주어진 행렬 의 역행렬 은 원본을 곱한 행렬로 단위 행렬을 제공합니다. 역행렬은 선형 방정식 시스템을 푸는 데 유용하므로 계산 방법을 아는 것이 중요합니다.
행렬은 복잡한 문제를 해결하기위한 간결한 도구이기 때문에 물리학, 공학 및 수학에서 매우 유용합니다. 역행렬이고 역행렬도 알려진 경우 행렬의 유용성이 향상됩니다.
그림 1. 일반적인 2 × 2 행렬과 역행렬이 표시됩니다. (리카르도 페레즈 작성)
그래픽 처리, 빅 데이터, 데이터 마이닝, 기계 학습 및 기타 분야에서 효율적이고 빠른 알고리즘을 사용하여 매우 큰 n을 가진 nxn 행렬의 역행렬을 수천 또는 수백만 단위로 평가합니다.
선형 방정식 시스템을 처리 할 때 역행렬의 사용을 설명하기 위해 가장 간단한 경우 인 1 × 1 행렬부터 시작합니다.
가장 간단한 경우 : 단일 변수의 선형 방정식이 고려됩니다 : 2 x = 10.
아이디어는 x의 값을 찾는 것이지만 "행렬"로 수행됩니다.
벡터 (x)를 곱하는 행렬 M = (2)는 벡터 (10)를 생성하는 1 × 1 행렬입니다.
M (x) = (10)
행렬 M의 역행렬은 M -1 로 표시됩니다 .
이 "선형 시스템"을 작성하는 일반적인 방법은 다음과 같습니다.
MX = B, 여기서 X는 벡터 (x)이고 B는 벡터 (10)입니다.
정의에 따라 역행렬은 원래 행렬을 곱한 결과 단위 행렬 I이됩니다.
남 -1 남 = 나
고려되는 경우, 행렬 M -1 은 행렬 (½), 즉 M -1 = (½)이므로 M -1 M = (½) (2) = (1) = I
미지 벡터 X = (x)를 찾기 위해 제안 된 방정식에서 두 구성원 모두에 역행렬을 곱합니다.
남 -1 남 (x) = 남 -1 (10)
(½) (2) (x) = (½) (10)
(½ 2) (x) = (½ 10)
(1) (x) = (5)
(x) = (5)
두 벡터의 동등성에 도달했습니다. 이는 해당 요소가 동일 할 때만 동일합니다. 즉, x = 5입니다.
역행렬 계산
역행렬 계산의 동기는 다음 2 × 2 시스템과 같은 선형 시스템의 솔루션에 대한 보편적 인 방법을 찾는 것입니다.
x-2 y = 3
-x + y = -2
이전 섹션에서 연구 한 1 × 1 사례의 단계에 따라 방정식 시스템을 행렬 형식으로 작성합니다.
그림 2. 행렬 형태의 선형 시스템.
이 시스템은 다음과 같이 압축 벡터 표기법으로 작성되었습니다.
MX = B
어디
다음 단계는 M의 역수를 찾는 것입니다.
방법 1 : 가우스 제거 사용
가우스 제거 방법이 적용됩니다. 행렬의 행에 대한 기본 연산을 수행하는 것으로 구성되며, 이러한 연산은 다음과 같습니다.
-행에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.
-행에서 다른 행 또는 다른 행의 배수를 더하거나 뺍니다.
-행을 바꿉니다.
목표는 이러한 작업을 통해 원래 행렬을 단위 행렬로 변환하는 것입니다.
이렇게하면 행렬 M에서 정확히 동일한 연산이 단위 행렬에 적용됩니다. 행에 대한 여러 작업 후 M이 단위 행렬로 변환되면 원래 단위였던 것이 M의 역행렬, 즉 M -1이 됩니다.
1- 우리는 행렬 M과 그 옆에 단위 행렬을 작성하여 프로세스를 시작합니다.
2- 두 행을 추가하고 결과를 두 번째 행에 넣습니다. 이렇게하면 두 번째 행의 첫 번째 요소에서 0을 얻습니다.
3- 두 번째 행에 -1을 곱하여 두 번째 행에서 0과 1을 얻습니다.
4- 첫 번째 행에 ½을 곱합니다.
5- 두 번째와 첫 번째가 추가되고 결과가 첫 번째 행에 배치됩니다.
6- 이제 프로세스를 완료하기 위해 첫 번째 행에 2를 곱하여 첫 번째 행의 단위 행렬과 두 번째 행의 원래 행렬 M의 역행렬을 얻습니다.
즉 말하자면:
시스템 솔루션
역행렬이 구해지면 역행렬을 압축 벡터 방정식의 두 구성원 모두에 적용하여 연립 방정식을 풉니 다.
남 -1 남 X = 남 -1 B
X = M -1 B
명시 적으로 다음과 같습니다.
그런 다음 벡터 X를 얻기 위해 행렬 곱셈이 수행됩니다.
방법 2 : 연결된 행렬 사용
이 두 번째 방법에서 역행렬은 원래 행렬 A 의 인접 행렬에서 계산됩니다 .
다음과 같이 주어진 행렬 A를 가정합니다.
여기서 i, j 는 행렬 A 의 i 행과 j 열에있는 요소입니다 .
행렬 A 의 인접 요소를 Adj (A) 라고 하며 그 요소는 다음과 같습니다.
ad i, j = (-1) (i + j) ¦Ai, j¦
여기서 Ai, j 는 원래 행렬 A 의 i 행과 j 열을 제거하여 얻은 상보 적 하부 행렬 입니다. 막대 ¦ ¦는 행렬식이 계산되었음을 나타냅니다. 즉 , ¦Ai, j¦ 는 부 상보 행렬의 행렬식입니다.
역행렬 공식
원래 행렬의 인접 행렬에서 시작하는 역행렬을 찾는 공식은 다음과 같습니다.
의 역행렬이다 , -1 의 수반 행렬의 전치이며 의 행렬식으로 나눈 .
행렬 A 의 전치 A T 는 행을 열로 교환하여 구합니다. 즉, 첫 번째 행이 첫 번째 열이되고 두 번째 행이 두 번째 열이되는 식으로 원래 행렬의 n 개 행이 완성 될 때까지 계속됩니다.
운동이 해결됨
행렬 A는 다음과 같습니다.
A의 인접 행렬의 각 요소는 다음과 같이 계산됩니다. Adj (A)
결과적으로 A의 인접 행렬 A, Adj (A)는 다음과 같습니다.
그런 다음 행렬 A, det (A)의 행렬식이 계산됩니다.
마지막으로 A의 역행렬을 얻습니다.
참고 문헌
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- 매트릭스. Lap Lambert 학술 출판.