감독 벡터 : 선 방정식, 해결 된 연습 문제 - 물리적 인 - 2025

디렉터 벡터 는 평면 또는 공간에서 선의 방향을 정의하는 벡터 로 이해됩니다 . 따라서 선에 평행 한 벡터는 그것의 방향 벡터로 간주 될 수 있습니다.

이것은 두 점이 선을 정의한다고 말하는 유클리드 기하학의 공리 덕분에 가능합니다. 그런 다음이 두 점에 의해 형성된 방향이 지정된 세그먼트는 또한 해당 선의 방향 벡터를 정의합니다.

그림 1. 라인의 디렉터 벡터. (자신의 정교함)

선 (L)에 속하는 점 P와 해당 선의 감독 벡터 u 가 주어지면 선이 완전히 결정됩니다.

선과 디렉터 벡터의 방정식

그림 2. 라인 및 디렉터 벡터의 방정식. (자신의 정교함)

좌표 P : (Xo, I)의 점 P와 선 (L) 의 벡터 u 디렉터가 주어지면 좌표 Q : (X, Y)의 모든 점 Q는 벡터 PQ가 u에 평행 함을 충족해야합니다. 이 마지막 조건은 PQ 가 u에 비례하는 경우 보장됩니다 .

PQ = t⋅ U

위 식에서 t는 실수에 속하는 매개 변수입니다.

PQ 와 u 의 데카르트 성분 이 쓰여지면 위의 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

벡터 등식의 구성 요소가 같으면 다음 방정식 쌍이 얻어집니다.

X-Xo = a⋅ty Y-I = b⋅t

선의 파라 메트릭 방정식

좌표 점 (Xo, Yo)을 통과하고 감독 벡터 u = (a, b)에 평행 한 선 (L)에 속하는 점의 X 및 Y 좌표는 변수 매개 변수 t에 실수 값을 할당하여 결정됩니다.

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

예 1

선의 매개 변수 방정식의 의미를 설명하기 위해 방향 벡터로 사용합니다.

u = (a, b) = (2, -1)

그리고 선의 알려진 점으로 점

P = (Xo, I) = (1, 5).

선의 매개 변수 방정식은 다음과 같습니다.

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5-1⋅t; -∞

이 방정식의 의미를 설명하기 위해 그림 3이 표시됩니다. 여기서 매개 변수 t 값이 변경되고 좌표 (X, Y)의 점 Q가 선에서 다른 위치를 차지합니다.

그림 3. PQ = t u. (자신의 정교함)

벡터 형태의 선

선의 점 P와 디렉터 벡터 u가 주어지면 선의 방정식은 벡터 형식으로 작성할 수 있습니다.

OQ = 영업 이익 + λ⋅ 유

위의 방정식에서 Q는 어떤 점이지만 선에 속하고 λ는 실수입니다.

선의 벡터 방정식은 모든 차원에 적용 할 수 있으며 하이퍼 라인도 정의 할 수 있습니다.

디렉터 벡터 u = (a, b, c) 및 점 P = (Xo, Yo, Zo)에 대한 3 차원의 경우 선에 속하는 일반 점 Q = (X, Y, Z)의 좌표는 다음과 같습니다. :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

예 2

방향 벡터가있는 선을 다시 고려하십시오.

u = (a, b) = (2, -1)

그리고 선의 알려진 점으로 점

P = (Xo, I) = (1, 5).

상기 선의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

연속 형태의 선과 감독 벡터

매개 변수 형식에서 시작하여 매개 변수 λ를 지우고 동일시하면 다음과 같습니다.

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

이것은 선 방정식의 대칭 형태입니다. a, b 및 c는 디렉터 벡터의 구성 요소입니다.

예제 3

방향 벡터로있는 선을 고려하십시오.

u = (a, b) = (2, -1)

그리고 선의 알려진 점으로 점

P = (Xo, I) = (1, 5). 대칭 모양을 찾으십시오.

선의 대칭 또는 연속 형태는 다음과 같습니다.

(X-1) / 2 = (Y-5) / (-1)

선 방정식의 일반적인 형태

XY 평면에서 선의 일반적인 형태는 다음 구조를 가진 방정식으로 알려져 있습니다.

A⋅X + B⋅Y = C

대칭 형식에 대한 식은 다음과 같은 일반 형식을 갖도록 다시 작성할 수 있습니다.

b⋅X-a⋅Y = b⋅Xo-a⋅Yo

선의 일반적인 모양과 비교하면 다음과 같습니다.

A = b, B = -a 및 C = b⋅Xo-a⋅Yo

예제 3

디렉터 벡터가 u = (2, -1) 인 직선의 일반적인 형태를 찾습니다.

그리고 그것은 점 P = (1, 5)를 통과합니다.

일반적인 형식을 찾기 위해 주어진 공식을 사용할 수 있지만 대체 경로가 선택됩니다.

먼저 u의 구성 요소를 교환하고 두 번째에 -1을 곱하여 얻은 벡터로 정의 된 디렉터 벡터 u의 이중 벡터 w를 찾습니다.

w = (-1, -2)

이중 벡터 w 는 방향 벡터 v 의 시계 방향으로 90 ° 회전하는 것에 해당합니다 .

w 에 (X, Y) 및 (Xo, Yo)를 스칼라로 곱하고 같게 설정합니다.

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

마지막으로 남아 :

X + 2Y = 11

선 방정식의 표준 형태

XY 평면에서 선의 표준 형태로 알려져 있으며 다음과 같은 구조를 갖습니다.

Y = m⋅X + d

여기서 m은 기울기를 나타내고 d는 Y 축이있는 절편을 나타냅니다.

방향 벡터 u = (a, b)가 주어지면 기울기 m은 b / a입니다.

Y d는 X와 Y를 알려진 점 Xo, I로 대체하여 구합니다.

나는 = (b / a) Xo + d.

요컨대, m = b / a 및 d = I-(b / a) Xo

기울기 m은 디렉터 벡터의 y 구성 요소와 x 구성 요소 사이의 몫입니다.

예 4

디렉터 벡터가 u = (2, -1) 인 선의 표준 형태를 찾습니다.

그리고 그것은 점 P = (1, 5)를 통과합니다.

m = -½ 및 d = 5-(-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

해결 된 운동

-연습 1

평면 (Π) : X-Y + Z = 3과 평면 (Ω) : 2X + Y = 1의 교차점 인 선 (L)의 방향 벡터를 찾습니다.

그런 다음 직선 방정식 (L)의 연속 형식을 씁니다.

해결책

평면 (Ω) 클리어런스 방정식에서 Y : Y = 1 -2X

그런 다음 평면 방정식 (Π)으로 대체합니다.

X-(1-2X) ​​+ Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4-3X

그런 다음 X를 매개 변수화하고 매개 변수화 X = λ를 선택합니다.

이것은 라인에 다음과 같은 벡터 방정식이 있음을 의미합니다.

(X, Y, Z) = (λ, 1-2λ, 4-3λ)

다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

벡터 u = (1, -2, -3)가 선 (L)의 방향 벡터 라는 것이 분명합니다 .

선 (L)의 연속 형태는 다음과 같습니다.

(X-0) / 1 = (Y-1) / (-2) = (Z-4) / (-3)

-운동 2

비행기 5X + a Y + 4Z = 5가 주어지면

방정식이 X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (-2) 인 선

평면과 선이 평행하도록 a의 값을 결정합니다.

해결 방법 2

벡터 n = (5, a, 4)는 평면에 수직 인 벡터입니다.

벡터 u = (1, 3, -2)는 직선의 방향 벡터입니다.

선이 평면에 평행하면 n • v = 0입니다.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

참고 문헌

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