사변형 : 요소, 속성, 분류, 예 - 수학

사변형은 은, 4 개의 변과 4 개 개의 정점을 가진 다각형이다. 반대쪽은 공통된 정점이없는면이고 연속적인면은 공통된 정점이있는면입니다.

사변형에서 인접한 각은 한 변을 공유하고 반대 각은 공통 변이 없습니다. 사변형의 또 다른 중요한 특징은 4 개의 내부 각도의 합이 평면 각도의 두 배, 즉 360º 또는 2π 라디안이라는 것입니다.

그림 1. 다양한 사변형. 출처 : F. Zapata.

대각선은 정점을 반대편과 연결하는 세그먼트이며 주어진 사변형에서 각 정점에서 단일 대각선을 그릴 수 있습니다. 사변형의 총 대각선 수는 2입니다.

사변형은 고대부터 인류에게 알려진 인물입니다. 고고학 기록과 오늘날 살아남은 건축물은이를 증명합니다.

마찬가지로 오늘날 사변형은 모든 사람의 일상 생활에서 중요한 존재를 계속하고 있습니다. 독자는 현재 텍스트를 읽고있는 화면, 창문, 문, 자동차 부품 및 기타 수많은 장소에서이 양식을 찾을 수 있습니다.

사변형 분류

반대편의 평행도에 따라 사변형은 다음과 같이 분류됩니다.

사다리꼴, 평행도가없고 사변형이 볼록한 경우.
사다리꼴, 한 쌍의 반대편 사이에 평 행성이있는 경우.
평행 사변형, 반대쪽이 2x2로 평행 한 경우.

그림 2. 사변형의 분류 및 하위 분류. 출처 : Wikimedia Commons.

평행 사변형의 유형

차례로 평행 사변형은 각도와 측면에 따라 다음과 같이 분류 할 수 있습니다.

Rectangle은 4 개의 내부 각도가 동일한 평행 사변형입니다. 직사각형의 내부 각도는 직각 (90º)을 형성합니다.
정사각형, 네 변이 같은 크기의 직사각형입니다.
마름모는 네 변이 같지만 인접한 각도가 다른 평행 사변형입니다.
서로 다른 인접 각도를 가진 마름모꼴, 평행 사변형.

공중 그네

사다리꼴은 두 개의 평행 한면이있는 볼록한 사변형입니다.

그림 3. 사다리꼴의베이스, 측면, 높이 및 중앙값. 출처 : Wikimedia Commons.

-사다리꼴에서 평행 한면을베이스라고하고 평행하지 않은면을 측면이라고합니다.

-사다리꼴의 높이는 두베이스 사이의 거리, 즉 끝이베이스에 있고 그에 수직 인 세그먼트의 길이입니다. 이 부분을 사다리꼴 높이라고도합니다.

-중앙값은 측면의 중간 점을 연결하는 세그먼트입니다. 중앙값은 사다리꼴의 밑면과 평행하고 길이는 밑면의 반합과 같다는 것을 알 수 있습니다.

-사다리꼴의 면적은 높이에 밑면의 반합을 곱한 것입니다.

사다리꼴의 유형

-직사각형 사다리꼴 :면이 밑면과 수직 인 것입니다. 이쪽도 사다리꼴의 높이입니다.

-등변 사다리꼴 : 변의 길이가 같은 것. 이등변 사다리꼴에서는 밑변에 인접한 각도가 같습니다.

-비늘 사다리꼴 : 변의 길이가 다른 사다리꼴 . 반대 각도는 예각이고 다른 각도는 둔각 일 수 있지만 둘 다 둔각이거나 둘 다 예각 일 수도 있습니다.

그림 4. 사다리꼴의 종류. 출처 : F. Zapata.

평행 사변형

평행 사변형은 반대쪽이 2x2로 평행 한 사변형입니다. 평행 사변형에서 반대 각도는 동일하고 인접 각도는 보완 적입니다. 즉, 인접한 각도의 합은 180º입니다.

평행 사변형의 각도가 직각이면 다른 모든 각도도 마찬가지이며 결과 그림을 직사각형이라고합니다. 그러나 직사각형에 길이가 같은 인접한 변이 있으면 모든 변이 같고 결과 그림은 정사각형입니다.

그림 5. 평행 사변형. 직사각형, 정사각형 및 마름모는 평행 사변형입니다. 출처 : F. Zapata.

평행 사변형에 같은 길이의 인접한 두 변이 있으면 모든 변의 길이가 같고 결과 그림은 마름모가됩니다.

평행 사변형의 높이는 끝이 반대편에 있고 수직 인 선분입니다.

평행 사변형의 면적

평행 사변형의 면적은 밑면에 높이를 곱한 값이며 밑면은 높이에 수직 인면입니다 (그림 6).

평행 사변형의 대각선

정점에서 시작하는 대각선의 제곱은 해당 정점에 인접한 두 변의 제곱에 해당 정점 각도의 코사인을 곱한 두 변의 곱을 더한 것과 같습니다.

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

그림 6. 평행 사변형. 반대 각도, 높이, 대각선. 출처 : F. Zapata.

평행 사변형의 정점에 반대되는 대각선의 제곱은 해당 정점에 인접한 두 변의 제곱의 합과 같고 정점 각도의 코사인으로이 변의 이중 곱을 뺍니다.

g ⁽²⁾ = A ⁽²⁾ + D ² - 2 광고 왜냐하면 (α)

평행 사변형의 법칙

평행 사변형에서 변의 제곱의 합은 대각선의 제곱의 합과 같습니다.

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

직사각형은 반대쪽이 2x2 평행하고 또한 직각을 갖는 사각형입니다. 즉, 직사각형은 직각을 가진 평행 사변형의 한 유형입니다. 평행 사변형이기 때문에 직사각형의 길이가 a = c 및 b = d 인 반대 변이 있습니다.

그러나 평행 사변형에서와 같이 인접한 각은 보완적이고 반대 각은 동일합니다. 직사각형에서는 직각을 가지기 때문에 반드시 다른 세 각도에서 직각을 형성합니다. 즉, 직사각형에서 모든 내부 각도는 90º 또는 π / 2 라디안을 측정합니다.

직사각형의 대각선

직사각형에서 대각선은 아래에 설명 된대로 길이가 같습니다. 그 이유는 다음과 같습니다. 직사각형은 모든 직각을 가진 평행 사변형이므로 대각선 길이를 제공하는 공식을 포함하여 평행 사변형의 모든 속성을 상속합니다.

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ⁽²⁾ = A ⁽²⁾ + D ² - 2 광고 왜냐하면 (α)

α = 90º

Cos (90º) = 0이므로 다음과 같이됩니다.

f ² = g ² = a ² + d ²

즉, f = g이므로 직사각형의 두 대각선 길이 f와 g는 같고 길이는 다음과 같이 지정됩니다.

또한 인접한면 a와 b가있는 직사각형에서 한면이베이스로 사용되면 다른면은 높이가되고 결과적으로 직사각형의 면적은 다음과 같습니다.

직사각형의 면적 = ax b.

둘레는 직사각형의 모든 변의 합이지만 반대가 같기 때문에 변이 a와 b 인 직사각형의 경우 둘레는 다음 공식으로 제공됩니다.

직사각형 둘레 = 2 (a + b)

그림 7. 변 a와 b가있는 직사각형. 대각선 f와 g는 길이가 같습니다. 출처 : F. Zapata.

광장

정사각형은 인접한 변의 길이가 같은 직사각형입니다. 정사각형의 변이 a 인 경우 대각선 f와 g의 길이는 동일합니다. 즉 f = g = (√2) a입니다.

정사각형의 면적은 그 변의 제곱입니다.

사각형의 면적 = a ²

정사각형의 둘레는 변의 두 배입니다.

정사각형의 둘레 = 4 a

그림 8. 면적, 둘레 및 대각선 길이를 나타내는면 a가있는 정사각형. 출처 : F. Zapata ..

다이아몬드

마름모는 인접한 변의 길이가 같은 평행 사변형이지만 평행 사변형에서는 반대쪽이 같기 때문에 마름모의 모든 변의 길이가 같습니다.

마름모의 대각선은 길이가 다르지만 직각으로 교차합니다.

그림 9. 측면 a의 마름모, 면적, 둘레 및 대각선 길이를 나타냅니다. 출처 : F. Zapata.

예

예 1

사변형 (교차하지 않음)에서 내부 각도의 합이 최대 360º임을 보여줍니다.

그림 10 : 사각형 각도의 합이 360º가되는 방법을 보여줍니다. 출처 : F. Zapata.

사변형 ABCD가 고려되고 (그림 10 참조) 대각선 BD가 그려집니다. 두 개의 삼각형 ABD와 BCD가 형성됩니다. 삼각형 ABD의 내부 각도의 합은 다음과 같습니다.

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

그리고 삼각형 BCD의 내부 각도의 합은 다음과 같습니다.

β2 + γ + δ ₂ = 180º

두 가지 방정식을 추가하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

그룹화 :

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

그룹화 및 이름 변경을 통해 최종적으로 다음과 같이 표시됩니다.

α + β + δ + γ = 360º

예 2

사다리꼴의 중앙값이 밑면과 평행하고 길이가 밑면의 반합임을 보여줍니다.

그림 11. 사다리꼴 ABCD의 중앙값 MN. 출처 : F. Zapata.

사다리꼴의 중앙값은 측면의 중간 점, 즉 평행하지 않은 측면을 연결하는 세그먼트입니다. 그림 11에 표시된 사다리꼴 ABCD에서 중앙값은 MN입니다.

M은 AD의 중간 점이고 N은 BC의 중간 점이므로 AM / AD 및 BN / BC 비율은 동일합니다.

즉, AM은 AD와 BC와 동일한 비율로 BN에 비례하므로 Thales의 (상호) 정리를 적용하기위한 조건이 주어지며 다음과 같은 내용이 설명됩니다.

"비례 세그먼트가 두 개의 시컨트에 의해 절단 된 세 개 이상의 선으로 결정되면이 선은 모두 평행합니다."

우리의 경우 MN, AB 및 DC 라인이 서로 평행하다는 결론을 내 렸습니다.

"사다리꼴의 중앙값은 바닥과 평행합니다."

이제 Thales 정리가 적용됩니다.

"두 개 이상의 시컨트에 의해 절단 된 일련의 평행선이 비례 세그먼트를 결정합니다."

우리의 경우 AD = 2 AM, AC = 2 AO이므로 삼각형 DAC는 삼각형 MAO와 유사하며 결과적으로 DC = 2 MO입니다.

유사한 주장을 통해 CAB가 CON과 유사하다는 것을 확인할 수 있습니다. 여기서 CA = 2 CO 및 CB = 2 CN입니다. 바로 AB = 2 ON이됩니다.

즉, AB = 2 ON 및 DC = 2 MO입니다. 따라서 추가 할 때 다음이 있습니다.

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

마지막으로 MN이 지워집니다.

MN = (AB + DC) / 2

그리고 사다리꼴의 중앙값은 염기의 반합을 측정하거나 다른 방식으로 설명합니다. 중앙값은 염기의 합을 2로 나눈 값입니다.

예제 3

마름모에서 대각선이 직각으로 교차한다는 것을 보여줍니다.

그림 12. 마름모와 대각선이 직각으로 교차하는 것을 보여줍니다. 출처 : F. Zapata.

그림 12의 칠판은 필요한 구성을 보여줍니다. 먼저 평행 사변형 ABCD는 AB = BC, 즉 마름모로 그려집니다. 대각선 AC 및 DB는 그림에 표시된 8 개의 각도를 결정합니다.

시컨트에 의해 자른 평행선 사이의 내부 각도를 번갈아 가며 동일한 각도를 결정한다는 정리 (aip)를 사용하여 다음을 설정할 수 있습니다.

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ 및 δ2 = β2. (*)

반면에 마름모의 인접한 변은 길이가 같으므로 네 개의 이등변 삼각형이 결정됩니다.

DAB, BCD, CDA 및 ABC

이제 삼각형 (등변) 정리가 호출되어 밑변에 인접한 각도가 동일한 측정 값을 가지며 다음과 같은 결론을 내립니다.

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ 및 α ₁ = γ2 (**)

관계식 (*)과 (**)가 결합되면 다음과 같은 각도에 도달합니다.

한편으로는 α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ 이고 다른 한편으로는 β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2입니다.

두 개의 동일한 각도 사이에 동일한 변을 가진 두 개의 삼각형이 동일하다는 것을 나타내는 등 삼각형 정리를 상기하면 다음과 같습니다.

AOD = AOB 및 결과적으로 각도 ∡AOD = ∡AOB.

그런 다음 ∡AOD + ∡AOB = 180º, 그러나 두 각도의 측정이 동일하기 때문에 2 ∡AOD = 180º로 ∡AOD = 90º를 의미합니다.

즉, 마름모의 대각선이 직각으로 교차하는 것이 기하학적으로 표시됩니다.

해결 된 운동

- 연습 1

직각 사다리꼴에서 직각이 아닌 각도는 보완적임을 보여줍니다.

해결책

그림 13. 오른쪽 사다리꼴. 출처 : F. Zapata.

사다리꼴 ABCD는베이스 AB 및 DC 병렬로 구성됩니다. 정점 A의 내부 각도는 오른쪽 (90º 측정)이므로 오른쪽 사다리꼴이 있습니다.

각도 α와 δ는 두 평행선 AB와 DC 사이의 내부 각도이므로 동일합니다. 즉, δ = α = 90º입니다.

반면에 사변형 내부 각도의 합은 360º가됩니다. 즉,

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

위의 결과는 다음과 같습니다.

β + δ = 180º

β와 δ 각이 보충적이라는 것을 보여주고 싶은 것을 확인합니다.

-연습 2

평행 사변형 ABCD는 AB = 2cm, AD = 1cm이며 각도 BAD는 30º입니다. 이 평행 사변형의 면적과 두 대각선의 길이를 결정하십시오.

해결책

평행 사변형의 면적은 바닥 길이와 높이의 곱입니다. 이 경우 세그먼트의 길이 b = AB = 2cm가 기준으로 사용되고 다른 쪽의 길이는 a = AD = 1cm이며 높이 h는 다음과 같이 계산됩니다.

h = AD * Sen (30º) = 1cm * (1/2) = ½cm.

따라서 : 면적 = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

참고 문헌

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Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). 수학 2. Grupo Editorial Patria.
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Miller, Heeren 및 Hornsby. (2006). 수학 : 추론 및 응용 (제 10 판). 피어슨 교육.
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사변형 : 요소, 속성, 분류, 예 - 수학 - 2025