십 칠각형은 17 개면과 17 개 꼭지점 정다각형이다. 그것의 구성은 유클리드 스타일, 즉 눈금자와 나침반 만 사용하여 수행 할 수 있습니다. 1796 년 건축 절차를 발견 한 사람은 18 세가 채되지 않은 위대한 수학적 천재 인 Carl Friedrich Gauss (1777-1855)였습니다.
분명히 Gauss는 항상이 기하학적 도형에 매우 기울어 져 있었고 그 구조를 발견 한 날부터 수학자가되기로 결정했습니다. 또한 묘비에 칠십 각형이 새겨지기를 원했다고합니다.
그림 1. heptadecagon은 17 개의면과 17 개의 정점이있는 정다각형입니다. 출처 : F. Zapata.
Gauss는 또한 어떤 정다각형이 정확한 유클리드 구성을 가지고 있지 않기 때문에 눈금자와 나침반으로 구성 할 수있는 정다각형을 결정하는 공식을 발견했습니다.
heptadecagon의 특성
폴리곤과 마찬가지로 그 특성에 관해서는 내부 각도의 합이 중요합니다. n 개의면이있는 정다각형에서 합계는 다음과 같이 지정됩니다.
라디안으로 표시되는이 합계는 다음과 같습니다.
위의 공식에서 heptadecagon의 각 내부 각도는 다음과 같이 주어진 정확한 측정 값 α를 가지고 있음을 쉽게 추론 할 수 있습니다.
내부 각도는 대략 다음과 같습니다.
대각선과 둘레
대각선과 둘레는 다른 중요한 측면입니다. 모든 다각형에서 대각선 수는 다음과 같습니다.
D = n (n-3) / 2이고 heptadecagon의 경우 n = 17이면 D = 119 대각선입니다.
한편, 칠십 각형의 각 변의 길이를 알고 있다면, 그 길이의 17 배 또는 각 변의 길이 d의 17 배에 해당하는 값을 더하여 일반 칠십 각형의 둘레를 구합니다.
P = 17 일
heptadecagon의 둘레
때때로 heptadecagon의 반지름 r 만 알 수 있으므로이 경우에 대한 공식을 개발할 필요가 있습니다.
이를 위해 아포 헴 (apothem)의 개념을 소개합니다. 아포 헴은 정다각형의 중심에서 한쪽의 중간 점까지가는 선분입니다. 한 변에 상대적인 아포 헴은 그 변에 수직입니다 (그림 2 참조).
그림 2. 반지름이 r 인 정다각형 부분과 아포 헴이 표시됩니다. (자신의 정교함)
또한 apothem은 중심 꼭지점과 다각형의 연속 된 두 꼭지점에 측면이있는 각도의 이등분선이므로 반경 r과면 d 사이의 관계를 찾을 수 있습니다.
중심각 DOE가 β로 표시되고 apothem OJ가 이등분선임을 고려하면 EJ = d / 2 = r Sen (β / 2)을 얻습니다. 여기서 다각형 측면의 길이 d를 구하는 관계가 있습니다. 반지름 r과 중심각 β를 알고 있습니다.
d = 2r Sen (β / 2)
heptadecagon β = 360º / 17의 경우 다음과 같습니다.
d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0.3675r
마지막으로 반지름으로 알려진 heptadecagon의 둘레에 대한 공식이 얻어집니다.
P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475r
heptadecagon의 둘레는 그것을 둘러싸는 둘레의 둘레에 가깝지만 그 값은 더 적습니다. 즉, 외접 원의 둘레는 Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r입니다.
지역
heptadecagon의 면적을 결정하기 위해 우리는 n면을 가진 정다각형의 변과 정점을 보여주는 그림 2를 참조 할 것입니다. 이 그림에서 삼각형 EOD는 밑면 d (다각형의 측면) x 높이 a (다각형의 아포 헴)를 2로 나눈 면적을가집니다.
EOD 영역 = (dxa) / 2
따라서 heptadecagon의 apothem a와 같은 측면 d를 알면 면적은 다음과 같습니다.
육각형 면적 = (17/2) (dxa)
측면에 주어진 면적
17 변의 길이를 알고있는 칠십 각형의 면적에 대한 공식을 얻으려면 apothem a와 side d의 길이 사이의 관계를 얻어야합니다.
그림 2를 참조하면 다음과 같은 삼각 관계가 얻어집니다.
Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, 여기서 β는 중심각 DOE입니다. 따라서 apothem a는 다각형 측면의 길이 d와 중심각 β가 알려진 경우 계산할 수 있습니다.
a = (d / 2) 코탄 (β / 2)
이 표현이 이제 apothem을 대체하면 이전 섹션에서 얻은 heptadecagon 면적에 대한 공식에서 다음과 같습니다.
칠각형 면적 = (17/4) (d 2 ) Cotan (β / 2)
heptadecagon의 경우 β = 360º / 17이므로 마침내 원하는 공식을 얻습니다.
칠각형 면적 = (17/4) (d 2 ) Cotan (180º / 17)
반경이 주어진 면적
이전 섹션에서 정다각형의 측면 d와 반경 r 사이의 관계가 발견되었습니다.이 관계는 다음과 같습니다.
d = 2r Sen (β / 2)
d에 대한이 식은 영역에 대한 이전 섹션에서 얻은 식에 삽입됩니다. 관련 대체 및 단순화가 이루어지면 heptadecagon의 면적을 계산할 수있는 공식이 얻어집니다.
육각형 면적 = (17/2) (r 2 ) Sen (β) = (17/2) (r 2 ) Sen (360º / 17)
영역에 대한 대략적인 표현은 다음과 같습니다.
육각형 면적 = 3.0706 (r 2 )
예상 대로이 영역은 heptadecagon A circ = π r 2 ≈ 3.1416 r 2를 둘러싸는 원의 영역보다 약간 작습니다 . 정확히 말하면 외접원보다 2 % 적습니다.
예
예 1
질문에 답하려면 일반 n면 다각형의 측면과 반경 간의 관계를 기억해야합니다.
d = 2 r Sen (180º / n)
7 각형의 경우 n = 17이므로 d = 0.3675 r, 즉 7 각형의 반지름은 r = 2cm / 0.3675 = 5.4423cm 또는
직경 10.8844cm.
2cm 측면 칠각형의 둘레는 P = 17 * 2cm = 34cm입니다.
예 2
우리는 heptadecagon이 측면의 길이가 d 일 때 heptadecagon의 면적을 찾을 수 있도록 이전 섹션에 표시된 공식을 참조해야합니다.
육각형 면적 = (17/4) (d 2 ) / Tan (180º / 17)
이전 공식에서 d = 2cm를 대체하여 다음을 얻습니다.
면적 = 90.94cm
참고 문헌
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- Wikipedia. Heptadecagon. 출처 : es.wikipedia.com