SCALENE 사다리꼴 : 속성, 공식 및 방정식, 예 - 수학 - 2025

부등변 사다리꼴은 서로 평행하고, 상이한 측정의 네 내각과 두 네 개의 측면과 다각형이다.

사변형 ABCD가 아래에 나와 있으며 AB와 DC가 서로 평행합니다. 이것은 사다리꼴이 되기에는 충분하지만 내부 각도 α, β, γ 및 δ는 모두 다르므로 사다리꼴은 스켈 렌입니다.

그림 1. 사변형 ABCD는 조건 1에 따라 사다리꼴이고 조건 2에 따라 축척됩니다. 출처 : F. Zapata.

스켈레톤 사다리꼴의 요소

가장 특징적인 요소는 다음과 같습니다.

-베이스 및 측면 : 사다리꼴의 평행면이베이스이고 평행하지 않은 두 측면이 측면입니다.

비늘 모양의 사다리꼴에서 밑면은 길이가 다르고 측면 길이도 다릅니다. 그러나 비늘 무늬 사다리꼴은 밑면과 길이가 같은 측면을 가질 수 있습니다.

-중앙값 : 측면의 중간 점을 연결하는 세그먼트입니다.

- 대각선 : 사다리꼴의 대각선은 두 개의 반대되는 정점을 연결하는 세그먼트입니다. 모든 사변형과 마찬가지로 사다리꼴에는 두 개의 대각선이 있습니다. 비늘 모양의 사다리꼴에서는 길이가 다릅니다.

기타 사다리꼴

부등변 사다리꼴 외에도 오른쪽 사다리꼴과 이등변 사다리꼴과 같은 다른 특정 사다리꼴이 있습니다.

사다리꼴은 각이 맞으면 직사각형이고 이등변 사다리꼴은 변의 길이가 같습니다.

사다리꼴 모양은 항공기 날개의 구성, 테이블, 의자 등받이, 포장, 지갑, 직물 인쇄 등과 같은 일상적인 물체의 모양과 같이 디자인 및 산업 수준에서 다양한 응용 분야를 가지고 있습니다.

그림 2. 사다리꼴 모양은 비행기의 날개 구성에서 일반적입니다. 출처 : Wikimedia Commons.

속성

스켈레톤 사다리꼴의 속성은 아래에 나열되어 있으며, 대부분은 다른 유형의 사다리꼴로 확장됩니다. 다음에서 "사다리꼴"이 언급 될 때 속성은 scalene을 포함한 모든 유형에 적용됩니다.

1. 사다리꼴의 중앙값, 즉 평행하지 않은면의 중간 점을 연결하는 세그먼트는 모든베이스와 평행합니다.

2.- 사다리꼴의 중앙값은 밑면의 반합 인 길이를 가지며 중간 점에서 대각선을 자릅니다.

3. 사다리꼴의 대각선은 밑면의 몫에 비례하는 두 부분으로 나누는 지점에서 교차합니다.

4. 사다리꼴의 대각선 제곱의 합은 변의 제곱에 밑변의 이중 곱을 더한 것과 같습니다.

5.- 대각선의 중간 점을 연결하는 세그먼트의 길이는베이스의 절반 차이와 같습니다.

6. 측면 각도에 ​​인접한 각도는 보완 적입니다.

7.- 비늘 사다리꼴에서는 대각선 길이가 다릅니다.

8. 사다리꼴은 밑변의 합이 변의 합과 같을 때만 내접 원주를가집니다.

9.- 사다리꼴에 내접 원주가있는 경우, 해당 원주의 중앙에있는 꼭지점과 사다리꼴 측면의 끝을 통과하는 측면과의 각도는 직선입니다.

10.- 비늘 사다리꼴은 외접 원주가 없으며 유일한 사다리꼴 유형은 이등변입니다.

공식 및 방정식

스켈레톤 사다리꼴의 다음 관계는 다음 그림을 참조하십시오.

1.-AE = ED 및 BF = FC → EF-AB 및 EF-DC 인 경우.

2.-EF = (AB + DC) / 2 즉 : m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ / 2 및 AG = GC = d ₂ / 2.

4.- DJ / JB = (c / a) 유사하게 CJ / JA = (c / a).

그림 3. Scalene 사다리꼴의 중앙값과 대각선. 출처 : F. Zapata.

5.-DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

동등하게 :

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB-DC) / 2

즉 말하자면:

n = (a-c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ 및 β + γ = 180⁰

8.-α ≠ β ≠ γ ≠ δ이면 d1 ≠ d2.

9.- 그림 4는 원주가 새겨진 스켈레톤 사다리꼴을 보여줍니다.이 경우 다음 사항이 사실입니다.

a + c = d + b

10.- 중앙 O의 내접 원주를 가진 스케일 론 사다리꼴 ABCD에서 다음도 참입니다.

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

그림 4. 사다리꼴에서 밑변의 합이 변의 합과 같다는 것이 확인되면 그 안에 원주가 새겨 져 있습니다. 출처 : F. Zapata.

신장

사다리꼴의 높이는베이스의 한 점에서 반대쪽베이스 (또는 확장)까지 수직으로 이어지는 세그먼트로 정의됩니다.

사다리꼴의 모든 높이는 동일한 측정 값 h를 가지므로 대부분의 경우 높이라는 단어는 측정 값을 나타냅니다. 간단히 말해서 높이는 기지 사이의 거리 또는 간격입니다.

높이 h는 한 변의 길이와 변에 인접한 각도 중 하나를 알고 결정될 수 있습니다.

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

중앙값

사다리꼴 중앙값의 측정 m은 밑변의 반합입니다.

m = (a + b) / 2

대각선

d ₁ = √

d ₂ = √

사다리꼴 측면의 길이 만 알고있는 경우에도 계산할 수 있습니다.

d ₁ = √

d ₂ = √

둘레

둘레는 윤곽선의 총 길이, 즉 모든면의 합입니다.

P = a + b + c + d

지역

사다리꼴의 면적은 밑면의 반합에 높이를 곱한 것입니다.

A = h ∙ (a + b) / 2

중앙값 m과 높이 h를 알고있는 경우에도 계산할 수 있습니다.

A = m ∙ h

사다리꼴 변의 길이 만 알고있는 경우, 사다리꼴에 대한 Heron의 공식을 사용하여 면적을 결정할 수 있습니다.

A = ∙ √

여기서 s는 반 둘레입니다. s = (a + b + c + d) / 2.

스켈 렌 사다리꼴의 다른 비율

중앙값과 대각선의 교차점과 대각선의 교차점을 통과하는 평행선은 다른 관계를 생성합니다.

그림 5. 스켈 렌 사다리꼴의 다른 관계. 출처 : F. Zapata.

-중위 EF와의 관계

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-베이스 KL에 평행 하고 대각선 의 교차점 J를 통과하는 세그먼트 에 대한 관계

KL-AB-DC와 J ∈ KL이면 KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

눈금자와 나침반이있는 스켈레톤 사다리꼴 구조

길이가 a와 c 인 경우 a> cy가 길이 b와 d 인 경우 b> d 인 경우 다음 단계를 따라 진행합니다 (그림 6 참조).

1.- 규칙에 따라 메이저 AB의 세그먼트가 그려집니다.

2.- A se 및 AB 마크 포인트 P에서 AP = c가되도록합니다.

3. 중심이 P이고 반경이 d 인 나침반으로 호가 그려집니다.

4.- 반지름 b로 B에 중심을 만들고 이전 단계에서 그린 호를 가로 지르는 호를 그립니다. Q를 교차점이라고 부릅니다.

그림 6. 측면이 주어진 비늘 사다리꼴 구조. 출처 : F. Zapata.

5.- A를 중심으로 반지름 d의 호를 그립니다.

6.- 중심을 Q에두고, 이전 단계에서 그린 호를 가로 지르는 반경 c의 호를 그립니다. 컷오프 지점은 R이라고합니다.

7.-BQ, QR 및 RA 세그먼트가 눈금자로 그려집니다.

8.- 사변형 ABQR은 APQR이 평행 사변형이므로 AB-QR을 보장하기 때문에 사변형 사다리꼴입니다.

예

다음 길이는 cm 단위로 제공됩니다 : 7, 3, 4 및 6.

a) 그들과 함께 원을 둘러 쌀 수있는 비늘 사다리꼴을 만드는 것이 가능한지 결정하십시오.

b) 내접원의 반경, 둘레, 면적, 대각선의 길이, 사다리꼴의 높이를 찾으십시오.

-솔루션

길이 7과 3의 세그먼트를베이스로 사용하고 길이 4와 6의 세그먼트를 측면으로 사용하여 이전 섹션에 설명 된 절차를 사용하여 스켈레톤 사다리꼴을 구성 할 수 있습니다.

원주가 새겨 져 있는지 확인해야하지만 속성을 기억하고 있습니다 (9).

우리는이를 효과적으로 봅니다.

7 + 3 = 4 + 6 = 10

그러면 내접원주의 존재 조건이 만족된다.

-솔루션 b

둘레

둘레 P는 변을 추가하여 얻습니다. 베이스가 10 개까지 추가되고 측면베이스도 추가되므로 둘레는 다음과 같습니다.

P = 20cm

지역

측면 만 알려진 영역을 결정하기 위해 관계가 적용됩니다.

A = ∙ √

여기서 s는 반 둘레입니다.

s = (a + b + c + d) / 2.

우리의 경우 반 둘레는 s = 10cm의 가치가 있습니다. 각 값을 대체 한 후 :

a = 7cm; b = 6cm; c = 3cm; d = 4cm

유적:

A = √ = (5/2) √63 = 19.84cm².

신장

높이 h는 다음 식으로 영역 A와 관련됩니다.

A = (a + c) ∙ h / 2, 높이는 다음을 지워서 얻을 수 있습니다.

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19.84 / 10 = 3.988cm.

내접원의 반경

내접원의 반지름은 높이의 절반과 같습니다.

r = h / 2 = 1,984cm

대각선

마지막으로 대각선의 길이를 찾습니다.

d ₁ = √

d ₂ = √

우리가 가지고있는 값을 적절하게 대체 :

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

즉, d ₁ = 4.69 cm 및 d ₂ = 8.49 cm

그림 7. 내접 원주의 존재 조건을 충족하는 Scalene 사다리꼴. 출처 : F. Zapata.

운동이 해결됨

밑면 AB = a = 7, CD = c = 3 및 측면 각도 BC = b = 6, DA = d = 4 인 사다리꼴의 내부 각도를 결정합니다.

해결책

코사인 정리를 적용하여 각도를 결정할 수 있습니다. 예를 들어 각도 ∠A = α는 AB = a = 7, BD = d2 = 8.49, DA = d = 4 인 삼각형 ABD에서 결정됩니다.

이 삼각형에 적용된 코사인 정리는 다음과 같습니다.

(D) ₍₂₎ ² = A ² + D ² - 2 ∙ ∙ D ∙ 왜냐하면 (α), 즉 :

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

이를 해결하면 각도 α의 코사인이 구해집니다.

Cos (α) = -1/8

즉, α = ArcCos (-1/8) = 97.18⁰입니다.

다른 각도는 같은 방식으로 얻어지며 값은 다음과 같습니다.

β = 41.41⁰; γ = 138.59⁰ 그리고 마지막으로 δ = 82.82⁰.

참고 문헌

1. CEA (2003). 기하학 요소 : 연습 및 나침반 기하학. 메 델린 대학교.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). 수학 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). 다각형을 발견하십시오. 벤치 마크 교육 회사.
4. Hendrik, V. (2013). 일반화 된 다각형. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). 수학 첫 학기 타카 나. IGER.
6. 주니어 기하학. (2014). 다각형. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren 및 Hornsby. (2006). 수학 : 추론 및 응용 (제 10 판). 피어슨 교육.
8. Patiño, M. (2006). 수학 5. 편집 Progreso.
9. Wikipedia. 공중 그네. 출처 : es.wikipedia.com