형 경로의 개략도. 출처 : 자체 제작.
승객은 순간 t에서 위치 P를 차지하고 그 순간에 해당하는 각도 위치는 ϕ입니다.
순간 t부터 시간 Δt가 경과합니다. 이 기간 동안 시간을 잘 지키는 승객의 새로운 위치는 P '이고 각도 위치는 각도 Δϕ만큼 증가했습니다.
각속도는 어떻게 계산됩니까?
회전 수량의 경우 그리스 문자는 선형 수량과 구별하기 위해 널리 사용됩니다. 따라서 처음에 평균 각속도 ω m 은 주어진 시간 동안 이동 한 각도로 정의 됩니다.
그런 다음 몫 Δϕ / Δt는 순간 t와 t + Δt 사이 의 평균 각속도 ω m을 나타냅니다 .
당신이 계산하려면 각속도를 바로 인스턴트 t에서, 당신은 비율 Δφ / ΔT ΔT ➡0을 계산해야한다 :
선형 속도와 각속도의 관계
선형 속도 v는 이동 한 거리와 이동하는 데 걸린 시간 사이의 몫입니다.
위 그림에서 이동 한 호는 Δs입니다. 그러나 그 호는 이동하는 각도와 반경에 비례하며, 다음 관계가 충족되며 Δϕ가 라디안으로 측정되는 한 유효합니다.
Δs = r ・ Δϕ
이전 식을 시간 경과 Δt로 나누고 Δt ➡0 일 때 한계를 취하면 다음을 얻을 수 있습니다.
v = r ・ ω
균일 한 회전 운동
사진은 유명한 '런던 아이 (London eye)'로, 사람들이베이스에있는 선실에 탑승하여 런던의 풍경을 즐길 수 있도록 천천히 회전하는 135m 높이의 물레입니다. 출처 : Pixabay.
관찰 된 순간에 이동 각도가 같은 시간 동안 동일하다면 회전 운동은 균일합니다.
회전이 균일하면 모든 순간의 각속도는 평균 각속도와 일치합니다.
또한 완전히 회전하면 이동 각도는 2π (360º에 해당)입니다. 따라서 균일 한 회전에서 각속도 ω는 다음 공식에 의해주기 T와 관련됩니다.
f = 1 / T
즉, 균일 한 회전에서 각속도는 다음과 같이 주파수와 관련됩니다.
ω = 2π ・ f
각속도 문제 해결
연습 1
"런던 아이"로 알려진 거대한 물레의 선실은 천천히 움직입니다. 캡의 속도는 26cm / s이고 바퀴는 직경 135m입니다.
이 데이터로 다음을 계산하십시오.
i) 바퀴의 각속도
ii) 회전 주파수
iii) 선실이 완전히 회전하는 데 걸리는 시간.
답변:
i) 속도 v (m / s)는 v = 26cm / s = 0.26m / s입니다.
반경은 직경의 절반입니다. r = (135m) / 2 = 67.5m
v = r ・ ω => ω = v / r = (0.26 m / s) / (67.5 m) = 0.00385 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0.00385 rad / s) / (2π rad) = 6.13 x 10 -4 회전 / s
f = 6.13 x 10 ^ -4 턴 / s = 0.0368 턴 / 분 = 2.21 턴 / 시간.
iii) T = 1 / f = 1 / 2.21 랩 / 시간 = 0.45311 시간 = 27 분 11 초
연습 2
장난감 자동차는 반경 2m의 원형 트랙을 따라 움직입니다. 0 초에서 각도 위치는 0rad이지만 시간 t 후에 각도 위치는 다음과 같이 지정됩니다.
φ (t) = 2 ・ t
결정:
i) 각속도
ii) 모든 순간의 선형 속도.
답변:
i) 각속도는 각 위치의 미분 : ω = φ '(t) = 2.
즉, 장난감 자동차는 항상 2rad / s와 같은 일정한 각속도를 가지고 있습니다.
ii) 자동차의 선형 속도 : v = r ・ ω = 2m ・ 2rad / s = 4m / s = 14.4Km / h
연습 3
이전 운동과 같은 차가 멈추기 시작합니다. 시간 함수로서의 각도 위치는 다음 식으로 제공됩니다.
φ (t) = 2 ・ t-0.5 ・ t 2
결정:
i) 모든 순간의 각속도
ii) 모든 순간의 선형 속도
iii) 감속을 시작한 순간부터 정지하는 데 걸리는 시간
iv) 이동 한 각도
v) 이동 거리
답변:
i) 각속도는 각 위치의 미분 : ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t-0.5 ・ t 2 )'= 2-t
ii) 임의의 순간에 자동차의 선형 속도는 다음과 같이 주어진다.
v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2-t) = 4-2t
iii) 감속을 시작한 순간부터 정지하는 데 걸리는 시간은 속도 v (t)가 0이되는 순간을 아는 것으로 결정됩니다.
v (t) = 4-2 t = 0 => t = 2
이는 제동을 시작한 후 2 초 동안 정지 함을 의미합니다.
iv) 제동이 시작된 후 정지 할 때까지 2 초 동안 φ (2)로 주어진 각도가 이동합니다.
φ (2) = 2 ・ 2-0.5 ・ 2 ^ 2 = 4-2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114.6도
v) 제동 시작부터 정지까지 2 초 동안 거리 s는 다음과 같이 이동합니다.
s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4m
연습 4
자동차 바퀴의 지름은 80cm입니다. 차가 100km / h로 주행하는 경우. i) 바퀴의 회전 각속도, ii) 바퀴의 회전 빈도, iii) 1 시간 동안 바퀴가 회전하는 횟수.
답변:
i) 우선 우리는 자동차의 속도를 Km / h에서 h / s로 변환 할 것입니다.
v = 100km / h = (100 / 3.6) m / s = 27.78m / s
바퀴의 각 회전 속도는 다음과 같습니다.
ω = v / r = (27.78 m / s) / (0.4 m) = 69.44 rad / s
ii) 바퀴의 회전 빈도는 다음과 같습니다.
f = ω / 2π = (69.44 rad / s) / (2π rad) = 11.05 회전 / s
회전 주파수는 일반적으로 분당 회전 수 rpm으로 표시됩니다.
f = 11.05 회전 / s = 11.05 회전 / (1/60) 최소 = 663.15 rpm
iii) 1 시간 여행에서 바퀴가 만드는 랩 수는 1 시간 = 60 분이고 빈도는 랩 수 N을 이러한 N 랩이 만들어진 시간으로 나눈 값임을 알고 계산됩니다.
f = N / t => N = f ・ t = 663.15 (턴 / 분) x 60 분 = 39788.7 턴.
참고 문헌
- Giancoli, D. Physics. 응용 프로그램의 원칙. 6 판. 프렌 티스 홀. 106-108.
- Resnick, R. (1999). 물리적 인. 1 권. 스페인어 3 판. 멕시코. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). 과학 및 공학을위한 물리학. 1 권. 판. 멕시코. Cengage 학습 편집자. 84-85.
- geogebra.org