이등변 사다리꼴 : 속성, 관계 및 공식, 예 - 수학 - 2025

등변 사다리꼴 인 평행 사변형 그 측면 중 하나는 동일한 계수를 갖고있는 측의 두 개의 서로 평행하고 또한 어느 두 인접한 각도.

그림 1에는 측면 AD와 BC가 평행 한 사각형 ABCD가 있습니다. 또한 평행면 AD에 인접한 각도 ∠DAB 및 ∠ADC는 동일한 측정 값 α를 갖습니다.

그림 1. 이등변 사다리꼴. 출처 : F. Zapata.

따라서이 사변형 또는 사변형 다각형은 사실상 이등변 사다리꼴입니다.

사다리꼴에서 평행 한면을베이스라고하고 평행하지 않은면을 측면이라고합니다. 또 다른 중요한 특징은 평행면을 분리하는 거리 인 높이입니다.

이등변 사다리꼴 외에도 다른 유형의 사다리꼴이 있습니다.

-T rapezoid scalene, 모든 각도와 다른 측면이 있습니다.

-직사각형 유채, 한쪽이 직각을 이루고 있습니다.

사다리꼴 모양은 설계, 건축, 전자, 계산 등의 다양한 분야에서 일반적입니다. 따라서 속성에 익숙해지는 것이 중요합니다.

속성

이등변 사다리꼴 전용

사다리꼴이 이등변이면 다음과 같은 특성을 갖습니다.

1.- 측면의 치수가 동일합니다.

2.- 밑변에 인접한 각도가 같습니다.

3.- 반대 각도는 보충입니다.

4. 대각선은 길이가 같고 반대쪽 꼭지점을 연결하는 두 세그먼트는 같습니다.

5.베이스와 대각선 사이에 형성된 각도는 모두 동일한 측정입니다.

6.- 외주가 있습니다.

반대로 사다리꼴이 위의 속성 중 하나를 충족하면 이등변 사다리꼴입니다.

이등변 사다리꼴에서 각도 중 하나가 오른쪽 (90º)이면 다른 모든 각도도 오른쪽이되어 직사각형을 형성합니다. 즉, 직사각형은 이등변 사다리꼴의 특별한 경우입니다.

그림 2. 팝콘 용기와 학교 테이블은 이등변 사다리꼴 모양입니다. 출처 : Pxfuel (왼쪽) / Flickr를 통한 McDowell Craig. (권리)

모든 공중 그네

다음 속성 집합은 모든 사다리꼴에 유효합니다.

7.- 사다리꼴의 중앙값, 즉 평행하지 않은면의 중간 점을 연결하는 세그먼트는베이스와 평행합니다.

8.- 중앙값의 길이는 밑변의 반합 (합을 2로 나눈 값)과 같습니다.

9.- 사다리꼴의 중앙값은 중간 지점에서 대각선을 자릅니다.

10. 사다리꼴의 대각선은 밑변의 몫에 비례하여 두 부분으로 나뉘는 지점에서 교차합니다.

11. 사다리꼴 대각선의 제곱의 합은 변의 제곱에 밑변의 이중 곱을 더한 것과 같습니다.

12.- 대각선의 중간 점을 연결하는 세그먼트의 길이는 밑면의 반차와 같습니다.

13.- 측면에 인접한 각도는 보완 적입니다.

14. 사다리꼴은 밑변의 합이 변의 합과 같을 때만 내접 원주를가집니다.

15.- 사다리꼴에 내접 원주가 있으면 해당 원주의 중심에 꼭지점이있는 각도와 같은 변의 끝을 통과하는 변은 직각입니다.

관계 및 공식

다음 관계 및 공식 세트는 그림 3을 참조하며, 이등변 사다리꼴 외에도 이미 언급 된 대각선, 높이 및 중앙값과 같은 다른 중요한 세그먼트가 표시됩니다.

그림 3. 이등변 사다리꼴의 중앙값, 대각선, 높이 및 외접 원주. 출처 : F. Zapata.

이등변 사다리꼴의 독특한 관계

1.-AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA 및 ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º 및 ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C 및 D는 외접원에 속합니다.

공중 그네에 대한 관계

1. AK = KB 및 DL = LC ⇒ KL-AD 및 KL-BC 인 경우

8.- KL = (광고 + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 및 DN = NB = DB / 2

10.-AO / OC = AD / BC 및 DO / OB = AD / BC

11.-AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.-MN = (AD-BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º 및 ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.-AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R이 AD, BC, AB 및 DC로부터 등거리보다

15.- ∃ R이 AD, BC, AB 및 DC에서 등거리 인 경우 :

∡BRA = ∡DRC = 90º

내접 원주가있는 이등변 사다리꼴의 관계

이등변 사다리꼴에서 밑변의 합이 옆면의 두 배와 같으면 내접 원주가 존재합니다.

그림 4. 내접 원주가있는 사다리꼴. 출처 : F. Zapata.

이등변 사다리꼴에 내접 원주가있는 경우 다음 속성이 적용됩니다 (위의 그림 4 참조).

16.-KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.-대각선이 직각으로 교차합니다 : AC ⊥ BD

18.- 높이는 중앙값과 동일하게 측정됩니다 : HF = KL, 즉, h = m.

19.- 높이의 제곱은 밑변 의 곱과 같습니다 : h ² = BC⋅AD

20.- 이러한 특정 조건에서 사다리꼴의 면적은 높이의 제곱 또는 밑면의 곱과 같습니다 : 면적 = h ² = BC⋅AD.

한쪽을 결정하고 다른 쪽과 각도를 아는 공식

베이스, 측면 및 각도를 알면 다른베이스는 다음에 의해 결정될 수 있습니다.

a = b + 2c Cos α

b = a-2c Cos α

기지의 길이와 각도가 알려진 데이터로 주어지면 양쪽의 길이는 다음과 같습니다.

c = (a-b) / (2 Cos α)

한쪽의 결정, 다른 쪽과 대각선을 아는 것

a = (d ₁ ² -c ² ) / b;

b = (d ₁ ² -c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² -a⋅b)

여기서 d ₁ 은 대각선의 길이입니다.

높이, 면적 및 기타 기준에서 기준

a = (2 A) / h-b

b = (2 A) / h-a

알려진 측면베이스, 면적 및 각도

c = (2A) /

알려진 측면 중앙값, 면적 및 각도

c = A / (m sin α)

알려진 높이 측면

h = √

알려진 높이, 각도 및 양면

h = tg α⋅ (a-b) / 2 = c. sin α

알려진 대각선 모든면 또는 양면과 각도

d ₁ = √ (c ² + ab)

D ₁ = √ (A ² + C ² - α 왜냐하면 2 AC)

D ₁ = √ (B ² + C ² - 2의 cos β BC)

이등변 삼각형의 둘레

P = a + b + 2c

이등변 사다리꼴 영역

알려진 데이터에 따라 면적을 계산하는 몇 가지 공식이 있습니다. 다음은 바닥과 높이에 따라 가장 잘 알려진 것입니다.

A = h⋅ (a + b) / 2

또한 다음과 같은 다른 것을 사용할 수 있습니다.

-측면이 알려진 경우

A = √

-양면과 각도가있을 때

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a-c Cos α) c Sen α

-내접원의 반경과 각도를 아는 경우

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-베이스와 각도를 알고있을 때

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-사다리꼴에 원주를 새길 수있는 경우

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-대각선과 서로 형성되는 각도를 파악

A = (d ₁ ² / 2) γ = Sen (d ₁ ² / 2) δ Sen

-측면, 중앙값 및 각도가있을 때

A = mc.sen α = mc.sen β

외접원의 반경

이등변 사다리꼴에만 외접 원주가 있습니다. 더 큰 밑면 a, 측면 c 및 대각선 d _{1이 알려진} 경우 사다리꼴의 4 개 꼭지점을 통과하는 원의 반지름 R은 다음과 같습니다.

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

여기서 p = (a + c + d ₁ ) / 2

이등변 사다리꼴 사용의 예

이등변 사다리꼴은 그림 2와 같이 디자인 분야에 나타납니다. 그리고 여기에 몇 가지 추가 예가 있습니다.

건축과 건설에서

고대 잉카인들은 이등변 사다리꼴을 알고 페루 쿠스코에있는이 창에서 건축 요소로 사용했습니다.

그림 5. 쿠스코 Coricancha의 사다리꼴 창. 출처 : Wikimedia Commons.

그리고 여기서 사다리꼴은 건축에 자주 사용되는 재료 인 소위 사다리꼴 시트에 다시 나타납니다.

그림 6. 건물의 창문을 일시적으로 보호하는 사다리꼴 금속 시트. 출처 : Wikimedia Commons.

디자인에서

이등변 사다리꼴이이 초콜릿 바와 같은 음식을 포함하여 일상적인 물건에 나타나는 것을 이미 보았습니다.

그림 7. 얼굴이 이등변 사다리꼴 모양의 초콜릿 바. 출처 : Pxfuel.

해결 된 운동

- 연습 1

이등변 사다리꼴의 밑변은 9cm보다 크고 밑변은 3cm 미만이며 대각선은 각각 8cm입니다. 계산하다:

a) 측면

b) 높이

c) 둘레

d) 면적

그림 8. 연습 계획 1. 출처 : F. Zapata

솔루션

높이 CP = h가 플로팅되며 높이의 발이 세그먼트를 정의합니다.

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a-x = a-a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

직각 삼각형 DPC에 피타고라스 정리 사용 :

C ² = H ² + (a - b) ² / 4

또한 직각 삼각형 APC에 :

D ² = H ² + AP ² = H ² + (a + 나) ² / 4

마지막으로 멤버 별 멤버를 빼고 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 단순화합니다.

d ² -c ² = ¼ = ¼

d ² -c ² = ¼ = ab

C ² = ㄹ ² AB ⇒ C = √ (d - ² - AB) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6.08 cm를

솔루션 b

H ² = ㄹ ⁽²⁾ - (a + 나) ² / 4 = 8 ⁽²⁾ - (12 ⁽²⁾ / 2 ⁽²⁾ ) = 8 ⁽²⁾ - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5.29cm

솔루션 c

둘레 = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

솔루션 d

면적 = h (a + b) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74cm

-연습 2

이등변 사다리꼴이 있는데, 큰 밑면이 작은 것의 두 배이고 작은 밑면이 높이 인 6cm와 같습니다. 결정 :

a) 측면의 길이

b) 둘레

c) 면적

d) 각도

그림 8. 연습 계획 2. 출처 : F. Zapata

솔루션

데이터 : a = 12, b = a / 2 = 6 및 h = b = 6

우리는 다음과 같이 진행합니다 : 높이 h를 그리고 빗변 삼각형«c»와 다리 h와 x에 피타고라스 정리를 적용합니다.

c ² = h ² + xc ²

그런 다음 데이터 (h = b)와 다리 x의 높이 값을 계산해야합니다.

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

이전 표현식을 대체하면 다음과 같습니다.

C ² = B ² + (AB) ² / 2 ⁽²⁾

이제 숫자 값이 도입되고 단순화됩니다.

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

획득 :

c = 3√5 = 6.71cm

솔루션 b

둘레 P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61.42cm

솔루션 c

베이스의 높이와 길이에 따른 면적은 다음과 같습니다.

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54cm ²

솔루션 d

더 큰 밑변과 함께 측면이 형성하는 각도 α는 삼각법으로 구합니다.

탄 (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63.44º

다른 각도, 더 작은 밑변을 가진 측면을 형성하는 각도는 β이며, 이는 α를 보완합니다.

β = 180º-α = 180º-63.44º = 116.56º

참고 문헌

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2. Campos, F. 2014. 수학 2. Grupo Editorial Patria.
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