케플러 의 법칙 행성 운동은 독일의 천문학 한 요하네스 케플러 (Johannes Kepler, 1571-1630)에 의해 만들어졌다. 케플러는 덴마크 천문학자인 티코 브라헤 (1546-1601)의 스승의 연구를 바탕으로 그것들을 추론했습니다.
Brahe는 당시 망원경이 아직 발명되지 않았 음을 고려하여 20 년 이상 동안의 행성 운동 데이터를 놀랍도록 정밀하고 정확하게 편집했습니다. 데이터의 유효성은 오늘날에도 유효합니다.
그림 1. 케플러의 법칙에 따른 행성의 궤도. 출처 : Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)
케플러의 3 가지 법칙
Kepler의 법률은 다음과 같이 명시합니다.
-첫 번째 법칙 : 모든 행성은 초점 중 하나에서 태양과 함께 타원 궤도를 설명합니다.
이것은 T 2 / r 3 비율이 모든 행성에서 동일하므로 궤도주기가 알려진 경우 궤도 반경을 계산할 수 있음을 의미합니다.
T가 년 단위로, r이 천문 단위 AU *로 표시 될 때 비례 상수는 k = 1입니다.
* 천문 단위는 지구와 태양 사이의 평균 거리 인 1 억 5 천만 킬로미터에 해당하며 지구의 궤도주기는 1 년입니다.
만유 인력의 법칙과 케플러의 제 3 법칙
중력의 보편적 법칙은 중심이 거리 r에 의해 분리되는 질량 M과 m의 두 물체 사이의 인력의 중력의 크기는 다음과 같이 주어진다고 말합니다.
G는 보편적 인 중력 상수이고 그 값은 G = 6.674 x 10 -11 Nm 2 / kg 2 입니다.
이제 행성의 궤도는 매우 작은 편심을 가진 타원형입니다.
이것은 왜 소행성 명왕성과 같은 일부 경우를 제외하고는 궤도가 원주에서 그리 멀지 않다는 것을 의미합니다. 궤도를 원형으로 근사하면 행성 운동의 가속도는 다음과 같습니다.
F = ma이므로 다음과 같습니다.
여기서 v는 정적으로 가정하고 질량이 M 인 태양 주위 행성의 선형 속도이고 행성의 속도는 m입니다. 그래서:
이것은 1 / √r에 의존하기 때문에 태양에서 더 먼 행성의 궤도 속도가 더 낮다는 것을 설명합니다.
행성이 이동하는 거리는 대략 원주 길이 인 L = 2πr이고 궤도주기 인 T와 같은 시간이 걸리므로 다음을 얻습니다.
v에 대해 두 표현식을 동일시 하면 궤도주기의 제곱 인 T 2에 대해 유효한 표현식이 제공 됩니다.
그리고 이것은 정확하게 Kepler의 세 번째 법칙입니다.이 표현에서 괄호 4π 2 / GM은 일정하므로 T 2 는 거리 r 제곱에 비례합니다.
궤도주기에 대한 명확한 방정식은 제곱근을 취하여 얻습니다.
그림 3. Aphelion 및 근일점. 출처 : Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / 퍼블릭 도메인
따라서 케플러의 세 번째 법칙에서 r을 a로 대체하여 Halley의 결과는 다음과 같습니다.
솔루션 b
a = ½ (Perihelion + Aphelion)
실험
행성의 움직임을 분석하려면 몇 주, 몇 달, 심지어 몇 년 동안주의 깊게 관찰하고 기록해야합니다. 그러나 실험실에서는 Kepler의 동등한 면적 법칙이 적용된다는 것을 증명하기 위해 매우 간단한 규모로 매우 간단한 실험을 수행 할 수 있습니다.
이를 위해서는 운동을 지배하는 힘이 중심이되는 물리적 시스템이 필요하며 지역 법칙이 충족되기에 충분한 조건이 필요합니다. 이러한 시스템은 긴 로프에 묶인 덩어리로 구성되며 스레드의 다른 쪽 끝은 지지대에 고정됩니다.
질량은 평형 위치에서 작은 각도로 움직이고 약간의 충격이 주어져 마치 태양 주위의 행성 인 것처럼 수평면에서 타원형 (거의 타원형) 운동을 실행합니다.
진자로 설명 된 곡선에서 다음과 같은 경우 동일한 영역을 동일한 시간에 스윕한다는 것을 증명할 수 있습니다.
-인력 중심 (초기 평형 점)에서 질량의 위치로 이동하는 벡터 반경을 고려합니다.
-그리고 우리는 움직임의 다른 두 영역에서 동일한 지속 시간의 두 연속 순간 사이를 스윕합니다.
진자 스트링이 길고 수직에서 멀어지는 각도가 작을수록 순 복원력은 더 수평이되고 시뮬레이션은 평면에서 중심력을 사용하는 경우와 유사합니다.
그런 다음 설명 된 타원은 행성이 이동하는 것과 같은 타원에 접근합니다.
기재
-신축 불가능한 실
-진자 밥 역할을하는 흰색으로 칠해진 덩어리 또는 금속 구 1 개
-지배자
-컨베이어
-자동 스트로브 디스크가있는 사진 카메라
-지원
-2 개의 광원
-검은 색 종이 또는 판지
방법
진자가 경로를 따라갈 때 여러 번 깜박이는 사진을 찍으려면 그림을 조립해야합니다. 이를 위해 카메라를 진자 바로 위에 놓고 자동 스트로브 디스크를 렌즈 앞에 놓아야합니다.
그림 4. 진자를 조립하여 동일한 시간에 동일한 영역을 스윕하는지 확인합니다. 출처 : PSSC 실험실 가이드.
이러한 방식으로, 예를 들어 0.1 초마다 또는 0.2 초마다 진자의 일정한 시간 간격으로 이미지를 얻습니다.이를 통해 한 지점에서 다른 지점으로 이동하는 데 걸린 시간을 알 수 있습니다.
또한 진자의 질량을 적절하게 조명하여 양쪽에 조명을 배치해야합니다. 렌즈 콩은 바탕에 검은 색 종이를 펴서 배경의 대비를 높이기 위해 흰색으로 칠해야합니다.
이제 진자가 동일한 시간에 동일한 영역을 스윕하는지 확인해야합니다. 이를 위해 시간 간격이 선택되고 해당 간격에서 진자가 차지하는 점이 종이에 표시됩니다.
타원의 중심에서이 지점까지 이미지에 선이 그려 지므로 아래 표시된 것과 같은 대략 타원형 섹터 인 진자에 의해 스윕 된 첫 번째 영역이 생깁니다.
그림 5. 타원 섹터의 영역. 출처 : F. Zapata.
타원 단면의 면적 계산
각도기를 사용하여 각도 θ o 및 θ 1 이 측정 되며이 공식은 타원 섹터의 면적 인 S를 찾는 데 사용됩니다.
F (θ)는 다음과 같습니다.
a와 b는 각각 장축 및 단축입니다. 이 표현을 쉽게 평가할 수있는 계산기가 온라인에 있기 때문에 독자는 반축과 각도를주의 깊게 측정하는 것에 대해서만 걱정하면됩니다.
그러나 손으로 계산을 고집하는 경우 각도 θ는도 단위로 측정되지만 계산기에 데이터를 입력 할 때 값은 라디안으로 표시되어야합니다.
그런 다음 진자가 동일한 시간 간격을 반전시킨 다른 한 쌍의 점을 표시하고 해당 영역을 그려 동일한 절차로 값을 계산해야합니다.
동등한 지역의 법칙 검증
마지막으로 영역의 법칙이 충족되었는지, 즉 동일한 영역이 같은 시간에 휩쓸리는 지 확인해야합니다.
결과가 예상 한 것과 약간 차이가 있습니까? 모든 측정에는 각각의 실험 오류가 수반된다는 점을 항상 명심해야합니다.
참고 문헌
- Keisan 온라인 계산기. 타원형 섹터 계산기의 면적. 출처 : keisan.casio.com.
- Openstax. 케플러의 행성 운동 법칙. 출처 : openstax.org.
- PSSC. 실험실 물리학. 편집 복귀. 출처 : books.google.co.
- Palen, S. 2002. 천문학. Schaum 시리즈. McGraw Hill.
- Pérez R. 중앙 힘이있는 단순한 시스템. 출처 : francesphysics.blogspot.com
- Stern, D. Kepler의 행성 운동 법칙. 출처 : phy6.org.