코드는 , 평면 형상에 곡선의 두 점 조인 선분이다. 이 세그먼트를 포함하는 선을 곡선에 대한 시컨트 선이라고합니다. 이것은 종종 원이지만 타원 및 포물선과 같은 다른 많은 곡선에 확실히 현을 그릴 수 있습니다.
왼쪽 그림 1에는 점 A와 B가 속하는 곡선이 있으며 A와 B 사이의 코드는 녹색 세그먼트입니다. 오른쪽에는 무한대를 그릴 수 있기 때문에 원주와 그 문자열 중 하나가 있습니다.
그림 1. 왼쪽은 임의 곡선의 코드이고 오른쪽은 원의 코드입니다. 출처 : Wikimedia Commons.
원주에서 그 직경은 특히 흥미 롭습니다. 이것은 메이저 코드로도 알려져 있습니다. 항상 원주의 중심을 포함하고 반지름의 두 배를 측정하는 코드입니다.
다음 그림은 원주의 반지름, 지름, 현 및 호를 보여줍니다. 문제를 해결할 때 각각을 올바르게 식별하는 것이 중요합니다.
그림 2. 원주의 요소. 출처 : Wikimedia Commons.
원의 현 길이
그림 3a 및 3b에서 원의 코드 길이를 계산할 수 있습니다. 삼각형은 항상 두 개의 동일한 변 (등변), 즉 원주의 반경 인 R을 측정하는 세그먼트 OA와 OB로 형성됩니다. 삼각형의 세 번째면은 정확히 현의 길이 인 C라고하는 세그먼트 AB입니다.
두 반지름 사이에 존재하고 꼭지점이 원주의 중심 O 인 각도 θ를 양분하기 위해 현 C에 수직 인 선을 그릴 필요가 있습니다. 이것은 중심각입니다-꼭지점이 중심이기 때문에-이등분선은 또한 원주에 대한 시컨트입니다.
두 개의 직각 삼각형이 즉시 형성되며 빗변은 R을 측정합니다. 이등분선과 지름이 코드를 두 개의 동일한 부분으로 나누기 때문에 다리 중 하나는 C의 절반입니다. 그림 3b.
각도의 사인 정의에서 :
sin (θ / 2) = 반대쪽 다리 / 빗변 = (C / 2) / R
그러므로:
sin (θ / 2) = C / 2R
C = 2R sin (θ / 2)
그림 3. 두 개의 반지름과 원주 코드로 형성된 삼각형은 두 개의 동일한 변을 가지고 있기 때문에 이등변입니다 (그림 3). 이등분선은 두 개의 직각 삼각형으로 나눕니다 (그림 3b). 출처 : F. Zapata 작성.
끈 정리
문자열 정리는 다음과 같습니다.
다음 그림은 같은 원주의 두 코드를 보여줍니다. AB와 CD는 지점 P에서 교차합니다. 코드 AB에서는 세그먼트 AP와 PB가 정의되고 코드 CD에서는 CP와 PD가 정의됩니다. 따라서 정리에 따르면 :
AP. PB = CP. 추신
그림 4. 원의 화음 정리. 출처 : F. Zapata.
현악기 연습 문제 해결
- 연습 1
원에는 중앙에서 7cm 떨어진 48cm 코드가 있습니다. 원의 면적과 원주의 둘레를 계산하십시오.
해결책
원 A의 면적을 계산하려면 원주 제곱의 반경을 아는 것으로 충분합니다.
A = π.R 2
이제 제공된 데이터로 구성된 그림은 다리가 각각 7cm와 24cm 인 직각 삼각형입니다.
그림 5. 해결 된 연습에 대한 기하학 1. 출처 : F. Zapata.
따라서 R 2 의 값을 찾기 위해 R은 삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리 c 2 = a 2 + b 2 가 직접 적용됩니다 .
R 2 = (7cm) 2 + (24cm) 2 = 625cm 2
따라서 요청 된 영역은 다음과 같습니다.
A = π. 625 cm 2 = 1963.5 cm 2
원주의 둘레 또는 길이 L과 관련하여 다음과 같이 계산됩니다.
L = 2π. 아르 자형
값 대체 :
R = √625 cm 2 = 25 cm
L = 2π. 25cm = 157.1cm.
-연습 2
방정식이 다음과 같은 원의 현 길이를 결정합니다.
X 2 + Y (2) - (6X) - (14Y) -111 = 0
화음의 중간 점 좌표는 P (17/2; 7/2)로 알려져 있습니다.
해결책
코드 P의 중간 점은 원주에 속하지 않지만 코드의 끝점은 해당합니다. 이 문제는 이전에 선언 된 끈 정리를 사용하여 해결할 수 있지만 먼저 반경 R과 중심 O를 결정하기 위해 원주 방정식을 표준 형식으로 작성하는 것이 편리합니다.
1 단계 : 원주의 표준 방정식 구하기
중심 (h, k)이있는 원의 정규 방정식은 다음과 같습니다.
(xh) 2 + (yk) 2 = R 2
이를 얻으려면 사각형을 완료해야합니다.
(X 2 - 6X) + (Y 2 - 14Y) -111 = 0
6x = 2. (3x) 및 14y = 2. (7y)이므로 이전 표현식이 다음과 같이 다시 작성되고 변경되지 않습니다.
(X 2 - 6X + 3 (2) -3 (2) ) + (Y 2 - 14Y + 7 (2) -2 (2) ) = 0 -111
그리고 지금, 놀라운 제품 (AB)의 정의 기억 (2) = A 2 - 2AB + B 2 당신이 쓸 수 있습니다 :
(X - 3) 2 - 3 2 + (Y - 7) 2 - 7 2 - 111 = 0
= (x-3) 2 + (y-7) 2 = 111 + 3 2 + 7 2 → (x-3) 2 + (y-7) 2 = 169
원주에는 중심 (3,7)과 반지름 R = √169 = 13이 있습니다. 다음 그림은 정리에 사용되는 원주 그래프와 코드를 보여줍니다.
그림 6. 해결 된 연습 문제의 둘레 그래프 2. 출처 : Mathway 온라인 그래프 계산기를 사용하는 F. Zapata.
2 단계 : 문자열 정리에서 사용할 세그먼트 결정
사용되는 세그먼트는 그림 6에 따라 CD 및 AB 문자열이며 둘 다 P 지점에서 잘립니다.
CP. PD = AP. PB
이제 우리는 점 O와 P 사이의 거리를 찾을 것입니다. 이것이 우리에게 세그먼트 OP의 길이를 줄 것이기 때문입니다. 이 길이에 반경을 추가하면 세그먼트 CP가 생깁니다.
두 좌표 점 (x 1 , y 1 )과 (x 2 , y 2 ) 사이 의 거리 d OP 는 다음과 같습니다.
d OP 2 = OP 2 = (x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 = (3- 17/2) 2 + (7- 7/2) 2 = 121/4 + 49/4 = 170/4
d OP = OP = √170 / 2
얻은 모든 결과와 그래프를 사용하여 다음 세그먼트 목록을 구성합니다 (그림 6 참조).
CO = 13cm = R
OP = √170 / 2cm
CP = OP + R = 13 + √170 / 2cm
PD = 외경-OP = 13-√170 / 2cm
AP = PB
2. AP = 현 길이
문자열 정리로 대체 :
CP. PD = AP. PB = = AP 2
= AP 2
253/2 = AP 2
AP = √ (253/2)
문자열의 길이는 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506
독자가 다른 방법으로 문제를 해결할 수 있습니까?
참고 문헌
- Baldor, A. 2004. 삼각법을 사용한 평면 및 공간 기하학. Publicaciones Cultural SA de CV México.
- C-K12. 코드 길이. 출처 : ck12.org.
- Escobar, J. 둘레. 출처 : matematicas.udea.edu.co.
- Villena, M. Cónicas. 출처 : dspace.espol.edu.ec.
- Wikipedia. 로프 (기하학). 출처 : es.wikipedia.org.