노 정리 "함수는 폐쇄 구간의 모든 지점에서 연속 만족되는 경우"a "는 AND (함수 미만)"B "가 반대 부호가 이미지는 다음 적어도 하나의 포인트가 될 것이라는 것을 명시 c "열린 간격 (a, b)에서"c "에서 평가 된 함수가 0과 같도록합니다.
이 정리는 1850 년 철학자, 신학자 및 수학자 Bernard Bolzano에 의해 발표되었습니다. 현재 체코 공화국에서 태어난이 과학자는 연속 함수의 속성을 공식적으로 증명 한 최초의 수학자 중 한 명입니다.
설명
Bolzano의 정리는 중간 값 정리로도 알려져 있으며 실제 변수의 특정 실제 함수의 특정 값, 특히 0을 결정하는 데 도움이됩니다.
주어진 함수에서 f (x)는 계속됩니다. 즉, f (a)와 f (b)는 곡선으로 연결됩니다. 여기서 f (a)는 x 축 (음수) 아래에 있고 f (b)는 x 축 위 (양수) 또는 그 반대의 경우 그래픽 적으로 중간 값«c»를 나타내는 중간 값«c»를 나타내는 컷오프 지점이 있습니다. 이는«a»와«b»사이에 있고 f (c) 값입니다. 0과 같습니다.
볼 차노의 정리를 그래픽으로 분석 할 때 간격에 정의 된 모든 연속 함수 f에 대해 f (a) * f (b)가 0보다 작은 경우 해당 함수의 루트«c»가 간격 (a, b).
이 정리는 해당 개방 구간의 포인트 수를 설정하지 않고 최소 1 개의 포인트가 있음을 나타냅니다.
데모
볼 차노의 정리를 증명하기 위해 일반성을 잃지 않고 f (a) <0 및 f (b)> 0이라고 가정합니다. 따라서 f (x) = 0 인 "a"와 "b"사이에 많은 값이있을 수 있지만 하나만 표시하면됩니다.
중간 점 (a + b) / 2에서 f를 평가하는 것으로 시작합니다. f ((a + b) / 2) = 0이면 여기서 증명이 끝납니다. 그렇지 않으면 f ((a + b) / 2)는 양수 또는 음수입니다.
구간의 절반 중 하나가 선택되어 극단에서 평가 된 함수의 부호가 다릅니다. 이 새로운 간격이 될 것입니다.
이제 중간 점에서 평가 된 f가 0이 아니면 이전과 동일한 작업이 수행됩니다. 즉, 표지판의 조건을 충족하는이 간격의 절반이 선택됩니다. 이것이 새로운 간격이되게하십시오.
이 프로세스를 계속하면 다음과 같은 두 개의 시퀀스 {an} 및 {bn}이 생깁니다.
{an}은 증가하고 {bn}은 감소합니다.
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
각 간격의 길이를 계산하는 경우 다음을 수행해야합니다.
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
따라서 n이 (bn-an)의 무한대에 가까워 질 때의 한계는 0과 같습니다.
{an}이 증가 및 제한되고 {bn}이 감소 및 제한됨을 사용하여 다음과 같은 값«c»가 있음을 알 수 있습니다.
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
an의 한계는 "c"이고 {bn}의 한계도 "c"입니다. 따라서 δ> 0이 주어지면 항상 "n"이 있으므로 간격이 간격 (c-δ, c + δ) 내에 포함됩니다.
이제 f (c) = 0임을 보여 주어야합니다.
f (c)> 0이면 f가 연속적이므로 f가 전체 구간 (c – ε, c + ε)에 대해 양수인 ε> 0이 있습니다. 그러나 위에서 언급했듯이 f가 로그인을 변경하고 모순 인 (c – ε, c + ε) 내에 포함되는 값 "n"이 있습니다.
f (c) <0이면 f가 연속적이기 때문에 f가 구간 (c – ε, c + ε) 전체에 걸쳐 음수 인 ε> 0이 있습니다. 그러나 f가 로그인을 변경하는 "n"값이 있습니다. 그것은 또한 모순 인 (c – ε, c + ε) 안에 포함되어있는 것으로 밝혀졌습니다.
따라서 f (c) = 0이고 이것이 우리가 증명하고 싶었던 것입니다.
그것은 무엇입니까?
그래픽 해석에서 볼 차노의 정리는 항상 간격을 2로 나누는 증분 검색 방법 인 이분법 (근사)을 통해 연속 함수에서 근 또는 0을 찾는 데 사용됩니다.
그런 다음 원하는 값에 접근 할 수 있도록 간격 또는 부호 변경이 발생하는 위치를 취하고 간격이 점점 더 작아 질 때까지 프로세스를 반복합니다. 즉, 함수가 0을 만드는 값으로.
요약하면 볼 차노의 정리를 적용하여 근을 찾고 함수의 0을 제한하거나 방정식에 대한 솔루션을 제공하려면 다음 단계를 수행합니다.
-f가 구간에서 연속 함수인지 확인합니다.
-간격이 주어지지 않으면 함수가 연속되는 곳에서 하나를 찾아야합니다.
-f에서 평가할 때 구간의 극단이 반대 부호를 나타내는 지 확인합니다.
-반대 부호를 얻지 못한 경우 중간 지점을 사용하여 간격을 두 개의 하위 간격으로 나누어야합니다.
-중간 지점에서 함수를 평가하고 볼 차노 가설이 충족되는지 확인합니다. 여기서 f (a) * f (b) <0입니다.
-발견 된 값의 부호 (양수 또는 음수)에 따라 앞서 언급 한 가설이 충족 될 때까지 새로운 하위 간격으로 프로세스를 반복합니다.
해결 된 운동
연습 1
함수 f (X) = X를 결정 (2) (2)는, 간격에 적어도 하나 개의 실제 솔루션을 -.
해결책
우리는 함수 f (X) = X가 2 -가 다항식이므로 2. 그것이 어떤 구간에서 연속적임을 의미한다.
구간에 실제 솔루션이 있는지 확인하라는 요청을 받았으므로 이제 함수에서 구간의 극단을 대체하여 이들의 부호를 알고 서로 다른 조건을 충족하는지 알면됩니다.
F (X) = X 2 - 2
F (1) = 1 (2) (2) = 1 (네거티브) -
F (2) = 2 (2) - (2) = 2 (포지티브)
따라서 부호 f (1) ≠ 부호 f (2)입니다.
이렇게하면 f (c) = 0 인 간격에 속하는 점 "c"가 하나 이상 있습니다.
이 경우 "c"의 값은 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있습니다.
X 2 - 2 = 0
x = ± √2.
따라서 √2 ≈ 1,4는 구간에 속하고 f (√2) = 0을 충족합니다.
연습 2
방정식 x 5 + x + 1 = 0에 하나 이상의 실수 솔루션이 있음을 보여줍니다.
해결책
먼저 f (x) = x 5 + x + 1은 다항 함수이며, 이는 모든 실수에 대해 연속적임을 의미합니다.
이 경우 간격이 제공되지 않으므로 함수를 평가하고 부호 변화를 찾기 위해 값을 직관적으로 선택해야합니다.
간격을 사용하는 경우 다음을 수행해야합니다.
에프 (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.
부호 변화가 없으므로 다른 간격으로 프로세스가 반복됩니다.
간격을 사용하는 경우 다음을 수행해야합니다.
에프 (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
이 구간에는 부호가 변경됩니다. f의 부호 (-1) ≠ f (0)의 부호는 함수 f (x) = x 5 + x + 1에 하나 이상의 실수 근«c»가 있음을 의미합니다. 즉, x 5 + x + 1 = 0이 해당 구간에 실수 해를 갖는 것은 사실입니다.
참고 문헌
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