아크 , 기하학, 두 점을 연결하는 임의의 곡선이다. 직선과 달리 곡선은 그 위의 각 지점에서 방향이 다른 선입니다. 호의 반대는 세그먼트입니다. 이것은 두 점을 연결하는 직선 단면이기 때문입니다.
기하학에서 가장 자주 사용되는 호는 원주의 호입니다. 일반적으로 사용되는 다른 아치는 포물선 아치, 타원형 아치 및 전차선 아치입니다. 아치 형태는 건축에서 장식 요소 및 구조 요소로 자주 사용됩니다. 이것은 문과 창문의 상인방뿐만 아니라 다리와 수로의 경우입니다.
그림 1. 무지개는 수평선의 두 점을 연결하는 곡선입니다. 출처 : Pixabay
아치와 그 측정
호의 길이는 두 점을 연결하는 곡선의 유형과 위치에 따라 달라지는 길이입니다.
원호의 길이는 전체 호의 길이 또는 원주의 둘레가 알려져 있기 때문에 계산하기 가장 간단한 것 중 하나입니다.
원의 둘레는 반지름의 두 파이 곱하기 : p = 2 π R입니다. 이것을 알면 각도 α (라디안으로 측정)와 반경 R의 원호 길이 s를 계산하려면 비율이 적용됩니다.
(s / p) = (α / 2 π)
그런 다음 이전 표현식에서 s를 지우고 반지름 R의 함수로 해당 표현식을 둘레 p로 대체하면 다음과 같습니다.
s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.
즉, 원호의 측정 값은 각 개구부에 원호의 반지름을 곱한 값입니다.
일반적으로 아치의 경우 문제는 고대의 위대한 사상가들이 불가능한 작업이라고 주장 할 정도로 더 복잡합니다.
1665 년 미분 및 적분 미적분학이 출현하기 전까지는 모든 호를 측정하는 문제가 만족스럽게 해결되었습니다.
미분법이 발명되기 전에는 실제 호에 근접한 다각형 선이나 원주의 호를 사용해야 만 솔루션을 찾을 수 있었지만이 솔루션은 정확하지 않았습니다.
활의 종류
기하학의 관점에서 호는 평면의 두 점을 연결하는 곡선에 따라 분류됩니다. 용도와 건축 형태에 따라 다른 분류가 있습니다.
원호
평면에서 두 점을 연결하는 선이 특정 반경의 원주 조각 일 때 우리는 원호를 갖게됩니다. 그림 2는 지점 A와 B를 연결하는 반경 R의 원호 c를 보여줍니다.
그림 2. 점 A와 B를 연결하는 반경 R의 원호. Ricardo Pérez가 정교하게 작성했습니다.
포물선 아치
포물선은 공중에 비스듬히 던져진 물체가 따라가는 경로입니다. 두 점을 연결하는 곡선이 포물선이면 그림 3에 표시된 것과 같은 포물선 호가 있습니다.
그림 3. 포인트 A와 B를 연결하는 포물선 형 호. Ricardo Pérez가 정교화 함.
이것은 위쪽을 가리키는 호스에서 나오는 물의 분사 모양입니다. 포물선은 수원에서 관찰 될 수 있습니다.
그림 4. 드레스덴의 분수에서 물에 의해 형성된 포물선 아치. 출처 : Pixabay.
전차선 아치
전차선 아치는 또 다른 자연 아치입니다. 전차선은 체인이나 로프가 두 개의 개별 지점에서 느슨하게 매달릴 때 자연스럽게 형성되는 곡선입니다.
그림 5. 전차선 아치와 포물선 아치와의 비교. Ricardo Pérez 작성.
전차선은 포물선과 유사하지만 그림 4에서 볼 수있는 것과 정확히 동일하지는 않습니다.
역전 선 아치는 건축에서 높은 압축 강도 구조 요소로 사용됩니다. 사실, 그것은 가능한 모든 모양 중에서 가장 강한 활 유형으로 보일 수 있습니다.
단단한 전차선 아치를 만들려면 매달린 로프 나 체인의 모양을 복사 한 다음 복사 된 모양을 뒤집어 문이나 창문 상인방에 재현합니다.
타원형 아치
두 점을 연결하는 곡선이 타원 인 경우 호는 타원형입니다. 타원은 주어진 두 점까지의 거리가 항상 일정한 양이되는 점의 궤적으로 정의됩니다.
타원은 자연에서 나타나는 곡선입니다. 1609 년 Johannes Kepler가 보여준 것처럼 태양 주위 행성의 궤도 곡선입니다.
실제로 타원은 두 개의 스트럿을 땅에 고정하거나 종이에 두 개의 핀을 고정하고 끈을 묶어 그릴 수 있습니다. 그런 다음 마커 또는 연필로 로프를 조이고 곡선을 추적합니다. 타원 조각은 타원형 호입니다. 다음 애니메이션은 타원을 그리는 방법을 보여줍니다.
그림 5. 팽팽한 로프를 사용하여 타원 추적. 출처 : Wikimedia Commons
그림 6은 점 G와 H를 연결하는 타원형 호를 보여줍니다.
그림 6. 두 점을 연결하는 타원형 아치. Ricardo Pérez 작성.
아치의 예
다음 예제는 특정 아치의 둘레를 계산하는 방법을 참조합니다.
예 1
그림 7은 절단 된 원호로 완성 된 창을 보여줍니다. 그림에 표시된 치수는 피트 단위입니다. 호의 길이를 찾으십시오.
그림 7. 창의 원호 길이 계산. (자신의 주석-Pixabay의 창 이미지)
창 상인방의 원호의 중심과 반경을 얻기 위해 이미지에 다음과 같은 구성이 이루어집니다.
-세그먼트 KL이 그려지고 이등분선이 그려집니다.
-그런 다음 상인방의 가장 높은 지점이 위치하며이를 M이라고 부릅니다. 다음으로 KM 세그먼트를 고려하고 해당 매개 변수를 추적합니다.
두 이등분선의 절편은 점 N이며 원호의 중심이기도합니다.
-이제 우리는 원호의 반경 R과 일치하는 NM 세그먼트의 길이를 측정해야합니다 : R = 2.8 피트.
-반경과 함께 호의 길이를 알기 위해서는 호가 형성되는 각도를 알아야합니다. 각도기로 측정하거나 삼각법을 사용하여 계산하는 두 가지 방법으로 결정할 수 있습니다.
표시된 경우 호에 의해 형성된 각도는 91.13º이며 라디안으로 변환해야합니다.
91.13º = 91.13º * π / 180º = 1.59 라디안
마지막으로 공식 s = α R을 사용하여 호의 길이 s를 계산합니다.
s = 1.59 * 2.8 피트 = 4.45 피트
예 2
타원의 반장 축 r과 반 단축 s를 알고 그림 8에 표시된 타원형 호의 길이를 찾으십시오.
그림 8. GH 사이의 타원형 아치. Ricardo Pérez 작성.
타원의 길이를 찾는 것은 오랫동안 수학에서 가장 어려운 문제 중 하나였습니다. 타원 적분으로 표현 된 해를 얻을 수 있지만 수치를 가지려면 이러한 적분을 멱급수로 확장해야합니다. 정확한 결과를 얻으려면 해당 시리즈의 무한한 항이 필요합니다.
다행히 1887 년에서 1920 년 사이에 살았던 힌두의 수학적 천재 인 Ramanujan은 타원의 둘레에 매우 정확하게 근접하는 공식을 발견했습니다.
r = 3cm이고 s = 2.24cm 인 타원의 둘레는 16.55cm입니다. 그러나 표시된 타원형 호의 값은 절반입니다.
타원형 아치의 길이 GH = 8.28cm.
참고 문헌
- Clemens S. 2008. 기하학 및 삼각법. 피어슨 교육.
- García F. Java의 수치 절차. 타원의 길이. 출처 : sc.ehu.es
- 동적 기하학. 활. geometriadinamica.es에서 회수
- Piziadas. 우리 주변의 타원과 포물선. 출처 : piziadas.com
- Wikipedia. 아치 (지오메트리). 출처 : es.wikipedia.com