외적 : 속성, 응용 및 연습 - 수학 - 2024

외적 또는 벡터 제품은 두 개 이상의 벡터를 승산하는 방법이다. 벡터를 곱하는 방법에는 세 가지가 있지만 일반적인 의미의 곱셈이 아닙니다. 이러한 형태 중 하나는 벡터 곱으로 알려져 있으며 결과적으로 세 번째 벡터가됩니다.

외적 또는 외적이라고도하는 외적은 대수적 및 기하학적 특성이 다릅니다. 이러한 속성은 특히 물리학 연구 측면에서 매우 유용합니다.

정의

벡터 곱의 공식적인 정의는 다음과 같습니다. A = (a1, a2, a3) 및 B = (b1, b2, b3)가 벡터 인 경우 A와 B의 벡터 곱은 AxB로 표시됩니다.

AxB = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)

AxB 표기법으로 인해 "A cross B"로 읽 힙니다.

외적을 사용하는 방법의 예는 A = (1, 2, 3) 및 B = (3, -2, 4)가 벡터 인 경우 벡터 제품의 정의를 사용하는 것입니다.

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4-3 * (-2), 3 * 3-1 * 4, 1 * (-2)-2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9-4,-2-6) = (14, 5,-8).

벡터 곱을 표현하는 또 다른 방법은 행렬식 표기법입니다.

2 차 행렬식의 계산은 다음과 같이 제공됩니다.

따라서 정의에 주어진 외적에 대한 공식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

이것은 일반적으로 다음과 같이 3 차 행렬식으로 단순화됩니다.

여기서 i, j, k는 R ³ 의 기저를 형성하는 벡터를 나타냅니다 .

이러한 외적 표현 방식을 사용하여 이전 예제를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

속성

벡터 제품이 갖는 몇 가지 속성은 다음과 같습니다.

속성 1

A가 R ^3의 벡터 이면 다음과 같습니다.

-AxA = 0

-Ax0 = 0

-0xA = 0

이러한 속성은 정의 만 사용하여 쉽게 확인할 수 있습니다. A = (a1, a2, a3)이면 다음과 같습니다.

AxA = (a2a3-a3a2, a3a1-a1a3, a1a2-a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0-a3 * 0, a3 * 0-a1 * 0, a1 * 0-a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

i, j, k가 R ³ 의 단위 밑을 나타내는 경우 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

나는 = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

따라서 다음 속성이 참입니다.

니모닉 규칙으로 다음 원은 이러한 속성을 기억하는 데 자주 사용됩니다.

그 결과 벡터 자체가 벡터 0을 제공하고 나머지 제품은 다음 규칙으로 얻을 수 있습니다.

시계 방향으로 연속 된 두 벡터의 외적은 다음 벡터를 제공합니다. 반 시계 방향을 고려하면 결과는 음수 부호가있는 다음 벡터입니다.

이러한 속성 덕분에 벡터 곱이 교환 적이 지 않음을 알 수 있습니다. 예를 들어, ixj ≠ jx i. 다음 속성은 AxB와 BxA가 일반적으로 어떻게 관련되어 있는지 알려줍니다.

속성 2

A와 B가 R ^3의 벡터이면 다음과 같습니다.

AxB =-(BxA).

데모

A = (a1, a2, a3)이고 B = (b1, b2, b3)이면 외부 제품의 정의에 따라

AxB = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)

= (-1) (a3b2-a2b3, a1b3-a3b1, a2b1-a1b2)

= (-1) (BxA).

또한이 제품이 다음 예와 관련이 없음을 알 수 있습니다.

ix (ixj) = ixk =-j하지만 (ixi) xj = 0xj = 0

이것으로부터 우리는 다음을 볼 수 있습니다 :

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

속성 3

A, B, C가 R ^3의 벡터 이고 r이 실수이면 다음이 참입니다.

-Ax (B + C) = AxB + AxC

-r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

이러한 속성 덕분에 순서가 존중된다면 대수 법칙을 사용하여 벡터 곱을 계산할 수 있습니다. 예를 들면 :

A = (1, 2, 3) 및 B = (3, -2, 4) 인 경우 R ³ 의 표준 기준으로 다시 쓸 수 있습니다 .

따라서 A = i + 2j + 3k 및 B = 3i-2j + 4k입니다. 그런 다음 이전 속성을 적용합니다.

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i-2j + 4k)

= 3 (ixi)-2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi)-4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi)-6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0)-2 (k) + 4 (-j) + 6 (-k)-4 (0) + 8 (i) + 9 (j)-6 (-i) +12 (0)

=-2k-4j-6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j-4k

= (14, 5,-8).

속성 4 (삼중 내적)

처음에 언급했듯이 벡터 곱 외에 벡터를 곱하는 다른 방법이 있습니다. 이러한 방법 중 하나는 스칼라 곱 또는 내부 곱으로 A ∙ B로 표시되고 정의는 다음과 같습니다.

A = (a1, a2, a3)이고 B = (b1, b2, b3)이면 A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

두 제품과 관련된 속성을 트리플 스칼라 곱이라고합니다.

A, B, C가 R ^3의 벡터 이면 A ∙ BxC = AxB ∙ C

예를 들어 A = (1, 1,-2), B = (-3, 4, 2) 및 C = (-5, 1,-4)가 주어지면이 속성이 충족되는 것을 보겠습니다.

BxC =-3k-12j + 20k-16i-10j-2i =-18i-22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1,-2) ∙ (-18,-22, 17) = (1) (-18) + (1) (-22) + (-2) (17) =-74

반면에 :

AxB = 4k-2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (-5, 1,-4) = (10) (-5) + (4) (1) + (7) (-4) =-74

또 다른 삼중 곱은 삼중 벡터 곱으로 알려진 Ax (BxC)입니다.

속성 5 (삼중 벡터 곱)

A, B 및 C가 R ^3의 벡터 인 경우 :

도끼 (BxC) = (A ∙ C) B-(A ∙ B) C

예를 들어 A = (1, 1,-2), B = (-3, 4, 2) 및 C = (-5, 1,-4)가 주어지면이 속성이 충족되는 것을 보겠습니다.

이전 예에서 BxC = (-18,-22, 17)임을 알 수 있습니다. Ax (BxC)를 계산해 보겠습니다.

도끼 (BxC) =-22k-17j + 18k + 17i + 36j-44i =-27i + 19j-4k

반면에 다음을 수행해야합니다.

A ∙ C = (1, 1,-2) ∙ (-5, 1,-4) = (1) (-5) + (1) (1) + (-2) (-4) =-5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1,-2) ∙ (-3, 4, 2) = (1) (-3) + (1) (4) + (-2) (2) =-3 + 4- 4 =-3

따라서 다음을 수행해야합니다.

(A ∙ C) B-(A ∙ B) C = 4 (-3, 4, 2) + 3 (-5, 1,-4) = (-12, 16, 8) + (-15, 3, -12) = (-27,19, –4)

속성 6

벡터의 기하학적 속성 중 하나입니다. A와 B가 R ³ 에서 두 벡터 이고 ϴ가 그 사이에 형성된 각도 인 경우 :

--AxB-- = --A ---- B-sin (ϴ), 여기서-∙-는 벡터의 계수 또는 크기를 나타냅니다.

이 속성의 기하학적 해석은 다음과 같습니다.

A = PR, B = PQ로합시다. 따라서 벡터 A와 B에 의해 형성된 각도는 다음 그림과 같이 삼각형 RQP의 각도 P입니다.

따라서 PR과 PQ를 인접한 변으로 갖는 평행 사변형의 면적은 --A ---- B-sin (ϴ)입니다 .-- A--를 기준으로 할 수 있고 높이는 --B-죄 (ϴ).

따라서 우리는 --AxB--가 평행 사변형의 면적이라는 결론을 내릴 수 있습니다.

예

다음과 같은 사변형 P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) 및 S (5,7, -3)의 정점이 주어지면 해당 사변형 평행 사변형이고 그 면적을 찾습니다.

이를 위해 먼저 사변형 변의 방향을 결정하는 벡터를 결정합니다. 이것은:

A = PQ = (1-4, 3 + 2,-1-3) = (3, 5,-4)

B = PR = (2-1, 2 + 2, 1-3) = (1, 4,-2)

C = RS = (5-2, 7-2,-3-1) = (3, 5,-4)

D = QS = (5-4, 7-3,-3 + 1) = (1, 4,-2)

보시다시피, A와 C는 동일한 디렉터 벡터를 가지고 있습니다. B와 D도 마찬가지입니다. 따라서 PQRS가 평행 사변형이라는 결론을 내립니다.

이 평행 사변형의 면적을 얻기 위해 BxA를 계산합니다.

BxA = (i + 4j-2k) x (3i + 5j-4k)

= 5k + 4j-12k-16i-6j + 10i

=-6i-2j-7k.

따라서 제곱 면적은 다음과 같습니다.

--BxA-- ² = (-6) ² + (-2) ² + (-7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

평행 사변형 영역은 89의 제곱근이된다는 결론을 내릴 수 있습니다.

속성 7

두 벡터 A와 B는 AxB = 0 인 경우에만 R ³ 에서 평행합니다.

데모

A 또는 B가 널 벡터이면 AxB = 0이 충족됩니다. 제로 벡터는 다른 벡터와 평행하므로 속성이 유효합니다.

두 벡터 중 어느 것도 0 벡터가 아니면 그 크기가 0과 다르다는 것을 알 수 있습니다. 즉, --A-- ≠ 0 및 --B-- ≠ 0이므로 sin (ϴ) = 0 인 경우에만 --AxB-- = 0이됩니다. ϴ = π 또는 ϴ = 0.

따라서 ϴ = π 또는 ϴ = 0 인 경우에만 AxB = 0으로 결론을 내릴 수 있습니다. 두 벡터가 서로 평행 할 때만 발생합니다.

속성 8

A와 B가 R ^3의 두 벡터 인 경우 AxB는 A와 B 모두에 수직입니다.

데모

이 증명을 위해 A ∙ B가 0이면 두 벡터가 수직이라는 것을 기억합시다. 또한 다음 사항을 알고 있습니다.

A ∙ AxB = AxA ∙ B이지만 AxA는 0입니다. 따라서 다음과 같은 결과가 있습니다.

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

이것으로 우리는 A와 AxB가 서로 수직이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 유사하게 우리는 다음을 수행해야합니다.

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

BxB = 0이므로 다음과 같습니다.

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

따라서 AxB와 B는 서로 직각을 이루며이를 통해 특성을 설명합니다. 이것은 우리가 평면의 방정식을 결정할 수있게 해주기 때문에 우리에게 매우 유용합니다.

예 1

점 P (1, 3, 2), Q (3,-2, 2) 및 R (2, 1, 3)을 통과하는 평면의 방정식을 구합니다.

A = QR = (2-3.1 + 2, 3-2) 및 B = PR = (2-1.1-3, 3-2)라고합시다. 그런 다음 A =-i + 3j + k 및 ​​B = i-2j + k. 이 세 점으로 형성된 평면을 찾으려면 평면에 수직 인 벡터 인 AxB를 찾는 것으로 충분합니다.

AxB = (-i + 3j + k) x (i-2j + k) = 5i + 2j-k.

이 벡터를 사용하여 점 P (1, 3, 2)를 취하면 다음과 같이 평면 방정식을 결정할 수 있습니다.

(5, 2,-1) ∙ (x-1, y-3, z-2) = 5 (x-1) + 2 (y-3)-(z-2) = 0

따라서 평면의 방정식은 5x + 2y-z-9 = 0입니다.

예 2

점 P (4, 0,-2)를 포함하고 각 평면 x-y + z = 0 및 2x + y-4z-5 = 0에 수직 인 평면의 방정식을 찾습니다.

평면 ax + by + cz + d = 0에 대한 법선 벡터가 (a, b, c)라는 것을 알면 (1, -1,1)이 x-y + z = 0 y ( 2,1,-4)는 2x + y-4z-5 = 0의 법선 벡터입니다.

따라서 찾는 평면에 대한 법선 벡터는 (1, -1,1) 및 (2, 1,-4)에 수직이어야합니다. 이 벡터는 다음과 같습니다.

(1, -1,1) x (2,1,-4) = 3i + 6j + 3k.

그런 다음 찾고있는 평면은 점 P (4,0,-2)를 포함하고 벡터 (3,6,3)를 일반 벡터로 포함하는 평면입니다.

3 (x-4) + 6 (y-0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z-2 = 0.

응용

평행 육면체의 부피 계산

트리플 스칼라 곱이있는 응용 프로그램은 그림과 같이 벡터 A, B 및 C에 의해 가장자리가 제공되는 평행 육면체의 부피를 계산할 수 있습니다.

우리는 다음과 같은 방식으로이 응용을 추론 할 수 있습니다. 앞서 말했듯이 벡터 AxB는 A와 B의 평면에 수직 인 벡터입니다. 또한 벡터-(AxB)가 해당 평면에 수직 인 또 다른 벡터라는 것도 있습니다.

벡터 C와 가장 작은 각도를 형성하는 법선 벡터를 선택합니다. 일반성을 잃지 않고 AxB를 C와의 각도가 가장 작은 벡터로 지정합니다.

AxB와 C는 모두 같은 시작점을 가지고 있습니다. 또한, 우리는 평행 육면체의 밑면을 형성하는 평행 사변형의 면적이 --AxB--라는 것을 알고 있습니다. 따라서 평행 육면체의 높이가 h로 주어지면 부피는 다음과 같습니다.

V = --AxB-h.

반면에 AxB와 C 사이의 내적은 다음과 같이 설명 할 수 있습니다.

그러나 삼각법 속성에 의해 우리는 h = --C-cos (ϴ)를 가지므로 다음과 같습니다.

이런 식으로 우리는 다음을 가지고 있습니다.

일반적으로 평행 육면체의 부피는 트리플 스칼라 곱 AxB ∙ C의 절대 값으로 주어집니다.

해결 된 운동

연습 1

점 P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) 및 S = (2, 6, 9)가 주어지면 이러한 점은 가장자리가 평행 육면체를 형성합니다. 그들은 PQ, PR 및 PS입니다. 상기 평행 육면체의 부피를 결정하십시오.

해결책

우리가 취하는 경우 :

-A = PQ = (-1, 6, 1)

-B = PR = (-4, 4, 2)

-C = PS = (-3, 2, 2)

트리플 스칼라 곱 속성을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

따라서 우리는 평행 육면체의 부피가 52입니다.

연습 2

모서리가 A = PQ, B = PR 및 C = PS로 주어진 평행 육면체의 부피를 결정합니다. 여기서 점 P, Q, R 및 S는 (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) 및 (2, 2, 5) 각각.

해결책

먼저 A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1)입니다.

AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6)을 계산합니다.

그런 다음 AxB ∙ C를 계산합니다.

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5-6 = 1.

따라서 우리는 평행 육면체의 부피가 1 입방 단위라는 결론을 내립니다.

참고 문헌

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