쌍곡 포물면은 그 일반 식 직교 좌표 (X, Y, Z)를 만족하기 식의 표면이다 :
(x / a) 2- (y / b) 2 -z = 0.
"포물면"이라는 이름은 변수 z가 변수 x와 y의 제곱에 의존한다는 사실에서 비롯됩니다. 형용사 "hyperbolic"은 z의 고정 된 값에서 쌍곡선의 방정식을 가지기 때문입니다. 이 표면의 모양은 말 안장의 모양과 비슷합니다.
그림 1. 쌍곡선 포물선 z = x 2 -y 2 . 출처 : Wolfram Mathematica를 사용하는 F. Zapata.
쌍곡선 포물선에 대한 설명
쌍곡선 포물선의 특성을 이해하기 위해 다음과 같은 분석이 수행됩니다.
1.- 우리는 a = 1, b = 1, 즉 포물면의 데카르트 방정식이 z = x 2 -y 2 로 남아 있다고 말하는 특별한 경우를 취할 것 입니다.
2.- 평면은 ZX 평면에 평행 한 것으로 간주됩니다. 즉, y = ctte입니다.
3.- y = ctte를 사용하면 z = x 2 -C로 유지됩니다. 이는 분기가 위쪽으로, 정점이 XY 평면 아래에있는 포물선을 나타냅니다.
그림 2. 곡선 군 z = x 2 -C. 출처 : Geogebra를 사용한 F. Zapata.
4.- x = ctte를 사용하면 z = C-y 2로 유지 되며, 분기가 아래로 있고 XY 평면 위에 꼭지점이있는 포물선을 나타냅니다.
그림 3. 곡선 군 z = C-y 2 . 출처 : F. Zapata through Geogebra.
5.- z = ctte를 사용하면 C = x 2 -y 2 로 유지되며 XY 평면에 평행 한 평면에서 쌍곡선을 나타냅니다. C = 0이면 XY 평면의 원점에서 교차하는 두 개의 선 (X 축에 대해 + 45º 및 -45º)이 있습니다.
그림 4. 곡선 군 x 2 -y 2 = C. 출처 : Geogebra를 사용한 F. Zapata ..
쌍곡선 포물선의 속성
1.-3 차원 공간에서 4 개의 서로 다른 점은 단 하나의 쌍곡선 포물선을 정의합니다.
2. 쌍곡선 포물선은 이중 선으로 된 표면입니다. 이것은 곡면 임에도 불구하고 두 개의 다른 선이 쌍곡선 포물선에 완전히 속하는 쌍곡선 포물선의 각 점을 통과한다는 것을 의미합니다. 평면이 아니고 이중으로 지배되는 다른 표면은 혁명의 쌍곡선입니다.
표면이 직선 빔이나 스트링에서 생성 될 수 있기 때문에 건축에서 광범위하게 사용할 수있는 쌍곡선 포물선의 두 번째 속성입니다.
쌍곡선 포물선의 두 번째 속성은 다른 정의를 허용합니다. 고정 평면에 평행하게 움직이는 직선에 의해 생성 될 수있는 표면이며 가이드 역할을하는 두 개의 고정 선을 절단합니다. 다음 그림은 쌍곡선 포물선의 이러한 대체 정의를 명확히합니다.
그림 5. 쌍곡선 포물선은 이중 선이있는 표면입니다. 출처 : F. Zapata.
작동 예
-예 1
방정식 : z = xy가 쌍곡선 포물선에 해당함을 보여줍니다.
해결책
+ 45º의 Z 축에 대한 데카르트 축의 회전에 해당하는 x 및 y 변수에 변환이 적용됩니다. 이전 x 및 y 좌표는 다음 관계에 따라 새로운 x '및 y'로 변환됩니다.
x = x '-y'
y = x '+ y'
z 좌표는 동일하게 유지됩니다. 즉, z = z '입니다.
방정식 z = xy를 대입하면 다음과 같습니다.
z '= (x'-y ') (x'+ y ')
제곱의 차이와 동일한 합에 의한 차이의 주목할만한 제품을 적용하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.
Z '= X' (2) - Y ' 2
이것은 쌍곡선 포물선의 초기 정의와 명확하게 일치합니다.
쌍곡선 포물선 z = xy를 사용하여 XY 축에 평행 한 평면의 가로 채기는 평면 x = 0 및 y = 0을 점근하는 등변 쌍곡선을 결정합니다.
-예 2
점 A (0, 0, 0)를 통과하는 쌍곡선 포물선의 매개 변수 a와 b를 결정합니다. B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) 및 D (2, -1, 32/9).
해결책
그 속성에 따라 3 차원 공간의 4 개 점이 단일 쌍곡선 포물선을 결정합니다. 일반적인 방정식은 다음과 같습니다.
z = (x / a) 2- (y / b) 2
주어진 값을 대체합니다.
점 A 의 경우 매개 변수 a와 b의 값이 무엇이든 만족되는 방정식 인 0 = (0 / a) 2- (0 / b) 2 가 있습니다.
지점 B를 대체하면 다음을 얻습니다.
5/9 = 1 / a 2-1 / b 2
지점 C의 경우 다음과 같이 유지됩니다.
32/9 = 4 / a 2-1 / b 2
마지막으로 점 D에 대해 다음을 얻습니다.
32/9 = 4 / a 2-1 / b 2
이전 방정식과 동일합니다. 궁극적으로 연립 방정식을 풀어야합니다.
5/9 = 1 / a 2-1 / b 2
32/9 = 4 / a 2-1 / b 2
첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면 다음이 제공됩니다.
27/9 = 3 / a 2 이는 a 2 = 1 임을 의미합니다 .
비슷한 방식으로 두 번째 방정식은 첫 번째 방정식의 네 배에서 빼서 다음을 얻습니다.
(32-20) / 9 = 4 / A 2 - 4 / A (2) -1 / (B) 2 + 4 / B 2
다음과 같이 단순화됩니다.
12/9 = 3 / b 2 ⇒ b 2 = 9/4.
간단히 말해, 주어진 점 A, B, C 및 D를 통과하는 쌍곡선 포물선은 다음과 같이 주어진 데카르트 방정식을 갖습니다.
z = x 2- (4/9) y 2
-예 3
쌍곡선 포물선의 특성에 따라 두 개의 선이 완전히 포함 된 각 점을 통과합니다. z = x ^ 2-y ^ 2의 경우, 쌍곡선 포물선에 분명히 속하는 점 P (0, 1, -1)를 통과하는 두 선의 방정식을 찾아이 선의 모든 점이 같은.
해결책
제곱 차이의 놀라운 곱을 사용하여 쌍곡선 포물선에 대한 방정식을 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
(x + y) (x-y) = cz (1 / c)
여기서 c는 0이 아닌 상수입니다.
방정식 x + y = cz, 방정식 x-y = 1 / c는 법선 벡터 n = <1,1, -c> 및 m = <1, -1,0> 인 두 평면에 해당합니다 . 벡터 곱 mxn = <-c, -c, -2>는 두 평면의 교차 선 방향을 제공합니다. 그런 다음 점 P를 통과하고 쌍곡선 포물선에 속하는 선 중 하나는 매개 변수 방정식을 갖습니다.
c를 결정하기 위해 방정식 x + y = cz에서 점 P를 대체하여 다음을 얻습니다.
c = -1
비슷한 방식으로, 그러나 방정식 (x-y = kz) 및 (x + y = 1 / k)를 고려하면 선의 매개 변수 방정식이 있습니다.
요약하면 두 줄은 다음과 같습니다.
그들은 점 (0, 1, -1)을 통과 하는 쌍곡선 포물선 z = x 2 -y 2 에 완전히 포함됩니다 .
수표로서, 첫 번째 줄의 점 (1,2, -3)을 제공하는 t = 1이라고 가정합니다. 포물선에도 있는지 확인해야합니다 z = x 2 -y 2 :
-3 = 1 2 - 2 2 = 1 - 4 = -3
이것은 실제로 쌍곡선 포물선의 표면에 속함을 확인합니다.
건축의 쌍곡선 포물선
그림 6. 발렌시아 해양학 (스페인) 출처 : Wikimedia Commons.
쌍곡선 포물선은 위대한 아방가르드 건축가에 의해 건축에 사용되었으며, 그중 스페인 건축가 Antoni Gaudí (1852-1926)와 특히 스페인 Félix Candela (1910-1997)의 이름이 두드러집니다.
다음은 쌍곡선 포물선을 기반으로 한 몇 가지 작업입니다.
-Chapel of the city of Cuernavaca (멕시코) 건축가 Félix Candela의 작품.
-발렌시아 해양학 (스페인), 펠릭스 칸델라도.
참고 문헌
- 수학 백과 사전. 괘선. 출처 : encyclopediaofmath.org
- Llera Rubén. 쌍곡선 포물선. 출처 : rubenllera.wordpress.com
- Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." MathWorld에서 – Wolfram 웹 리소스. 출처 : mathworld.wolfram.com
- Wikipedia. 포물면. 출처 : en.wikipedia.com
- Wikipedia. 포물면. 출처 : es.wikipedia.com
- Wikipedia. 괘선. 출처 : en.wikipedia.com