함수 f (x) 의 역도 함수 F (x)는 프리미티브 또는 단순히 해당 함수 의 부정적분 이라고도합니다. 주어진 구간 I에서 F´ (x) = f (x)가 충족되는 경우
예를 들어 다음 함수를 사용하겠습니다.
에프 (x) = 4x 3
이 함수의 역도 함수는 F (x) = x 4입니다 .
정확하게 f (x) = 4x 3을 얻습니다 .
그러나 이것은 f (x)의 많은 역도 함수 중 하나 일뿐입니다.이 다른 함수 : G (x) = x 4 + 2도 마찬가지입니다. 다시 f (x).
확인 해보자:
상수의 미분은 0이라는 것을 기억하십시오. 따라서 항 x 4에 상수 를 더할 수 있으며 그 미분은 4x 3으로 유지됩니다 .
C가 실수 상수 인 일반 형식 F (x) = x 4 + C의 함수는 f (x)의 역도 함수 역할을한다는 결론을 내립니다 .
위의 예시는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
dF (x) = 4x 3 dx
역도 함수 또는 부정적분은 기호 ∫로 표현되므로 다음과 같습니다.
에프 (x) = ∫4x 3 dx = x 4 + C
여기서 함수 f (x) = 4x 3을 적분이라고하고 C는 적분 상수입니다.
역도 함수의 예
그림 1. 역도 함수는 무한 적분에 지나지 않습니다. 출처 : Pixabay.
함수의 역도 함수를 찾는 것은 도함수가 잘 알려진 일부 경우에 간단합니다. 예를 들어, 함수 f (x) = sin x, 그것에 대한 역도 함수를 또 다른 함수 F (x)라고합시다. 그래서 그것을 미분 할 때 우리는 f (x)를 얻습니다.
해당 기능은 다음과 같습니다.
F (x) =-cos x
그것이 사실인지 확인해 봅시다 :
F´ (x) = (-cos x) ´ =-(-sen x) = sin x
따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
∫sen x dx = -cos x + C
미분을 아는 것 외에도 역 미분 또는 부정적분을 찾기위한 기본적이고 간단한 통합 규칙이 있습니다.
k를 실수 상수라고합시다.
1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
함수 h (x)가 두 함수의 덧셈 또는 뺄셈으로 표현 될 수있는 경우 무한 적분은 다음과 같습니다.
3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
이것이 선형성의 속성입니다.
적분에 대한 거듭 제곱 규칙은 다음과 같이 설정할 수 있습니다.
n = -1의 경우 다음 규칙이 사용됩니다.
5.- ∫ x -1 dx = ln x + C
ln x의 미분이 정확히 x -1 이라는 것을 쉽게 보여줄 수 있습니다.
미분 방정식
미분 방정식은 미지수가 도함수로 발견되는 방정식입니다.
이제 이전 분석에서 미분에 대한 역 연산이 역도 함수 또는 부정적분이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
f (x) = y´ (x), 즉 특정 함수의 미분이라고합시다. 이 도함수를 나타 내기 위해 다음 표기법을 사용할 수 있습니다.
바로 다음과 같습니다.
미분 방정식이 알려지지 않은 것은 함수 y (x)이며, 미분은 f (x)입니다. 이를 해결하기 위해 앞의 표현식이 양쪽에 통합되어 역도 함수를 적용하는 것과 같습니다.
왼쪽 적분은 k = 1 인 적분 규칙 1에 의해 해결되므로 원하는 미지수를 해결합니다.
그리고 C는 실수 상수이기 때문에 어떤 것이 적절한 지 알기 위해서는 명령문에 C 값을 계산할 수있는 충분한 추가 정보가 있어야합니다.이를 초기 조건이라고합니다.
다음 섹션에서이 모든 적용 사례를 살펴 보겠습니다.
역도 함수 운동
- 연습 1
적분 규칙을 적용하여 주어진 함수의 다음 역도 함수 또는 부정적분을 구하여 가능한 한 결과를 단순화하십시오. 도출을 통해 결과를 확인하는 것이 편리합니다.
그림 2. 역도 함수 또는 정적분의 연습. 출처 : Pixabay.
솔루션
적분은 두 항의 합이므로 규칙 3을 먼저 적용합니다.
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
첫 번째 적분의 경우 검정력 규칙이 적용됩니다.
DX = ∫ (X 2 / 2) + C (1)
두 번째 적분 규칙 1에서 k = 7이 적용됩니다.
∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2
이제 결과가 추가됩니다. 두 개의 상수는 일반적으로 C라고하는 하나로 그룹화됩니다.
∫ (x + 7) dx = (x 2 / 2) + 7x + C
솔루션 b
선형성에 의해이 적분은 더 간단한 세 가지 적분으로 분해되며, 여기에 검정력 규칙이 적용됩니다.
∫ (x 3/2 + x 2 + 6) dx = ∫x 3/2 dx + ∫x 2 dx + ∫6 dx =
각 적분에 대해 적분 상수가 표시되지만 단일 호출 C에서 만납니다.
솔루션 c
이 경우 적분을 개발하기 위해 곱셈의 분배 속성을 적용하는 것이 편리합니다. 그런 다음 전력 규칙을 사용하여 이전 연습에서와 같이 각 적분을 개별적으로 찾습니다.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x-2) dx
주의 깊은 독자는 두 가지 중심 용어가 유사하므로 통합하기 전에 축소됩니다.
∫ (X + 1) (3X-2) = DX ∫3x 2 DX + ∫ X + DX ∫- 2 DX = X (3) + (1/2) × 2 - 2 × C +
솔루션 e
적분을 해결하는 한 가지 방법은 예제 d 에서처럼 힘을 개발하는 것입니다. 그러나 지수가 더 높기 때문에 그렇게 긴 전개를 할 필요가 없도록 변수를 변경하는 것이 좋습니다.
변수 변경은 다음과 같습니다.
u = x + 7
이 표현을 양쪽으로 유도 :
du = dx
적분은 새 변수를 사용하여 더 간단한 것으로 변환되며, 이는 거듭 제곱 규칙으로 해결됩니다.
∫ (x + 7) 5 dx = ∫ u 5 du = (1/6) u 6 + C
마지막으로 변경 사항이 반환되어 원래 변수로 돌아갑니다.
∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C
-연습 2
입자는 처음에는 정지 상태에 있으며 x 축을 따라 이동합니다. t> 0에 대한 가속도는 함수 a (t) = cos t에 의해 제공됩니다. t = 0에서 위치는 모두 국제 시스템의 단위로 x = 3입니다. 입자의 속도 v (t)와 위치 x (t)를 찾아야합니다.
해결책
가속도는 시간에 대한 속도의 첫 번째 미분이므로 다음과 같은 미분 방정식이 있습니다.
a (t) = v´ (t) = cos t
다음과 같습니다.
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C 1
반면에 우리는 속도가 위치의 미분이라는 것을 알고 있으므로 다시 통합합니다.
X (t) = ∫ V (t) DT = ∫ (죄 C t + 1 ) = DT ∫sen t + DT ∫C 1 DT = - COS t + C 1 t + C 2
통합 상수는 성명서에 제공된 정보에서 결정됩니다. 처음에는 입자가 처음에는 정지 상태 였으므로 v (0) = 0입니다.
v (0) = 죄 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
그러면 x (0) = 3이됩니다.
x (0) =-cos 0 + C 1 0 + C 2 =-1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4
속도 및 위치 기능은 확실히 다음과 같습니다.
v (t) = sin t
x (t) =-cos t + 4
참고 문헌
- Engler, A. 2019. 적분 미적분. 국립 문학 대학.
- Larson, R. 2010. 변수 계산. 9 일. 판. McGraw Hill.
- 수학 무료 텍스트. 역도 함수. 출처 : math.liibretexts.org.
- Wikipedia. 역도 함수. 출처 : en.wikipedia.org.
- Wikipedia. 무한 통합. 출처 : es.wikipedia.org.