평균 각속도 각도가 원 운동을 설명하는 점의 위치 벡터의 단위 시간당 회전으로 회전 정의된다. 천장 선풍기의 블레이드 (그림 1에 표시된 것과 같은)는 원형 운동을 따르며 평균 회전 각도 속도는 회전 된 각도와 해당 각도가 이동 한 시간 사이의 몫을 취하여 계산됩니다.
회전 동작이 따르는 규칙은 병진 동작에 대해 익숙한 규칙과 다소 유사합니다. 이동 한 거리도 미터 단위로 측정 할 수 있지만 각도 크기는 움직임의 설명을 크게 용이하게하기 때문에 특히 관련이 있습니다.
그림 1. 팬 블레이드에는 각속도가 있습니다. 출처 : Pixabay
일반적으로 그리스 문자는 각도 수량에 사용되며 라틴 문자는 해당 선형 수량에 사용됩니다.
정의 및 공식
그림 2에서는 원형 경로 c에서 한 지점의 이동이 표시됩니다. 점의 위치 P는 순간 t에 해당하고 그 순간에 해당하는 각도 위치는 ϕ입니다.
순간 t부터 시간 Δt가 경과합니다. 이 기간 동안 점의 새 위치는 P '이고 각도 위치는 각도 Δϕ만큼 증가했습니다.
그림 2. 점의 원 운동. 출처 : 자체 제작
평균 각속도 ω는 단위 시간당 이동 한 각도이므로 몫 Δϕ / Δt는 시간 t와 t + Δt 사이의 평균 각속도를 나타냅니다.
각도는 라디안 단위로 측정되고 시간은 초 단위로 측정되므로 평균 각속도의 단위는 rad / s입니다. 우리가 계산하려면 각속도를 바로 인스턴트 t에서, 우리는 비율 Δφ / ΔT ΔT ➡0을 계산해야합니다.
균일 한 회전
관찰 된 순간에 이동 각도가 같은 시간 동안 동일하다면 회전 운동은 균일합니다. 회전이 균일하면 모든 순간의 각속도는 평균 각속도와 일치합니다.
균일 한 회전 운동에서 하나의 완전한 회전이 이루어지는 시간을주기라고하며 T로 표시합니다.
또한 완전한 회전이 이루어지면 이동 각도는 2π이므로 균일 한 회전에서 각속도 ω는 다음 공식에 의해주기 T와 관련됩니다.
균일 한 회전의 주파수 f는 회전 수와 회전하는 데 사용 된 시간 사이의 몫으로 정의됩니다. 즉, 시간 Δt 동안 N 회전이 이루어지면 주파수는 다음과 같습니다.
f = N / Δt
한 턴 (N = 1)이 시간 T (기간)에 이동하므로 다음 관계가 얻어집니다.
f = 1 / T
즉, 균일 한 회전에서 각속도는 다음 관계를 통해 주파수와 관련됩니다.
ω = 2π ・ f
각속도와 선형 속도의 관계
선형 속도 v는 이동 한 거리와 이동하는 데 걸린 시간 사이의 몫입니다. 그림 2에서 이동 거리는 호 길이 Δs입니다.
호 Δs는 이동 각도 Δϕ 및 반경 r에 비례하며 다음 관계가 충족됩니다.
Δs = r ・ Δϕ
Δϕ는 라디안 단위로 측정됩니다.
이전 표현식을 시간 경과 Δt로 나누면 다음을 얻을 수 있습니다.
(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)
첫 번째 구성원의 몫은 선형 속도이고 두 번째 구성원의 몫은 평균 각속도입니다.
v = r ・ ω
해결 된 운동
-연습 1
그림 1에 표시된 천장 팬 블레이드의 끝은 5m / s의 속도로 이동하고 블레이드의 반경은 40cm입니다.
이 데이터를 사용하여 i) 바퀴의 평균 각속도, ii) 바퀴가 1 초 동안 회전하는 횟수, iii) 기간 (초)을 계산합니다.
해결책
i) 선형 속도는 v = 5m / s입니다.
반경은 r = 0.40m입니다.
선형 속도와 각속도의 관계에서 후자를 해결합니다.
v = r ・ ω => ω = v / r = (5m / s) / (0.40m) = 12.57rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12.57 rad / s) / (2π rad) = 2 턴 / s
iii) T = 1 / f = 1 / (2 턴 / s) = 각 턴마다 0.5 초.
-운동 2
장난감 유모차는 반경 2m의 원형 트랙을 따라 움직입니다. 0 초에서 각도 위치는 0rad이지만 시간 t 이후 각도 위치는
φ (t) = 2 ・ t.
이 데이터로
i) 다음 시간 간격에서 평균 각속도를 계산합니다. ; 그리고 마지막으로 과실입니다.
ii) 파트 i) 운동에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?
iii) 파트 i)에서 동일한 기간의 평균 선형 속도를 결정합니다.
iv) 임의의 순간에 대한 각속도와 선형 속도를 찾으십시오.
해결책
i) 평균 각속도는 다음 공식으로 제공됩니다.
우리는 각 간격에서 이동 한 각도와 경과 시간을 계산합니다.
간격 1 : Δϕ = ϕ (0.5s)-ϕ (0.0s) = 2 (rad / s) * 0.5s-2 (rad / s) * 0.0s = 1.0rad
Δt = 0.5 초-0.0 초 = 0.5 초
ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0rad / s
간격 2 : Δϕ = ϕ (1.0s)-ϕ (0.5s) = 2 (rad / s) * 1.0s-2 (rad / s) * 0.5s = 1.0rad
Δt = 1.0 초-0.5 초 = 0.5 초
ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0rad / s
간격 3 : Δϕ = ϕ (1.5s)-ϕ (1.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s-2 (rad / s) * 1.0s = 1.0rad
Δt = 1.5 초-1.0 초 = 0.5 초
ω = Δϕ / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0rad / s
간격 4 : Δϕ = ϕ (1.5s)-ϕ (0.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s-2 (rad / s) * 0.0s = 3.0rad
Δt = 1.5 초-0.0 초 = 1.5 초
ω = Δϕ / Δt = 3.0rad / 1.5s = 2.0rad / s
ii) 평균 각속도를 서로 다른 시간 간격으로 계산하여 항상 동일한 결과를 얻었던 이전 결과를 보면 균일 한 원 운동임을 나타내는 것 같습니다. 그러나 이러한 결과는 결정적이지 않습니다.
결론을 확인하는 방법은 임의 구간에 대한 평균 각속도를 계산하는 것입니다. Δϕ = ϕ (t ')-ϕ (t) = 2 * t'-2 * t = 2 * (t'-t)
Δt = t '-t
ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2.0 rad / s
이것은 장난감 유모차가 고려되는 모든 기간 동안 2rad / s의 일정한 평균 각속도를 갖는다는 것을 의미합니다. 그러나 순간 각속도를 계산하면 더 나아갈 수 있습니다.
이것은 장난감 자동차가 항상 일정한 각속도 = 2 rad / s를 갖는 것으로 해석됩니다.
참고 문헌
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