연속 유도체는 이차 미분 한 후, 함수로부터 유도 된 것들이다. 연속적인 도함수를 계산하는 과정은 다음과 같습니다 : 우리는 도출 할 수있는 함수 f를 가지고 있으므로 미분 함수 f '를 얻을 수 있습니다. f의 미분을 다시 유도하여 (f ')'를 얻을 수 있습니다.
이 새로운 함수를 2 차 미분이라고합니다. 두 번째에서 계산 된 모든 미분은 연속적입니다. 고차라고도하는 이것들은 함수의 그래프 플롯에 대한 정보, 상대 극단에 대한 2 차 도함수의 테스트 및 무한 급수 결정과 같은 훌륭한 응용 프로그램을 가지고 있습니다.
정의
Leibniz의 표기법을 사용하여 "x"에 대한 함수 "y"의 미분은 dy / dx입니다. Leibniz의 표기법을 사용하여 "y"의 2 차 미분을 표현하기 위해 다음과 같이 작성합니다.
일반적으로 Leibniz의 표기법으로 다음과 같이 연속적인 도함수를 표현할 수 있습니다. 여기서 n은 도함수의 순서를 나타냅니다.
사용 된 다른 표기법은 다음과 같습니다.
다른 표기법을 볼 수있는 몇 가지 예는 다음과 같습니다.
예 1
다음으로 정의 된 함수 f의 모든 미분을 구합니다.
일반적인 유도 기법을 사용하여 f의 미분은 다음과 같습니다.
이 과정을 반복함으로써 우리는 2 차 도함수, 3 차 도함수 등을 얻을 수 있습니다.
4 차 미분은 0이고 0의 미분은 0이므로 다음과 같습니다.
예 2
다음 함수의 4 차 미분을 계산합니다.
결과적으로 주어진 함수를 유도합니다.
속도와 가속
미분을 발견하게 된 동기 중 하나는 순간 속도의 정의를 찾는 것이 었습니다. 공식적인 정의는 다음과 같습니다.
y = f (t)를 시간 t에서 입자의 궤적을 그래프로 설명하는 함수라고합시다. 그러면 시간 t에서의 속도는 다음과 같이 주어집니다.
입자의 속도가 얻어지면 순간 가속도를 계산할 수 있으며 다음과 같이 정의됩니다.
경로가 y = f (t)로 지정된 입자의 순간 가속도는 다음과 같습니다.
예 1
입자는 위치 함수에 따라 선을 따라 이동합니다.
여기서 "y"는 미터 단위로, "t"는 초 단위로 측정됩니다.
-어떤 순간에 속도가 0입니까?
-가속도가 0 인 순간은?
위치 함수«and»를 유도 할 때 속도와 가속도는 각각 다음과 같이 지정됩니다.
첫 번째 질문에 답하기 위해서는 함수 v가 0이되는시기를 결정하는 것으로 충분합니다. 이것은:
유사한 방식으로 다음 질문을 진행합니다.
예 2
입자는 다음 운동 방정식에 따라 선을 따라 이동합니다.
a = 0 일 때 "t, y"및 "v"를 결정합니다.
속도와 가속도는
우리는 다음을 파생하고 얻습니다.
a = 0을 만들면 다음과 같이됩니다.
여기서 우리는 a가 0이되는 t의 값이 t = 1이라고 추론 할 수 있습니다.
그런 다음 t = 1에서 위치 함수와 속도 함수를 평가하면 다음과 같습니다.
응용
명시 적 파생
연속적인 파생은 암시 적 파생으로도 얻을 수 있습니다.
예
다음 타원이 주어지면 "y"를 찾습니다.
x에 대해 암시 적으로 파생하면 다음과 같습니다.
그런 다음 x에 대해 암시 적으로 다시 파생하면 다음이 제공됩니다.
마지막으로 다음이 있습니다.
상대적 극단
2 차 미분에 줄 수있는 또 다른 용도는 함수의 상대적 극단을 계산하는 것입니다.
국소 극단에 대한 1 차 도함수의 기준은 구간 (a, b)에서 연속 함수 f가 있고 f '가 c에서 사라지도록 (즉, c 중요한 점), 다음 세 가지 경우 중 하나가 발생할 수 있습니다.
-(a, c)에 속하는 x에 대해 f´ (x)> 0이고 (c, b)에 속하는 x에 대해 f´ (x) <0이면 f (c)는 로컬 최대 값입니다.
-(a, c)에 속하는 x에 대해 f´ (x) <0이고 (c, b)에 속하는 x에 대해 f´ (x)> 0이면 f (c)는 국소 최솟값입니다.
-f´ (x)의 부호 (a, c)와 (c, b)가 같은 경우 f (c)가 극단 값이 아님을 의미합니다.
2 차 도함수의 기준을 사용하면 함수의 부호가 앞서 언급 한 간격에서 무엇인지 볼 필요없이 함수의 임계 수가 로컬 최대인지 최소인지 알 수 있습니다.
두 번째 드리프트의 기준은 f´ (c) = 0이고 f´´ (x)가 (a, b)에서 연속적이면 f´´ (c)> 0이면 f (c) 는 로컬 최소값이고 f´´ (c) <0이면 f (c)는 로컬 최대 값입니다.
f´´ (c) = 0이면 아무것도 결론을 내릴 수 없습니다.
예
함수 F (X)를 감안하면, X = 4 + (4/3)의 X 3 배 - 2 번째 유도체의 기준을 사용하여 F의 상대 정재파를 찾아.
먼저 f´ (x)와 f´´ (x)를 계산하면 다음과 같습니다.
F' (X)는 4X = 3 + 4 배속 2 배속을 -
f´´ (x) = 12x 2 + 8x-8
이제 f´ (x) = 0 if, 그리고 4x (x + 2) (x-1) = 0 인 경우에만, x = 0, x = 1 또는 x =-2 일 때 발생합니다.
얻은 임계 값이 상대적 극단인지 확인하려면 f´´에서 평가하여 그 부호를 관찰하는 것으로 충분합니다.
f´´ (0) =-8이므로 f (0)은 극대값입니다.
f´´ (1) = 12이므로 f (1)은 극소값입니다.
f´´ (-2) = 24이므로 f (-2)는 극소값입니다.
테일러 시리즈
f를 다음과 같이 정의 된 함수라고합니다.
이 함수는 수렴 반경이 R> 0이고 (-R, R)의 모든 차수의 미분을가집니다. f의 연속적인 도함수는 다음을 제공합니다.
x = 0을 취하면 다음과 같이 도함수의 함수로 c n 값을 얻을 수 있습니다 .
함수 f (즉, f ^ 0 = f)로 an = 0을 취하면 다음과 같이 함수를 다시 작성할 수 있습니다.
이제 함수를 x = a에서 일련의 거듭 제곱으로 간주해 봅시다.
이전 분석과 유사한 분석을 수행하면 함수 f를 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
이 시리즈는 f에서 a까지의 Taylor 시리즈로 알려져 있습니다. a = 0이면 Maclaurin 시리즈라는 특별한 경우가 있습니다. 이러한 유형의 시리즈는 특히 수치 분석에서 수학적 중요성이 매우 큽니다.이 덕분에 e x , sin (x) 및 cos (x)와 같은 컴퓨터에서 함수를 정의 할 수 있기 때문 입니다.
예
e x에 대한 Maclaurin 시리즈를 구합니다 .
f (x) = e x 이면 f (n) (x) = e x 및 f (n) (0) = 1이므로 Maclaurin 시리즈는 다음과 같습니다.
참고 문헌
- Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). 계산 5ed. Mc Graw Hill.
- Leithold, L. (1992). 분석 기하학을 사용한 계산. 할라, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). 계산. 멕시코 : Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). 미적분학. 빗변.
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