수학에서 근사치는 어떤 것의 정확한 값은 아니지만 그 정확한 값만큼 유용한 것으로 간주 될 정도로 너무 가까운 숫자입니다.
수학에서 근사치가 만들어지면 수동으로 원하는 정확한 값을 아는 것이 어렵거나 때로는 불가능하기 때문입니다.
근사치로 작업 할 때 주요 도구는 함수의 미분입니다.
Δf (x)로 표시되는 함수 f의 미분은 함수 f의 미분에 독립 변수의 변화를 곱한 것입니다. 즉, Δf (x) = f '(x) * Δx입니다.
때로는 Δf 및 Δx 대신 df 및 dx가 사용됩니다.
미분을 사용한 근사치
미분을 통해 근사를 수행하는 데 적용되는 공식은 함수의 미분을 한계로 정의하는 것에서 정확하게 발생합니다.
이 공식은 다음과 같이 제공됩니다.
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f'(x0) * Δx.
여기서 Δx = x-x0이므로 x = x0 + Δx로 이해됩니다. 이를 사용하여 공식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.
"x0"은 임의의 값이 아니라 f (x0)를 쉽게 알 수있는 값입니다. 또한 "f (x)"는 우리가 근사하려는 값입니다.
더 나은 근사치가 있습니까?
대답은 '예'입니다. 위는 "선형 근사"라고하는 가장 간단한 근사치입니다.
더 나은 품질 근사 (오차가 적음)를 위해 "Taylor 다항식"이라고하는 더 많은 도함수를 가진 다항식과 Newton-Raphson 방법과 같은 다른 수치 적 방법이 사용됩니다.
전략
따라야 할 전략은 다음과 같습니다.
-근사를 수행하는 데 적합한 함수 f를 선택하고 f (x)가 근사 할 값이되도록«x»값을 선택합니다.
-f (x0)를 쉽게 계산할 수 있도록 "x"에 가까운 값 "x0"을 선택합니다.
-Δx = x-x0을 계산합니다.
-함수 y f '(x0)의 미분을 계산합니다.
-수식의 데이터를 대체합니다.
해결 된 근사 연습
계속되는 것에는 미분을 사용하여 근사치를 만드는 일련의 연습이 있습니다.
첫 번째 운동
대략 √3.
해결책
전략에 따라 적절한 기능을 선택해야합니다. 이 경우 선택할 함수는 f (x) = √x이고 근사값은 f (3) = √3임을 알 수 있습니다.
이제 f (x0)를 쉽게 계산할 수 있도록 "3"에 가까운 값 "x0"을 선택해야합니다. "x0 = 2"를 선택하면 "x0"은 "3"에 가깝지만 f (x0) = f (2) = √2는 계산하기 쉽지 않습니다.
"x0"의 적절한 값은 "4"입니다. "4"는 "3"에 가까우며 f (x0) = f (4) = √4 = 2입니다.
"x = 3"및 "x0 = 4"이면 Δx = 3-4 = -1입니다. 이제 우리는 f의 미분을 계산합니다. 즉, f '(x) = 1/2 * √x이므로 f'(4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4입니다.
얻은 공식의 모든 값을 대체하십시오.
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (-1) = 2-1/4 = 7/4 = 1.75.
계산기를 사용하면 √3≈1.73205…를 얻게됩니다. 이것은 이전 결과가 실제 값의 좋은 근사치임을 보여줍니다.
두 번째 운동
약 √10.
해결책
이전과 마찬가지로 f (x) = √xy가 함수로 선택됩니다 (이 경우 x = 10).
이번에 선택할 x0의 값은 "x0 = 9"입니다. 그런 다음 Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 및 f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6입니다.
공식에서 평가할 때
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…
계산기를 사용하면 √10 ≈ 3.1622776…이라는 것을 알 수 있습니다. 여기서도 이전에 좋은 근사치를 얻었음을 알 수 있습니다.
세 번째 운동
대략적인 ³√10, 여기서 ³√는 세제곱근을 나타냅니다.
해결책
이 연습에서 사용할 함수는 f (x) = ³√x이고 "x"의 값은 "10"이어야합니다.
큐브 루트를 알 수있는 "10"에 가까운 값은 "x0 = 8"입니다. 그러면 Δx = 10-8 = 2이고 f (x0) = f (8) = 2입니다. 또한 f '(x) = 1/3 * ³√x²이고 결과적으로 f'(8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
공식의 데이터를 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….
계산기는 ³√10 ≈ 2.15443469…라고 말합니다. 따라서 찾은 근사값이 좋습니다.
네 번째 운동
대략적인 ln (1.3). 여기서 "ln"은 자연 로그 함수를 나타냅니다.
해결책
먼저 함수 f (x) = ln (x)로 선택하고 "x"의 값은 1.3입니다. 이제 로그 함수에 대해 조금 알면 ln (1) = 0이고 "1"이 "1.3"에 가깝다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 "x0 = 1"이 선택되므로 Δx = 1.3-1 = 0.3입니다.
반면에 f '(x) = 1 / x이므로 f'(1) = 1입니다. 주어진 공식으로 평가할 때 우리는 :
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.
계산기를 사용하면 ln (1.3) ≈ 0.262364… 그래서 근사치가 좋습니다.
참고 문헌
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). 미적분 수학. 프렌 티스 홀 PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). 미적분 수학 : 문제 해결 접근법 (2, Illustrated ed.). 미시간 : 프렌 티스 홀.
- 플레밍, W., & Varberg, D. (1991). 분석 기하학을 사용한 대수 및 삼각법. 피어슨 교육.
- Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage 학습.
- Leal, JM, & Viloria, NG (2005). 평면 분석 기하학. 메리다-베네수엘라 : 에디토리얼 Venezolana CA
- Pérez, CD (2006). 사전 계산. 피어슨 교육.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). 미적분 (Ninth ed.). 프렌 티스 홀.
- Saenz, J. (2005). 과학 및 공학을위한 초기 초월 기능을 가진 미적분 (Second Edition ed.). 빗변.
- Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part : Analytical Conics (1907) (재 인쇄판). 번개 소스.
- Sullivan, M. (1997). 사전 계산. 피어슨 교육.