정수 : 속성, 예, 연습 - 수학 - 2025

정수 객체에게 완전한 가진 사람을 카운트하지 않은 유용한 숫자의 집합입니다. 또한 특정 참조 장소의 한쪽과 다른쪽에있는 사람들을 계산합니다.

또한 정수를 사용하면 숫자와 그보다 큰 숫자 사이의 뺄셈 또는 차이를 수행 할 수 있습니다. 예를 들어 결과는 부채로 해결됩니다. 소득과 부채의 구분은 각각 + 및-기호로 이루어집니다.

그림 1. 정수의 수선. 출처 : Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

따라서 정수 집합에는 다음이 포함됩니다.

-+ 기호가 선행되거나 단순히 부호가없는 양의 정수로, 양수로도 이해됩니다. 예 : +1, +2, + 3… 등.

-부호가 무관 한 0은 어떤 수량에서 빼기 위해 더하는 것이 중요하지 않기 때문입니다. 그러나 0은 정수에 대한 참조이기 때문에 매우 중요합니다. 그림 1에서 볼 수 있듯이 한쪽에는 양수가 있고 다른쪽에는 음수가 있습니다.

-부채와 같은 금액과 참조의 다른쪽에있는 모든 금액이 구별되기 때문에 항상 부호가 앞에 와야하는 음의 정수입니다. 음의 정수의 예 : -1, -2, -3… 이후.

정수는 어떻게 표현됩니까?

처음에는 Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, 즉, 목록 및 조직. 그러나 매우 유용한 표현은 수직선에서 사용되는 표현입니다. 이를 위해서는 일반적으로 수평 인 선을 그려야하며, 그 위에 0이 표시되고 동일한 섹션으로 나뉩니다.

그림 2. 수직선의 정수 표현. 0에서 오른쪽은 양의 정수이고 0에서 왼쪽은 음의 정수입니다. 출처 : F. Zapata.

음수는 0의 왼쪽으로 가고 양수는 오른쪽으로갑니다. 수직선의 화살표는 숫자가 무한대로 진행됨을 상징합니다. 정수가 주어지면 항상 더 큰 정수 또는 작은 정수를 찾을 수 있습니다.

정수의 절대 값

정수의 절대 값은 숫자와 0 사이의 거리입니다. 거리는 항상 양수입니다. 따라서 음의 정수의 절대 값은 마이너스 부호가없는 숫자입니다.

예를 들어 -5의 절대 값은 5입니다. 절대 값은 다음과 같이 막대로 표시됩니다.

--5- = 5

이를 시각화하려면 -5에서 0까지 숫자 라인의 공백을 세십시오. 양의 정수의 절대 값은 같은 숫자입니다. 예를 들어-+ 3- = 3입니다. 0으로부터의 거리는 3 칸 :

그림 3. 정수의 절대 값은 항상 양수입니다. 출처 : F. Zapata.

속성

-정수 세트는 Z로 표시되며 자연수 N 세트를 포함하며 그 요소는 무한합니다.

-정수와 뒤에 오는 것 (또는 그 앞에 오는 것)은 항상 단일성으로 구별됩니다. 예를 들어, 5 이후에는 6이되고 1은 그 차이입니다.

-모든 정수에는 선행자와 후속자가 있습니다.

-모든 양의 정수는 0보다 큽니다.

-음의 정수는 항상 0보다 작고 양수입니다. 예를 들어 숫자 -100을 보자. 이것은 2 미만, 10 미만 및 50 미만입니다. 그러나 또한 -10, -20 및 -99 미만이고 -200보다 큽니다.

-0은 음수도 양수도 아니기 때문에 부호 고려 사항이 없습니다.

-정수를 사용하면 자연수로 수행되는 동일한 연산, 즉 더하기, 빼기, 곱하기, 권한 부여 등을 수행 할 수 있습니다.

-특정 정수 x와 반대되는 정수는 –x이고 반대 정수의 합은 0입니다.

x + (-x) = 0.

정수 연산

-합계

-추가 할 숫자의 부호가 같으면 절대 값이 더 해지고 그 결과는 가산에있는 부호와 함께 배치됩니다. 여기 몇 가지 예가 있어요.

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (-10) =-(12 + 10) = -22

-숫자가 다른 부호 인 경우 절대 값을 빼고 (가장 낮은 값에서 가장 높은 값) 결과는 다음과 같이 절대 값이 가장 높은 숫자의 부호와 함께 배치됩니다.

a) (-8) + (21) = 21-8 = 13

b) (-9) + (+4) =-(9-4) = -5

정수 합계의 속성

-합은 교환 적이므로 가산 순서는 합을 변경하지 않습니다. a와 b를 두 개의 정수라고합시다. a + b = b + a

-0은 정수 합계의 중립 요소입니다. a + 0 = a

-반대에 더해지는 정수는 0입니다. + a의 반대는 –a이고 반대로 –a의 반대는 + a입니다. 따라서 : (+ a) + (-a) = 0.

그림 2. 정수를 더하기위한 부호 규칙. 출처 : Wikimedia Commons.

-빼기

정수를 빼려면이 규칙을 따라야합니다. 빼기는 반대의 숫자를 더하는 것과 같습니다. a와 b가 두 개의 숫자라고합시다.

a-b = a + (-b)

예를 들어, 다음 작업을 수행해야한다고 가정합니다. (-3)-(+7), 그런 다음 :

(-3)-(+7) = (-3) + (-7) =-(3 + 7) = -10

-곱셈

정수의 곱셈은 부호에 대한 특정 규칙을 따릅니다.

-같은 부호를 가진 두 숫자의 곱은 항상 양수입니다.

-기호가 다른 두 숫자를 곱하면 결과는 항상 음수입니다.

-제품의 값은 각각의 절대 값을 곱한 것과 같습니다.

위의 내용을 명확히하는 몇 가지 예 :

(-5) x (+8) =-5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

정수 곱셈의 속성

-곱셈은 교환 적입니다. a와 b를 두 개의 정수로두면 다음과 같은 것이 사실입니다. ab = ba, 다음과 같이 표현 될 수도 있습니다.

-곱셈의 중립 요소는 1입니다. a를 정수라고합시다. 따라서 a.1 = 1

-0을 곱한 정수는 0과 같습니다 : a.0 = 0

분배 속성

곱셈은 ​​덧셈에 대한 분배 속성을 따릅니다. a, b 및 c가 정수이면 :

a. (b + c) = ab + ac

다음은이 속성을 적용하는 방법의 예입니다.

(-삼). = (-3). (-4) + (-3) .11 = 12-33 = 12 + (-33) = -21

권한 부여

-베이스가 양수이면 작업 결과는 항상 양수입니다.

-밑이 음수 일 때 지수가 짝수이면 결과는 양수입니다. 지수가 홀수이면 결과는 음수입니다.

-부문

곱셈에서와 같이 나누기에 동일한 부호 규칙이 적용됩니다.

-같은 부호의 두 정수를 나누면 결과는 항상 양수입니다.

-부호가 다른 두 정수를 나누면 몫은 음수입니다.

예를 들면 :

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

중요 : 나누기는 교환이 아닙니다. 즉 a ÷ b ≠ b ÷ a 항상 그렇듯이 0으로 나누는 것은 허용되지 않습니다.

-권한 부여

a를 정수로하고이를 지수 n으로 올리고 자합니다. 그러면 아래와 같이 a 자체에 n을 곱해야합니다.

a ⁿ = aaaa… .. .a

또한 n이 자연수라는 점을 고려하여 다음을 고려하십시오.

-a가 음수이고 n이 짝수이면 결과는 양수입니다.

-a가 음수이고 n이 홀수이면 음수가됩니다.

-a가 양수이고 n이 짝수 또는 홀수이면 항상 양의 정수가됩니다.

-0으로 올린 모든 정수는 1과 같습니다. a ⁰ = 1

-1로 올린 모든 숫자는 다음과 같습니다. a ¹ = a

예를 들어 (–3) ⁴ 를 찾고 싶다고 가정 해 봅시다. 그렇게하려면 (-3)을 4 번 곱합니다 : (–3). (-3). (-3).

음의 정수를 사용하는 또 다른 예는 다음과 같습니다.

(-2) ³ = (-2). (-2). (-2) = -8

같은 염기의 거듭 제곱의 곱

같은 기수의 두 거듭 제곱을 곱하면 지수가 주어진 지수의 합인 동일한 기수를 가진 또 다른 거듭 제곱을 얻는다고 가정합니다.

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

균등 기수 지수

같은 기수의 거듭 제곱을 나눌 때 결과는 동일한 기수를 가진 거듭 제곱이며, 그 지수는 주어진 지수의 뺄셈입니다.

a ⁿ ÷ a ^m = a ^n-m

다음은 이러한 점을 명확히하는 두 가지 예입니다.

(-2) ⁽³⁾ (- 2) ⁽⁵⁾ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

예

양의 정수의 경우 부호를 생략 할 수 있다는 점을 기억하면서 이러한 규칙을 적용하는 간단한 예를 살펴 보겠습니다.

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (-10) =-(8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) =-16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8)-(+15) = (-8) + (-15) = -8-15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (-4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) =-5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) =-8

해결 된 운동

- 연습 1

개미는 그림 1의 숫자 선을 따라 이동합니다. x = +3 지점에서 시작하여 다음과 같이 이동합니다.

-7 단위를 오른쪽으로 이동

-이제 왼쪽으로 5 단위를 반환합니다.

-왼쪽으로 3 개 더 걸 으세요.

-돌아가서 오른쪽으로 4 단위 이동합니다.

투어가 끝날 때 개미는 언제쯤입니까?

해결책

변위 D라고합시다. 오른쪽에 있으면 양수 부호가, 왼쪽에 있으면 음수 부호가 표시됩니다. 이런 식으로 x = +3부터 시작하면 다음과 같습니다.

-첫 번째 D : x ₁ = +3 + 7 = +10

-두 번째 D : x ₂ = +10 + (-5) = +5

-세 번째 D : x ₃ = +5 + (-3) = +2

-방 D : x ₄ = +2 + 4 = +6

개미가 걷기를 마치면 x = +6 위치에 있습니다. 즉, 수직선에서 0의 오른쪽에 6 단위입니다.

-연습 2

다음 작업을 해결하십시오.

{36 +}. {-+ 2 (-8 + 6)]}

해결책

이 작업에는 괄호, 대괄호 및 중괄호 인 그룹화 기호가 포함됩니다. 풀 때, 먼저 괄호, 그 다음 괄호, 그리고 마지막으로 중괄호를 처리해야합니다. 즉, 당신은 내부에서 밖으로 작업해야합니다.

이 연습에서 점은 곱셈을 나타내지 만 숫자와 괄호 또는 다른 기호 사이에 점이 없으면 제품으로도 이해됩니다.

단계별 해상도 아래에서 색상은 가장 안쪽에있는 그룹화 기호 인 괄호를 줄인 결과를 따르는 가이드 역할을합니다.

{36 +}. {-+ 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {-+ 2 (-2)]} =

= {36 +}. {-4]} =

= {52}. {1-4]} = {52}. {-3} = -156

-운동 3

1 차 방정식을 풉니 다.

12 + x = 30 + 3x

해결책

항은 등식의 왼쪽에 미지수로, 오른쪽에 숫자 항으로 그룹화됩니다.

x-3x = 30-12

-2x = 18

x = 18 / (-2)

x =-9

참고 문헌

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. 국립 문학 대학.
2. Figuera, J. 2000. 7 학년 수학. CO-BO 에디션.
3. Hoffmann, J. 2005. 수학 주제의 선택. Monfort 간행물.
4. Jiménez, R. 2008. 대수. 프렌 티스 홀.
5. 정수. 출처 : Cimanet.uoc.edu.