디랙 - 조던 원자 모델은 전자의 양자 파동 함수를 설명 식에서의 해밀 토니안 연산자의 상대 일반화이다. Schrodinger의 이전 모델과 달리 자연스럽게 보이기 때문에 Pauli 배제 원리를 사용하여 스핀을 부과 할 필요가 없습니다.
또한 Dirac-Jordan 모델은 원자의 전자 수준의 미세 구조를 설명하는 상대 론적 보정, 스핀-궤도 상호 작용 및 Darwin 항을 통합합니다.
그림 1. 처음 세 에너지 수준에 대한 수소 원자의 전자 궤도. 출처 : Wikimedia Commons.
1928 년부터 과학자 Paul AM Dirac (1902-1984)와 Pascual Jordan (1902-1980)은 Schrodinger가 개발 한 양자 역학을 일반화하여 아인슈타인의 특수 상대성 보정을 포함했습니다.
Dirac은 전자파 함수로 알려진 함수에서 작동하는 Hamiltonian이라는 미분 연산자로 구성된 Schrodinger 방정식에서 시작합니다. 그러나 Schrodinger는 상대 론적 효과를 고려하지 않았습니다.
파동 함수의 솔루션을 사용하면 일정 확률로 전자가 핵 주변에서 발견되는 영역을 계산할 수 있습니다. 이러한 영역 또는 영역을 궤도라고하며 전자의 에너지와 각운동량을 정의하는 특정 이산 양자 수에 의존합니다.
가정
양자 역학 이론에서는 상대 론적이든 아니든 전자의 위치와 속도를 동시에 지정할 수 없기 때문에 궤도 개념이 없습니다. 또한 변수 중 하나를 지정하면 다른 변수가 완전히 부정확 해집니다.
부분적으로 Hamiltonian은 양자 파 기능에 작용하는 수학 연산자이며 전자의 에너지로 구성됩니다. 예를 들어, 자유 전자는 다음과 같이 선형 운동량 p 에 의존하는 총 에너지 E를 갖습니다 .
E = ( p 2 ) / 2m
Hamiltonian을 구성하기 위해 다음 식에서 시작 하여 운동량에 대한 양자 연산자를 p 로 대체합니다 .
P = -i H ∂ / ∂ R
유의하는 것이 중요하다 (P) 및 P 용어는 처음에는 운동량이고 다른 운동량과 관련된 미분 연산자이기 때문에, 상이하다.
또한 i는 가상 단위이고 ħ 플랑크 상수를 2π로 나눈 값입니다. 이렇게하면 자유 전자의 해밀턴 연산자 H가 구해집니다.
H = (ħ 2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2
원자에서 전자의 해밀턴을 찾으려면 전자와 핵의 상호 작용을 추가하십시오.
H = (ħ2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2 -eΦ (r)
앞의 표현에서 -e는 전자의 전하이고 Φ (r)는 중심핵에 의해 생성 된 정전기 전위입니다.
이제 연산자 H는 Schrodinger 방정식에 따라 파동 함수 ψ에 대해 작동하며 다음과 같이 작성됩니다.
H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ
Dirac의 네 가지 가정
첫 번째 가정 : 상대 론적 파동 방정식은 슈뢰딩거 파동 방정식과 동일한 구조를 가지고 있습니다. 변화는 H입니다.
H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ
두 번째 가정 : Hamiltonian 연산자는 Einstein의 에너지-운동량 관계에서 시작하여 다음과 같이 작성됩니다.
E = (m 2 c 4 + p 2 c 2 ) 1/2
이전 관계에서 입자의 운동량이 p = 0이면 질량 m의 나머지 입자에서 에너지를 빛의 속도 c와 연관시키는 유명한 방정식 E = mc 2 가 있습니다.
세 번째 가정 : Hamiltonian 연산자를 얻기 위해 Schrodinger 방정식에 사용 된 동일한 양자화 규칙이 사용됩니다.
P = -i H ∂ / ∂ R
처음에는 제곱근 내에서 작동하는이 미분 연산자를 처리하는 방법이 명확하지 않았기 때문에 Dirac은 운동량 연산자에 대한 선형 해밀턴 연산자를 구하기 시작했고 거기에서 그의 네 번째 가정이 생겼습니다.
네 번째 가정 : 상대 론적 에너지 공식에서 제곱근을 제거하기 위해 Dirac은 E 2에 대해 다음 구조를 제안했습니다 .
물론 이것이 사실이 되려면 알파 계수 (α0, α1, α2, α3)를 결정해야합니다.
Dirac의 방정식
콤팩트 한 형태로 Dirac 방정식은 세계에서 가장 아름다운 수학 방정식 중 하나로 간주됩니다.
그림 2. 콤팩트 한 형태의 Dirac 방정식. 출처 : F. Zapata.
그리고 그것은 상수 알파가 스칼라 수량이 될 수 없다는 것이 분명해 졌을 때입니다. 네 번째 가정의 등식이 충족되는 유일한 방법은 Dirac 행렬로 알려진 상수 4 × 4 행렬이라는 것입니다.
파동 함수가 스칼라 함수가 아니고 스피너라고하는 네 가지 구성 요소가있는 벡터가되는 것을 즉시 관찰합니다.
Dirac-Jordan 원자
원자 모델을 얻으려면 자유 전자 방정식에서 원자핵에 의해 생성되는 전자기장의 전자 방정식으로 이동해야합니다. 이 상호 작용은 Hamiltonian에서 스칼라 전위 Φ와 벡터 전위 A 를 통합하여 고려됩니다 .
이 Hamiltonian을 통합 한 결과 인 파동 함수 (spinor)는 다음과 같은 특징이 있습니다.
-전자의 고유 에너지 (상대 론적 해밀턴의 첫 번째 항)를 고려하므로 특수 상대성 이론을 수행합니다.
-Spinor의 네 가지 구성 요소에 해당하는 네 가지 솔루션이 있습니다.
-처음 두 솔루션은 하나는 회전 + ½에 해당하고 다른 하나는 회전에 해당합니다.-½
-마지막으로, 다른 두 솔루션은 반대 스핀을 가진 양전자의 것과 대응하기 때문에 반물질의 존재를 예측합니다.
Dirac 방정식의 가장 큰 장점은 기본 Schrodinger Hamiltonian H (o)에 대한 수정을 아래에 표시 할 몇 가지 용어로 나눌 수 있다는 것입니다.
앞의 식에서 V는 스칼라 전위입니다. 왜냐하면 중심 양성자가 정상이라고 가정하고 따라서 나타나지 않는 경우 벡터 전위 A 는 0이기 때문입니다.
파동 함수에서 Schrodinger 솔루션에 대한 Dirac 보정이 미묘한 이유입니다. 그것들은 수정 된 Hamiltonian의 마지막 세 항이 모두 빛의 제곱 속도 c, 엄청난 숫자로 나뉘어이 항을 수치 적으로 작게 만든다는 사실에서 발생합니다.
에너지 스펙트럼에 대한 상대 론적 수정
Dirac-Jordan 방정식을 사용하여 수소 원자에서 전자의 에너지 스펙트럼에 대한 보정을 찾습니다. 대략적인 형태로 하나 이상의 전자를 가진 원자의 에너지 보정은 섭동 이론으로 알려진 방법론을 통해 발견됩니다.
마찬가지로 Dirac 모델을 사용하면 수소 에너지 수준에서 미세한 구조 보정을 찾을 수 있습니다.
그러나 초 미세 구조 및 램 시프트와 같은 훨씬 더 미묘한 수정은 Dirac 모델의 기여로 정확하게 태어난 양자 장 이론과 같은 고급 모델에서 얻습니다.
다음 그림은 에너지 수준에 대한 Dirac의 상대 론적 수정이 어떻게 생겼는지 보여줍니다.
그림 3. Dirac 모델을 수소 원자 수준으로 수정. 출처 : Wikimedia Commons.
예를 들어 Dirac 방정식의 해는 수준 2에서 관측 된 이동을 정확하게 예측합니다. 이것은 수소 스펙트럼의 Lyman-alpha 라인에서 잘 알려진 미세 구조 보정입니다 (그림 3 참조).
그건 그렇고, 미세 구조는 전자 스핀의 직접적인 결과 인 원자 방출 스펙트럼의 선을 두 배로 늘리기 위해 원자 물리학에서 주어진 이름입니다.
그림 4. 수소 원자에서 기저 상태 n = 1 및 첫 번째 여기 상태 n = 2에 대한 미세 구조 분할. 출처 : R Wirnata. 수소와 같은 원자에 대한 상대 론적 수정. Researchgate.net
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참고 문헌
- 원자 이론. wikipedia.org에서 복구되었습니다.
- 전자 자기 순간. wikipedia.org에서 복구되었습니다.
- Quanta : 개념 핸드북. (1974). 옥스포드 대학 출판부. Wikipedia.org에서 복구되었습니다.
- Dirac Jordan 원자 모델. prezi.com에서 복구되었습니다.
- 새로운 양자 우주. 캠브리지 대학 출판부. Wikipedia.org에서 복구되었습니다.