관성 모멘트 : 공식, 방정식 및 계산 예 - 물리적 인 - 2025

관성 모멘트 회전의 소정 축에 대한 강체의 축 주위를 상기 각속도의 변화에 대한 저항성을 나타낸다. 몸체는 형상에 따라 다른 축보다 특정 축을 중심으로 더 쉽게 회전 할 수 있기 때문에 질량과 회전축의 위치에 비례합니다.

축을 중심으로 회전 할 수있는 큰 물체 (많은 입자로 구성됨)를 가정합니다. τ _net = ∑ r _i x F _i로 주어진 토크 또는 모멘트를 생성하는 질량 Δm _i 의 요소에 접선 방향으로 적용된 힘 F가 작용한다고 가정합니다 . 벡터 r _i 는 Δm _i 의 위치입니다 (그림 2 참조).

그림 1. 다양한 그림의 관성 모멘트. 출처 : Wikimedia Commons.

이 모멘트는 회전면에 수직입니다 (방향 + k = 용지를 떠남). 힘과 반경 위치 벡터는 항상 수직이므로 외적은 다음과 같이 유지됩니다.

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

그림 2. 회전하는 단단한 고체에 속하는 입자. 출처 : Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. 볼륨 1. Cengage 학습.

가속도 a _i 는 반경 방향 가속도가 토크에 기여하지 않기 때문에 가속도의 접선 성분을 나타냅니다. 각 가속도 α의 함수로 다음을 나타낼 수 있습니다.

따라서 순 토크는 다음과 같습니다.

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

각 가속도 α는 전체 객체에 대해 동일하므로 아래 첨자 "i"의 영향을받지 않으며 문자 I로 상징되는 객체의 관성 모멘트 인 합계를 남길 수 있습니다.

이것은 이산 질량 분포의 관성 모멘트입니다. 분포가 연속적이면 합계가 적분으로 대체되고 Δm은 질량 미분 dm이됩니다. 적분은 전체 객체에 대해 수행됩니다.

SI 국제 시스템에서 관성 모멘트의 단위는 kg xm ² 입니다. 질량과 거리의 제곱의 곱이기 때문에 스칼라와 양수입니다.

계산 예

밀도 ρ가 일정하고 밀도가 질량-부피 비율이라는 것을 알고있는 막대, 디스크, 구 또는 기타와 같은 확장 된 물체, 질량 차이 dm은 다음과 같이 작성됩니다.

관성 모멘트를 적분으로 대체하면 다음과 같습니다.

이것은 부피 V와 위치 r 이 공간 좌표 x, y, z의 함수 인 3 차원 물체에 유효한 일반 표현식 입니다. 일정하기 때문에 밀도는 적분을 벗어납니다.

밀도 ρ는 벌크 밀도라고도합니다. 그러나 물체가 시트처럼 매우 평평하거나 막대처럼 매우 얇고 좁은 경우 다른 형태의 밀도를 사용할 수 있습니다.

-매우 얇은 시트의 경우 사용할 밀도는 σ, 표면 밀도 (단위 면적당 질량), dA는 면적 차이입니다.

-길이 만 관련된 얇은 막대 인 경우 기준으로 사용되는 축에 따라 선형 질량 밀도 λ 및 길이 차이를 사용합니다.

다음 예에서 모든 개체는 고정 (변형 불가능)으로 간주되며 밀도가 균일합니다.

중심을 통과하는 축에 대한 얇은 철근의 관성 모멘트

여기서 우리는 매체를 통과하는 축에 대해 길이가 L이고 질량이 M 인 얇고 단단하며 균질 한 막대의 관성 모멘트를 계산합니다.

먼저 다음과 같이 좌표계를 설정하고 적절한 지오메트리로 그림을 작성해야합니다.

그림 3. 중심을 통과하는 수직 축에 대한가는 막대의 관성 모멘트를 계산하는 기하학. 출처 : F. Zapata.

막대를 따라있는 x 축과 y 축이 회전축으로 선택되었습니다. 적분을 설정하는 절차에서는 막대에서 dm이라는 질량 차이를 선택해야합니다.이 막대는 길이 dx가 다르고 중심 x = 0에 대해 임의의 위치 x에 위치합니다.

선형 질량 밀도 λ의 정의에 따르면 :

밀도가 균일하므로 M과 L에 유효하므로 dm 및 dx에도 유효합니다.

반면에 매스 요소는 위치 x에 있으므로 정의에서이 지오메트리를 대체하면 좌표계에 따라 막대의 끝이 한계 인 명확한 적분이 있습니다.

선형 밀도 λ = M / L 대체 :

예를 들어 극단 중 하나를 통과하는 다른 회전 축에 대한 막대의 관성 모멘트를 찾으려면 Steiner의 정리를 사용하거나 (마지막에서 해결 된 연습 참조) 표시된 것과 유사한 직접 계산을 수행 할 수 있습니다. 여기에서 지오메트리를 적절하게 수정합니다.

중심을 통과하는 축에 대한 디스크의 관성 모멘트

무시할 수있는 두께의 매우 얇은 디스크는 평평한 그림입니다. 질량이 영역 A의 전체 표면에 균일하게 분포 된 경우 질량 밀도 σ는 다음과 같습니다.

dm과 dA는 모두 그림에 표시된 차동 링의 질량과 면적에 해당합니다. 전체 어셈블리가 y 축을 중심으로 회전한다고 가정합니다.

디스크가 각각의 관성 모멘트를 가진 반지름 r의 많은 동심 링으로 구성되어 있다고 상상할 수 있습니다. 반지름 R에 도달 할 때까지 모든 링의 기여도를 추가하면 디스크의 총 관성 모멘트를 얻게됩니다.

그림 4. 축축에 대한 디스크의 관성 모멘트를 계산하는 기하학. 출처 : F. Zapata.

여기서 M은 디스크의 전체 질량을 나타냅니다. 디스크의 면적은 반경 r에 따라 다음과 같이 달라집니다.

r에 대한 도출 :

I의 정의에서 위의 대체 :

σ = M / (π.R ² )를 대체 하면 다음과 같이됩니다.

직경에 대한 솔리드 구의 관성 모멘트

반지름 R의 구는 무한한 질량 dm, 반지름 r 및 두께 dz의 각 디스크가 다음과 같이 주어진 관성 모멘트를 갖는 일련의 디스크로 간주 될 수 있습니다.

이 미분을 찾기 위해 이전 섹션의 공식을 취하고 각각 dm과 r을 M과 R로 대체했습니다. 이와 같은 디스크는 그림 5의 기하학에서 볼 수 있습니다.

그림 5. 직경을 통과하는 축에 대한 반경 R의 솔리드 구의 관성 모멘트를 계산하기위한 기하학. 출처 : F. Zapata.

쌓인 디스크의 무한한 관성 모멘트를 모두 더하면 구의 총 관성 모멘트가 얻어집니다.

다음과 같습니다.

적분을 풀려면 dm을 적절하게 표현해야합니다. 항상 그렇듯이 밀도에서 달성됩니다.

차등 디스크의 볼륨은 다음과 같습니다.

디스크의 높이는 두께 dz이고 밑면의 면적은 πr ² 이므로 다음과 같습니다.

그리고 제안 된 적분을 대체하면 다음과 같습니다.

그러나 적분하기 전에 그림 5에서 볼 수 있듯이 r (원판의 반지름)은 z와 R (구의 반지름)에 따라 달라진다는 사실을 관찰해야합니다. 피타고라스 정리 사용 :

이는 다음과 같은 결과로 이어집니다.

전체 구를 통합하기 위해 z는 –R과 R 사이에서 달라 지므로 다음과 같이됩니다.

단순화 한 후 ρ = M / V = ​​M /이 최종적으로 얻어진다는 것을 알면 :

축축에 대한 솔리드 원통의 관성 모멘트

이 물체에는 구에 사용 된 것과 유사한 방법이 사용되는데, 이번에는 원통이 양파의 층인 것처럼 반경 r, 두께 dr 및 높이 H의 원통형 껍질로 구성되는 것으로 상상하면 더 쉽습니다. .

그림 6. 축축에 대해 반경 R의 솔리드 실린더의 관성 모멘트를 계산하기위한 기하학. 출처 : Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. 볼륨 1. Cengage.

원통형 층의 부피 dV는 다음과 같습니다.

따라서 쉘 질량은 다음과 같습니다.

이 표현은 관성 모멘트의 정의에서 대체됩니다.

위의 방정식은 실린더의 관성 모멘트가 길이에 의존하지 않고 질량과 반경에만 의존한다는 것을 나타냅니다. L이 변경되면 축 축에 대한 관성 모멘트는 동일하게 유지됩니다. 이러한 이유로 실린더의 I는 이전에 계산 된 얇은 디스크의 I와 일치합니다.

중심을 통과하는 축에 대한 직사각형 시트의 관성 모멘트

수평 y 축이 회전축으로 선택되었습니다. 아래 그림은 통합을 수행하는 데 필요한 형상을 보여줍니다.

그림 7. 시트에 평행하고 중심을 통과하는 축에 대한 직사각형 플레이트의 관성 모멘트를 계산하기위한 기하학. 출처 : F. Zapata.

빨간색으로 표시된 영역 요소는 직사각형입니다. 면적은 기본 x 높이이므로 다음과 같습니다.

따라서 질량 차이는 다음과 같습니다.

영역 요소에서 회전축까지의 거리는 항상 z입니다. 이 모든 것을 관성 모멘트의 적분으로 대체합니다.

이제 표면 질량 밀도 σ는 다음으로 대체됩니다.

그리고 확실히 다음과 같이 보입니다.

얇은 막대와 같습니다.

중심을 통과하는 축에 대한 사각 시트의 관성 모멘트

변이 L 인 정사각형의 경우 직사각형에 유효한 이전 표현식에서 L 값을 b 값으로 대체하면됩니다.

관성 모멘트 정리

다른 축에 대한 관성 모멘트 계산을 단순화하는 데 특히 유용한 두 가지 정리가 있습니다. 그렇지 않으면 대칭 부족으로 인해 찾기 어려울 수 있습니다. 이러한 정리는 다음과 같습니다.

슈타이너의 정리

평행 축 정리라고도하며, 축이 평행 한 한 축에 대한 관성 모멘트를 물체의 질량 중심을 통과하는 다른 축과 관련시킵니다. 이를 적용하려면 두 축 사이의 거리 D와 물체의 질량 M을 알아야합니다.

I의하자 _{Z 될} z 축에 대하여 확장 된 오브젝트의 관성 모멘트 I _CM 질량 중심 상기 오브젝트 (CM)을 통해 통과하는 축에 대한 관성 모멘트는 다음을 만족한다 :

또는 다음 그림의 표기법 : I _{z '} = I _z + Md ²

그림 8. Steiner의 정리 또는 평행 축. 출처 : Wikimedia Commons. 잭 씨

수직축 정리

이 정리는 평면 표면에 적용되며 다음과 같이 진행됩니다. 수직 인 축을 중심으로 한 평면 물체의 관성 모멘트는 첫 번째 축에 수직 인 두 축 주위의 관성 모멘트의 합입니다.

그림 9. 수직 축 정리. 출처 : F. Zapata.

객체가 I _x 와 I _y 가 같은 대칭을 갖는다면 다음이 사실입니다.

운동이 해결됨

그림 1 (아래 및 오른쪽) 및 그림 10과 같이 끝 중 하나를 통과하는 축에 대한 막대의 관성 모멘트를 찾습니다.

그림 10. 한쪽 끝을 통과하는 축 주위의 균일 한 철근의 관성 모멘트. 출처 : F. Zapata.

해결책:

우리는 이미 기하학적 중심을 통과하는 축을 중심으로 막대의 관성 모멘트를 가지고 있습니다. 바는 균일하기 때문에 이것이 우리의 내가 될 수 있도록, 질량 중심은 그 시점에서 _CM을 스타이너의 정리를 적용 할 수 있습니다.

막대의 길이가 L이면 z 축은 거리 D = L / 2에 있으므로 다음과 같습니다.

참고 문헌

1. Bauer, W. 2011. 공학 및 과학 물리학. 볼륨 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. 물리학의 기초. 피어슨. 190-200.
3. 평행 축 정리. 출처 : hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. 과학 및 공학 물리학. 볼륨 1. Cengage.
5. 세비야 대학교. 구형 솔리드 관성 모멘트. 출처 : laplace.us.es.
6. 세비야 대학교. 입자 시스템의 관성 모멘트입니다. 출처 : laplace.us.es.
7. Wikipedia. 평행 축 정리. 출처 : en.wikipedia.org