동일 평면 이 아닌 벡터 는 동일한 평면을 공유하지 않는 벡터 입니다. 두 개의 자유 벡터와 한 점이 단일 평면을 정의합니다. 세 번째 벡터는 해당 평면을 공유하거나 공유하지 않을 수 있으며 그렇지 않은 경우 동일 평면이 아닌 벡터입니다.
동일 평면이 아닌 벡터는 칠판이나 종이와 같은 2 차원 공간에서 표현할 수 없습니다. 그 중 일부는 3 차원에 포함되기 때문입니다. 제대로 표현하려면 원근법을 사용해야합니다.
그림 1. 동일 평면 및 비 동일 평면 벡터. (자신의 정교함)
그림 1을 보면 모든 물체가 엄격하게 화면의 평면에 있지만 원근감 덕분에 뇌는 화면에서 나오는 평면 (P)을 상상할 수 있습니다.
해당 평면 (P)에는 벡터 r , s , u 가 있고 벡터 v 및 w 는 해당 평면에 없습니다.
따라서 벡터 r , s , u 는 동일한 평면 (P)을 공유하므로 서로 동일 평면에 있거나 동일 평면에 있습니다. 벡터 v 및 w 는 표시된 다른 벡터와 평면을 공유하지 않으므로 동일 평면에 있지 않습니다.
동일 평면 벡터와 평면 방정식
3 차원 공간에 세 개의 점이 있으면 평면이 고유하게 정의됩니다.
이 세 점이 평면 (P)을 정의하는 점 A, 점 B 및 점 C라고 가정합니다. 이러한 점을 사용하여 평면 (P)과 동일 평면에있는 두 개의 벡터 AB = u 및 AC = v 를 구성 할 수 있습니다.
이 두 벡터의 외적 (또는 외적)은 두 벡터에 수직 (또는 법선)이므로 평면 (P)에 수직 인 세 번째 벡터를 생성합니다.
n = u X v => n ⊥ u 및 n ⊥ v => n ⊥ (P)
평면 (P)에 속하는 다른 모든 점은 벡터 AQ 가 벡터 n에 수직 임을 충족해야합니다 . 이것은 AQ 가있는 n의 내적 (또는 내적) 이 0이어야한다는 것과 같습니다.
n • AQ = 0 (*)
이전 조건은 다음과 같이 말하는 것과 같습니다.
AQ • ( u X v ) = 0
이 방정식은 점 Q가 평면 (P)에 속하도록합니다.
평면의 데카르트 방정식
위의 방정식은 데카르트 형식으로 작성할 수 있습니다. 이를 위해 점 A, Q의 좌표와 정규 벡터 n 의 구성 요소를 작성합니다 .
따라서 AQ의 구성 요소는 다음과 같습니다.
벡터 AQ가 평면 (P)에 포함되는 조건은 다음과 같이 작성되는 조건 (*)입니다.
내적을 계산하는 것은 다음과 같습니다.
개발되고 재배치되면 다음과 같이 유지됩니다.
앞의 식은 (P)에 수직 인 벡터의 구성 요소와 (P)에 속하는 점 A의 좌표의 함수로서 평면 (P)의 데카르트 방정식입니다.
세 벡터가 동일 평면이 아닌 조건
이전 섹션에서 볼 수 있듯이 조건 AQ • ( u X v ) = 0은 벡터 AQ 가 u 및 v 와 동일 평면 상에 있음을 보장합니다 .
벡터 AQ w 를 호출 하면 다음을 확인할 수 있습니다.
w , u 및 v 는 w • ( u X v ) = 0 인 경우에만 동일 평면 상에 있습니다.
비공 면성 조건
세 벡터의 삼중 곱 (또는 혼합 곱)이 0과 다르면이 세 벡터는 동일 평면에 있지 않습니다.
만약 w • ( U X V ) ≠ 0 후 벡터 U 비 동일 평면 인 V 및 W.
벡터 u, v, w의 데카르트 성분이 도입되면 동일 평면성이 아닌 조건은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
삼중 곱은 기하학적 해석을 가지며 3 개의 동일 평면이 아닌 벡터에 의해 생성 된 평행 육면체의 부피를 나타냅니다.
그림 2. 동일 평면에 있지 않은 3 개의 벡터는 부피가 삼중 곱의 모듈 인 평행 육면체를 정의합니다. (자신의 정교함)
그 이유는 다음과 같습니다. 동일 평면이 아닌 벡터 중 두 개를 벡터로 곱하면 크기가 생성되는 평행 사변형의 영역 인 벡터가 얻어집니다.
그런 다음이 벡터에 동일 평면이 아닌 세 번째 벡터를 스칼라로 곱하면 처음 두 개가 결정하는 평면에 수직 인 벡터에 대한 투영과 결정된 영역이 곱해집니다.
즉, 처음 두 개에 의해 생성 된 평행 사변형의 면적에 세 번째 벡터의 높이를 곱한 값이 있습니다.
비공면 성의 대체 조건
세 개의 벡터가 있고 그중 하나를 다른 두 개의 선형 조합으로 작성할 수없는 경우 세 벡터는 동일 평면에 있지 않습니다. 즉, 세 개의 벡터 u , v 및 w 는 조건이 다음과 같은 경우 동일 평면에 있지 않습니다.
α u + β v + γ w = 0
α = 0, β = 0 및 γ = 0 일 때만 충족됩니다.
해결 된 운동
-연습 1
세 가지 벡터가 있습니다
u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) 및 w = (-1, 2, z)
벡터 w 의 z 성분 은 알 수 없습니다.
세 벡터가 동일한 평면을 공유하지 않도록 z가 취할 수있는 값의 범위를 찾으십시오.
해결책
w • ( u X v ) = -3 (z-0) + 6 (4 z-0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18
이 표현식을 값 0과 동일하게 설정합니다.
21 z + 18 = 0
그리고 우리는 z를 구합니다.
z = -18/21 = -6/7
변수 z가 -6/7 값을 취하면 세 벡터는 동일 평면 상에 있습니다.
따라서 벡터가 동일 평면에 있지 않음을 보장하는 z의 값은 다음 간격의 값입니다.
z ∈ (-∞, -6/7) U (-6/7, ∞)
-운동 2
다음 그림에 표시된 평행 육면체의 부피를 찾으십시오.
해결책
그림에 표시된 평행 육면체의 부피를 찾기 위해 좌표계의 원점에서 3 개의 동시 비공면 벡터의 데카르트 성분이 결정됩니다. 첫 번째 는 4m 의 벡터 u 이고 X 축에 평행합니다.
u = (4, 0, 0) m
두 번째는 X 축과 함께 60º를 형성하는 3m 크기의 XY 평면에 있는 벡터 v 입니다.
v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m
세 번째는 5m 의 벡터 w 이고 XY 평면에서의 투영이 X 축과 함께 60º를 형성하고, 추가로 w가 Z 축과 함께 30º를 형성합니다.
w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)
계산이 수행되면 w = (1.25, 2.17, 2.5) m이됩니다.
참고 문헌
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- McLean, W. Schaum 시리즈. 엔지니어를위한 역학 : 정적 및 역학. 3 판. McGraw Hill. 1-15.
- Wikipedia. 벡터. 출처 : es.wikipedia.org