암시 유도체 기능에 적용되는 차이점 기술에 사용되는 도구입니다. 정규 방법에서 파생 될 종속 변수를 해결하는 것이 불가능할 때 적용됩니다. 이 정리는 독립 변수의 함수로 수행됩니다.
예를 들어, 식 3xy 3 - 2Y XY + 2 = XY, "X"의 함수로서 정의하는 "Y"는 얻어 질 수 없다라는 식이다. 그래서 미 분식을 유도함으로써 dy / dx를 얻을 수있다.
암시 적 도함수는 어떻게 해결됩니까?
암시 적 도함수를 풀기 위해 암시 적 표현으로 시작합니다. 예를 들어 3xy 3 - + 2Y XY 2 - XY = 0이 이미하지만 X와 Y의 유도체를 얻기위한 필요 조건이 아니다 이렇게 제대로 해결한다. 그런 다음 각 요소는 혼합 함수에 대한 체인 규칙에 따라 파생됩니다.
3xy 3 은 2 개의 변수로 구성되므로 d (3xy 3 )는 함수 곱의 미분으로 처리됩니다.
d (3xy 3 ) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
요소 y '가 "y 소수"로 알려져 있으며 dy / dx를 나타냅니다.
-2y KU = K.U '법칙에 따라 도출됩니다.
d (-2y) = -2 y '
xy 2 는 함수의 곱으로 구성된 또 다른 미분을 가정합니다.
d (xy 2 ) = y 2 + 2xy y '
-xy는 상동 적으로 취급됩니다.
d (-xy) = -y-x y '
그들은 0의 미분이 0이라는 것을 알고 동등하게 대체됩니다.
3y 3 + 9xy 2 y '-2 y'+ y 2 + 2xy y '-y-x y'= 0
용어 y '를 갖는 요소는 등식의 한쪽에 그룹화됩니다.
3y 3 + y 2 -y = -9xy 2 y '+ 2 y'+ x y '
공약수 y '는 등식의 오른쪽에서 추출됩니다.
3y 3 + y 2 -y = y '(-9xy 2 + x + 2)
마지막으로 y '를 곱하는 용어가 지워집니다. 따라서 x에 대한 y의 암시 적 도함수에 해당하는 표현식을 얻습니다.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 -y) / (-9xy 2 + x + 2)
연쇄 법칙
암시 적 파생에서 체인 규칙은 항상 존중됩니다. 모든 미분 식은 독립 변수 X의 함수로 주어집니다. 따라서 X를 제외한 모든 변수 θ는 파생 된 후 dθ / dx라는 용어를 포함해야합니다.
이 용어는 1 차 또는 1과 같은 지수로만 나타납니다.이 품질은 기존의 인수 분해 방법에서 완전히 명확 해집니다. 따라서 미분 dθ / dx를 정의하는 식을 얻을 수 있습니다.
체인 규칙은 미분 또는 파생 과정의 점진적 특성을 보여줍니다. 모든 복합 함수 f에 대해 f의 미분 표현은 다음과 같습니다.
운영 순서
적용되는 각 공식 또는 유도 법칙에서 변수의 순서를 고려해야합니다. 독립 변수와 연관된 기준은 종속 변수와의 상관을 변경하지 않고 존중됩니다.
파생시 종속 변수의 관계는 직접 취합니다. 이것이 두 번째 기능으로 간주된다는 점을 제외하고는 혼합 기능에 대한 체인 규칙 기준이 적용되는 이유입니다.
이것은 2 개 이상의 변수가있는 표현식에서 개발 될 수 있습니다. 동일한 원칙 하에서 종속 변수를 참조하는 모든 미분이 표시됩니다.
그래픽으로 미분을 정의하는 동일한 기준이 처리됩니다. 미분은 평면의 곡선에 대한 접선의 기울기이지만 종속 변수 (dy / dx, dz / dx)에 속하는 나머지 미분은 다중 변수 함수로 설명되는 벡터 몸체에 접하는 평면을 나타냅니다.
절대적인
F가 R 2 평면에 정의되어있는 한 y = f (x)식이 다중 변수 함수 F (x, y) = 0으로 표현 될 수있는 경우 함수는 암시 적으로 정의된다고합니다 .
3xy 3 - 2Y XY + 2 = XY 형태로 기록 될 수 3xy 3 - + 2Y XY 2 - XY = 0
함수 y = f (x)를 명시 적으로 만들 수 없다는 관점에서.
역사
미적분학은 17 세기 경 다양한 수학적 연구자들에 의해 명명되기 시작했습니다. 처음 언급 된 것은 Newton과 Leibniz의 기여였습니다. 둘 다 서로 다른 관점에서 미적분학을 다루었지만 결과는 수렴했습니다.
Newton은 속도 또는 변화율로서의 차별화에 초점을 맞추었지만 Leibniz의 접근 방식은 더 기하학적이었습니다. 뉴턴은 페르마의 아폴로니우스와 라이프니츠가 남긴 추측을 페르마의 기하학적 사상을 공격했다고 말할 수있다.
미분 방정식과 적분 방정식을 고려할 때 암시 적 유도가 즉시 나타납니다. 이것은 Leibniz의 기하학적 개념을 R 3 및 심지어 다차원 공간으로 확장했습니다.
응용
암시 적 도함수는 다양한 상황에서 사용됩니다. 연구의 감각에 따라 변수가 종속적이거나 독립적 인 것으로 간주되는 관련 변수 간의 환율 문제에서 일반적입니다.
또한 모양을 수학적으로 모델링 할 수있는 도형에 반사 또는 그림자 문제와 같은 흥미로운 기하학적 응용 프로그램이 있습니다.
경제 및 공학 분야는 물론 자연 현상 및 실험 건물에 대한 다양한 조사에 자주 사용됩니다.
해결 된 운동
연습 1
dy / dx를 정의하는 암시 적 표현식 정의
표현의 각 요소는 차별화됩니다
각 유능한 사례에서 체인 규칙 설정
dy / dx가있는 요소를 평등의 한쪽에 그룹화
공약수를 사용하여 인수 분해됩니다.
원하는 표현을 얻어 해결됩니다.
연습 2
dy / dx를 정의하는 암시 적 표현식 정의
수행 할 파생 상품 표현
체인 규칙에 따라 암시 적으로 파생
공통 요소 팩토링
평등의 한쪽에서 용어 dy / dx 그룹화
미분 요소에 대한 공통 요소
우리는 원하는 표현을 분리하고 얻습니다.
참고 문헌
- 단일 변수의 미적분. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 11 월 10 일 2008 년
- 암시 적 함수 정리 : 역사, 이론 및 응용. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 11 월 9 일. 2012 년
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- 시스템 역학 : 메카 트로닉 시스템의 모델링, 시뮬레이션 및 제어. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 3 월 7 일 2012 년
- 미적분 : 수학 및 모델링. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 월 1 일 1999 년