삼각형 : 역사, 요소, 분류, 속성 - 과학 - 2025

삼각형 평면이며 삼면 구성된 기하학적 수치를 닫았다. 삼각형은 2x2로 교차하는 3 개의 선으로 결정되며 서로 3 개의 각도를 형성합니다. 상징주의로 가득 찬 삼각형 모양은 무수히 많은 물건과 구성 요소로 존재합니다.

삼각형의 기원은 역사상 사라졌습니다. 고고 학적 증거에서 원시 인류가 그것을 잘 알고 있다는 것이 알려져 있으며, 고고 학적 유물은 그것이 도구와 무기에 사용되었음을 확인하기 때문입니다.

그림 1. 삼각형. 출처 : Publicdomainpictures.

고대 이집트인들이 기하학, 특히 삼각형 모양에 대한 확실한 지식을 가지고 있다는 것도 분명합니다. 그들은 기념비적 인 건물의 건축 요소에 반영되었습니다.

Rhind 파피루스에서는 삼각형과 사다리꼴의 면적을 계산하는 공식과 일부 볼륨 및 기타 기초 삼각법 개념을 찾을 수 있습니다.

그들의 부분을 위해 바빌로니아 사람들은 삼각형의 면적과 땅의 분할과 같은 실용적인 목적으로 사용한 다른 기하학적 인물을 계산할 수 있었다고 알려져 있습니다. 그들은 또한 삼각형의 많은 속성에 대해 잘 알고있었습니다.

그러나 오늘날 널리 퍼진 많은 기하학적 개념을 체계화 한 것은 고대 그리스인이었습니다. 비록이 지식의 대부분이 배타적이지는 않았지만 다른 고대 문명과 확실히 공유 되었기 때문입니다.

삼각형 요소

삼각형의 요소는 다음 그림에 나와 있습니다. 정점, 측면 및 각도의 세 가지가 있습니다.

그림 2. 삼각형과 그 요소의 표기법. 출처 : F. Zapata가 수정 한 Wikimedia Commons

-Vertices : 세그먼트가 삼각형을 결정하는 선의 교차점입니다. 예를 들어 위 그림 에서 세그먼트 AC를 포함 하는 선 L _AC 는 지점 A에서 세그먼트 AB를 포함하는 선 L _AB 와 교차합니다 .

- 측면 : 각 정점 쌍 사이에 삼각형의 한 측면을 구성하는 선분이 그려집니다. 이 세그먼트는 끝 문자로 표시하거나 특정 문자를 사용하여 호출 할 수 있습니다. 그림 2의 예에서 측면 AB는 "c"라고도합니다.

- 각도 : 공통 꼭지점이있는 각 변 사이에서 삼각형의 꼭지점과 일치하는 각도가 발생합니다. 일반적으로 각도는 처음에 언급했듯이 그리스 문자로 표시됩니다.

주어진 모양과 크기로 특정 삼각형을 만들려면 다음 데이터 세트 중 하나만 있으면됩니다.

-삼각형의 경우 매우 분명한 3면.

-두 변과 그 사이의 각도, 그리고 즉시 나머지 변이 그려집니다.

-두 (내부) 각도와 그 사이의 측면. 확장하여 두 개의 누락 된면이 그려지고 삼각형이 준비됩니다.

표기법

일반적으로 삼각형 표기법에서는 다음과 같은 규칙이 사용됩니다. 정점은 라틴 대문자로, 측면은 라틴 소문자로, 각도는 그리스 문자로 표시됩니다 (그림 2 참조).

이런 식으로 삼각형은 정점에 따라 이름이 지정됩니다. 예를 들어, 그림 2의 왼쪽에있는 삼각형은 삼각형 ABC이고 오른쪽에있는 삼각형은 A'B'C '입니다.

다른 표기법을 사용할 수도 있습니다. 예를 들어, 그림 2의 각도 α는 BAC로 표시됩니다. 꼭짓점의 문자는 중간에 있고 문자는 시계 반대 방향으로 쓰여집니다.

다른 경우에는 캐럿이 각도를 표시하는 데 사용됩니다.

α = ∠A

삼각형의 종류

삼각형을 분류하는 데는 몇 가지 기준이 있습니다. 가장 일반적인 것은 측면의 치수 또는 각도의 치수에 따라 분류하는 것입니다. 변의 크기에 따라 삼각형은 스케일, 이등변 또는 등변이 될 수 있습니다.

-Scaleno : 3면이 다릅니다.

-이등변 : 두 개의 동일한 변과 다른 한 변이 있습니다.

-Equilátero : 세 변이 동일합니다.

그림 3. 삼각형의 변별 분류. 출처 : F. Zapata

각도 측정에 따라 삼각형의 이름은 다음과 같습니다.

- 내부 각도 중 하나가 90º보다 큰 경우 장애물 .

- 급성 각 삼각형의 3 개의 내부 각이 90도 이하가보다 급성 때

- 직사각형 , 내부 각도 중 하나가 90º에 해당하는 경우. 90º를 형성하는 변을 다리라고하고 직각 반대편이 빗변입니다.

그림 4. 내부 각도에 따른 삼각형 분류. 출처 : F. Zapata.

삼각형의 합동

두 삼각형의 모양과 크기가 같으면 합동이라고합니다. 물론 합동은 평등과 관련이 있습니다. 왜 기하학에서 "동일한 두 삼각형"대신 "두 합동 삼각형"을 말하는가?

두 개의 삼각형이 동일한 모양과 크기를 가질 수 있지만 평면에서 다른 방향을 가질 수 있기 때문에 진실을 고수하기 위해 "합동"이라는 용어를 사용하는 것이 좋습니다 (그림 3 참조). 기하학의 관점에서 볼 때 더 이상 엄격하게 동일하지 않습니다.

그림 5. 합동 삼각형 (평면에서의 방향이 다르기 때문에 반드시 동일하지는 않음). 출처 : F. Zapata.

일치 기준

다음 중 하나가 발생하면 두 개의 삼각형이 합동입니다.

-삼면이 동일하게 측정됩니다 (이것이 가장 분명합니다).

-그들은 두 개의 동일한 측면과 그들 사이의 각도가 같습니다.

-둘 다 두 개의 동일한 내부 각도를 가지며이 각도 사이의 측면은 동일하게 측정됩니다.

보시다시피 필요한 조건을 충족하는 두 개의 삼각형에 대한 것이므로 만들 때 모양과 크기가 정확히 동일합니다.

일치 기준은 실제로 매우 유용합니다. 실제로는 무수한 조각과 기계 부품이 측정 값과 모양이 정확히 동일한 방식으로 연속적으로 제조되어야하기 때문입니다.

삼각형의 유사성

삼각형은 크기가 다르더라도 모양이 같으면 다른 삼각형과 비슷합니다. 모양이 동일하도록하려면 내부 각도의 값이 동일하고 변이 비례해야합니다.

그림 6. 두 개의 유사한 삼각형 : 크기는 다르지만 비율은 동일합니다. 출처 : F. Zapata.

그림 2의 삼각형도 그림 6의 삼각형과 유사합니다.

측면의 경우 다음과 같은 유사성 비율이 유지됩니다.

속성

삼각형의 기본 속성은 다음과 같습니다.

-모든 삼각형의 내부 각도의 합은 항상 180º입니다.

-삼각형의 경우 외부 각도의 합은 360 °와 같습니다.

-삼각형의 외부 각도는 해당 각도에 인접하지 않은 두 내부 각도의 합과 같습니다.

정리

탈레스의 첫 번째 정리

그들은 기하학과 관련된 여러 정리를 개발 한 그리스 철학자이자 수학자 인 Miletus의 수학자 Thales에 기인합니다. 첫 번째는 다음과 같습니다.

그림 7. Thales의 정리. 출처 : F. Zapata.

다시 말해:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thales의 첫 번째 정리는 삼각형에 적용 할 수 있습니다. 예를 들어 왼쪽에 파란색 삼각형 ABC가 있고 오른쪽에 빨간색 평행선으로 잘립니다.

그림 8. Thales의 정리와 유사한 삼각형.

보라색 삼각형 AB'C '는 파란색 삼각형 ABC와 유사하므로 Thales의 정리에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

AB´ / AC´ = AB / AC

그리고 그것은 삼각형의 유사성 부분에서 이전에 설명한 것과 일치합니다. 그건 그렇고, 평행선은 빗변에 수직이거나 평행 할 수 있으며 유사한 삼각형이 같은 방식으로 얻어집니다.

탈레스의 두 번째 정리

이 정리는 또한 아래에 표시된 것과 같이 중심이 O 인 삼각형과 원을 나타냅니다. 이 그림에서 AC는 원주의 지름이고 B는 그 위의 점이며 B는 A 및 B와 다릅니다.

Thales의 두 번째 정리는 다음과 같이 말합니다.

그림 9. Thales의 두 번째 정리. 출처 : Wikimedia Commons. 유도 부하.

피타고라스 정리

이것은 역사상 가장 유명한 정리 중 하나입니다. 그것은 그리스 수학자 사모 스의 피타고라스 (기원전 569-475 년)에 기인하며 직각 삼각형에 적용 할 수 있습니다. 그렇게 말한다 :

그림 8의 파란색 삼각형 또는 자주색 삼각형을 예로 들어 보면 둘 다 직사각형이므로 다음과 같이 말할 수 있습니다.

AC ² = AB ² + BC ² (파란색 삼각형)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (보라색 삼각형)

삼각형의 면적

삼각형의 면적은 밑변 a와 높이 h를 2로 나눈 곱으로 주어집니다. 그리고 삼각법으로이 높이는 h = b sinθ로 쓸 수 있습니다.

그림 10. 삼각형의 면적. 출처 : Wikimedia Commons.

삼각형의 예

예 1

탈레스는 그의 첫 번째 정리를 통해 고대 세계 7 대 불가사의 중 하나 인 이집트의 대 피라미드의 높이를 땅에 비추는 그림자와 땅에 박힌 기둥에 비추는 그림자를 측정하여 측정했다고합니다.

다음은 Tales가 따르는 절차의 개요입니다.

그림 11. 삼각형의 유사성에 의해 대 피라미드의 높이를 측정하는 계획. 출처 : Wikimedia Commons. Dake

탈레스는 태양 광선이 평행을 이룬다 고 정확하게 가정했습니다. 이를 염두에두고 그는 오른쪽에있는 큰 직각 삼각형을 상상했습니다.

여기에서 D는 피라미드의 높이이고 C는 중앙에서 사막 바닥의 피라미드가 드리운 그림자까지 측정 한 지상의 거리입니다. C를 측정하는 것은 어려울 수 있지만 피라미드의 높이를 측정하는 것보다 확실히 쉽습니다.

왼쪽에는 다리 A와 B가있는 작은 삼각형이 있습니다. 여기서 A는 땅에 수직으로 박힌 말뚝의 높이이고 B는 드리 우는 그림자입니다. C와 마찬가지로 두 길이 모두 측정 가능합니다 (C는 그림자의 길이 + 피라미드 길이의 절반).

따라서 삼각형의 유사성으로 :

A / B = D / C

그리고 대 피라미드의 높이는 D = C로 밝혀졌습니다. (A / B)

예 2

토목 건축의 트러스는 목재 또는 금속의 얇은 직선 막대로 십자형으로 만든 구조물로, 많은 건물에서 지지대로 사용됩니다. 트러스, 트러스 또는 트러스라고도합니다.

그 안에는 삼각형이 항상 존재하는데, 그 이유는 막대가 노드라고 불리는 지점에서 서로 연결되어 있기 때문에 고정되거나 연결될 수 있습니다.

그림 12.이 다리의 프레임에 삼각형이 있습니다. 출처 : PxHere

예제 3

삼각 측량으로 알려진 방법을 사용하면 정점 사이에 원하는 위치를 포함하는 삼각형이 형성되어 있으면 측정하기 더 쉬운 다른 거리를 알고있는 접근 할 수없는 지점의 위치를 ​​얻을 수 있습니다.

예를 들어, 다음 그림에서 B로 표시된 배가 바다에있는 위치를 알고 싶습니다.

그림 13. 배를 찾기위한 삼각 측량 방식. 출처 : Wikimedia Commons. 콜레트

먼저 해안의 두 지점 사이의 거리를 측정합니다. 그림에서 A와 C입니다. 다음으로 각도 α와 β는 수직 및 수평 각도를 측정하는 데 사용되는 장치 인 theodolite를 사용하여 결정되어야합니다.

이 모든 정보를 바탕으로 위쪽 정점이 배인 삼각형이 만들어집니다. 바다에서 선박의 위치를 ​​결정하기 위해 삼각형의 속성과 삼각법을 사용하여 AB 및 CB 거리를 사용하여 각도 γ를 계산하는 것이 남아 있습니다.

식

연습 1

그림에서 태양 광선은 평행합니다. 이런 식으로 5m 높이의 나무는 지상에 6m 그림자를 드리 웁니다. 동시에 건물의 그림자는 40 미터입니다. Thales의 첫 번째 정리에 따라 건물의 높이를 찾으십시오.

그림 14. 해결 된 연습을위한 계획 1. 출처 : F. Zapata.

해결책

빨간색 삼각형의 측면은 각각 5m와 6m이고 파란색 삼각형은 높이 H (건물 높이)와 기본 40m입니다. 두 삼각형은 비슷하므로 다음과 같습니다.

연습 2

두 지점 A와 B 사이의 수평 거리를 알아야하지만 매우 고르지 않은지면에 있습니다.

상기 지형의 대략 중간 지점 (P _m )에서 1.75 미터 높이의 돌출부가 두드러집니다. 줄자가 A에서 돌출부까지의 길이가 26 미터이고 B에서 같은 지점까지의 길이가 27 미터 인 경우 거리 AB를 찾습니다.

그림 15. 해결 된 연습을위한 계획 2. 출처 : Jiménez, R. Mathematics II. 기하학과 삼각법.

해결책

피타고라스 정리는 그림의 두 직각 삼각형 중 하나에 적용됩니다. 왼쪽에있는 것부터 시작 :

빗변 = c = 26m

높이 = a = 1.75 미터

AP의 _m = (26 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 25.94 m

이제 오른쪽 삼각형에 피타고라스를 적용합니다. 이번에는 c = 27m, a = 1.75m입니다. 다음 값으로 :

BP의 _m = (27 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 26.94 m

거리 AB는 다음 결과를 추가하여 구합니다.

AB = 25.94m + 26.94m = 52.88m.

참고 문헌

1. Baldor, JA 1973. 평면과 공간 기하학. 중앙 아메리카 문화.
2. Barredo, D. 삼각형의 기하학. 출처 : ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. 수학 II. 기하학과 삼각법. 두번째 버전. 피어슨.
4. Wentworth, G. 평면 기하학. 출처 : gutenberg.org.
5. Wikipedia. 삼각형. 출처 : es. wikipedia.org.