탄성 충격 : 한 차원에서, 특별한 경우, 운동 - 물리적 인 - 2025

탄성 충돌 또는 탄성 충돌은 운동량과 운동 에너지가 모두 보존되는 객체 사이의 짧지 만 강렬한 상호 작용이다. 충돌은 본질적으로 매우 빈번한 사건입니다. 아 원자 입자에서 은하, 놀이 공원의 당구 공 및 범퍼카에 이르기까지 모두 충돌 할 수있는 물체입니다.

충돌 또는 충돌 중에 물체 간의 상호 작용 힘은 외부에서 작용할 수있는 힘보다 훨씬 더 강합니다. 이러한 방식으로 충돌 중에 입자가 격리 된 시스템을 형성한다고 말할 수 있습니다.

당구 공 충돌은 탄력적 인 것으로 간주 될 수 있습니다. 출처 : Pixabay.

이 경우 다음이 사실입니다.

충돌 전 운동량 P _o 는 충돌 후와 동일합니다. 이는 탄성 및 비탄성 충돌 유형 모두에 해당됩니다.

이제 다음을 고려하십시오. 충돌 중에 오브젝트는 특정 변형을 겪습니다. 충격이 탄력적 일 때 물체는 빠르게 원래 모양으로 되돌아갑니다.

운동 에너지 보존

일반적으로 충돌시 물체 에너지의 일부는 열, 변형, 소리 및 때로는 빛 생성에 소비됩니다. 따라서 충돌 후 시스템의 운동 에너지는 원래 운동 에너지보다 적습니다.

운동 에너지 K가 보존되면 :

이는 충돌 중에 작용하는 힘이 보수적이라는 것을 의미합니다. 충돌하는 동안 운동 에너지는 잠시 위치 에너지로 변환 된 다음 다시 운동 에너지로 전환됩니다. 각각의 운동 에너지는 다양하지만 합계는 일정하게 유지됩니다.

완벽한 탄성 충돌은 드물지만 당구 공은 이상적인 기체 분자 사이에서 발생하는 충돌과 마찬가지로 상당히 좋은 근사치입니다.

한 차원에서의 탄성 충격

단일 차원에서이 두 입자의 충돌을 조사해 보겠습니다. 즉, 상호 작용하는 입자가 x 축을 따라 이동합니다. 질량이 m ₁ 및 m ₂ 라고 가정합니다 . 각각의 초기 속도는 각각 u _{1 및} u ₂ 입니다. 최종 속도는 v ₁ 및 v ₂ 입니다.

이동이 x 축을 따라 수행되기 때문에 벡터 표기법 없이도 할 수 있지만 기호 (-) 및 (+)는 이동 방향을 나타냅니다. 규칙에 따라 왼쪽은 음수이고 오른쪽은 양수입니다.

-탄성 충돌 공식

움직임의 양

운동 에너지 용

질량과 초기 속도를 알고있는 한 방정식을 다시 그룹화하여 최종 속도를 찾을 수 있습니다.

문제는 원칙적으로 운동 에너지에 대한 방정식에 속도의 제곱이 포함되어있어 계산이 약간 번거롭기 때문에 약간의 지루한 대수를 수행해야한다는 것입니다. 이상적인 것은이를 포함하지 않는 표현을 찾는 것입니다.

첫 번째는 계수 ½을 생략하고 음의 부호가 나타나고 질량이 계수 될 수있는 방식으로 두 방정식을 다시 정렬하는 것입니다.

다음과 같이 표현됩니다.

속도의 제곱을 제거하기위한 단순화

이제 우리는 원래 의도 한대로 제곱을 포함하지 않는 표현식을 얻는 두 번째 방정식의 차이로 주목할만한 곱합을 사용해야합니다.

다음 단계는 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 대체하는 것입니다.

그리고 용어 m ₂ (v ₂ -u ₂ ) 가 평등의 양쪽에서 반복되기 때문에 상기 용어는 취소되고 다음과 같이 유지됩니다.

또는 더 나은 :

최종 속도 v

이제 작업하기 더 쉬운 두 개의 선형 방정식이 있습니다. 우리는 그것들을 다른 하나 아래에 다시 놓을 것입니다.

두 번째 방정식에 m _1을 곱하고 _{항에 항} 을 더하는 것은 다음과 같습니다.

그리고 이미 v ₂ 를 지울 수 있습니다 . 예를 들면 :

탄성 충돌의 특수한 경우

이제 두 입자의 최종 속도에 대한 방정식을 사용할 수 있으므로 몇 가지 특별한 상황을 분석 할 때입니다.

두 개의 동일한 질량

이 경우 m ₁ = m ₂ = my :

입자는 충돌 후 단순히 속도를 교환합니다.

두 개의 동일한 질량, 그중 하나는 처음에 휴지 상태였습니다.

다시 m ₁ = m ₂ = m이고 u ₁ = 0 이라고 가정합니다 .

충돌 후 정지 상태에 있던 입자는 이동중인 입자와 동일한 속도를 얻습니다.

두 개의 다른 질량, 그 중 하나는 처음에 휴식

이 경우 u ₁ = 0이지만 질량이 다르다고 가정합니다 .

m ₁ 이 m ₂ 보다 훨씬 크다면 어떨까요?

m _1은 여전히 휴식하고 m ₂ 는 영향을 준 것과 동일한 속도로 반환됩니다.

복원 계수 또는 Huygens-Newton 규칙

이전에는 탄성 충돌에서 두 물체에 대해 속도 간의 다음 관계가 도출되었습니다 : u ₁ -u ₂ = v ₂ -v ₁ . 이러한 차이는 충돌 전후의 상대 속도입니다. 일반적으로 충돌의 경우 다음 사항이 적용됩니다.

상대 속도의 개념은 독자가 그가 입자 중 하나에 있다고 상상하고이 위치에서 다른 입자가 움직이는 속도를 관찰 할 때 가장 잘 인식됩니다. 위의 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

해결 된 운동

-해결 운동 1

당구 공이 30cm / s로 왼쪽으로 이동하고 20cm / s로 오른쪽으로 이동하는 다른 동일한 공과 정면으로 충돌합니다. 두 개의 공은 같은 질량을 가지며 충돌은 완벽하게 탄력적입니다. 충격 후 각 공의 속도를 찾으십시오.

해결책

u ₁ = -30 cm / s

유 ₂ = + 20cm / s

두 개의 동일한 질량이 하나의 차원에서 탄 성적으로 충돌하여 속도가 교환되는 특별한 경우입니다.

v ₁ = + 20cm / 초

v ₂ = -30cm / s

-해결 된 운동 2

지면에서 튀어 나온 공의 회복 계수는 0.82입니다. 정지 상태에서 떨어지면 공이 한 번 튀어 나온 후 원래 높이의 몇 부분에 도달합니까? 그리고 3 리바운드 후?

공은 단단한 표면에서 튕겨 나가고 튕길 때마다 높이가 떨어집니다. 출처 : 자체 제작.

해결책

토양은 복원 계수 방정식에서 객체 1이 될 수 있습니다. 그리고 항상 휴식 상태로 유지되므로 다음을 수행 할 수 있습니다.

이 속도로 바운스 :

+ 기호는 상승 속도임을 나타냅니다. 그리고 그것에 따르면 공은 최대 높이에 도달합니다.

이제 같은 크기의 속도로 다시 지상으로 돌아 오지만 반대 부호는 다음과 같습니다.

이것은 다음의 최대 높이를 달성합니다.

다음과 같이 지상으로 돌아갑니다.

연속 반송

공이 튀어 올라올 때마다 속도에 0.82를 다시 곱합니다.

이 시점에서 h ₃ 은 h _o 의 약 30 %입니다 . 이전 계산과 같이 세부적으로 계산할 필요없이 6 번째 바운스까지의 높이는 얼마입니까?

그것은 h ₆ = 0.82 ¹² h _o = 0.092h _o o 단지 9 %의 h _o 입니다.

-해결 된 운동 3

300g 블록은 50cm / s로 북쪽으로 이동하고 100cm / s로 남쪽으로 향하는 200g 블록과 충돌합니다. 충격이 완벽하게 탄력적이라고 ​​가정합니다. 충격 후 속도를 찾으십시오.

데이터

m ₁ = 300g; 유 ₁ = + 50cm / s

m ₂ = 200g; u ₂ = -100cm / s

-해결 된 운동 4

m ₁ = 4 kg 의 질량이 정지 상태에서 m ₂ = 10 kg 과 충돌 할 때까지 마찰없는 트랙의 표시된 지점에서 방출됩니다 . 충돌 후 m ₁ 이 얼마나 높이 올라 갑니까?

해결책

마찰이 없기 때문에, 기계적 에너지가 U 속도 찾을 보존되어 ₁ 해요있는 ₁ 안타를 해요 _2. 초기 운동 에너지는 m부터 0, ₁ , 나머지에서 시작됩니다. 수평면에서 움직일 때 높이가 없으므로 위치 에너지는 0입니다.

이제 충돌 후 m ₁ 의 속도가 계산됩니다 .

음수 기호는 반환되었음을 의미합니다. 이 속도로 상승하고 기계적 에너지가 다시 보존되어 충돌 후 상승하는 높이 인 h '를 찾습니다.

8m 높이의 시작점으로 돌아 가지 않습니다. 질량 m ₁ 은 운동 에너지의 일부를 포기했기 때문에 에너지가 충분하지 않습니다 _.

참고 문헌

1. Giancoli, D. 2006. Physics : Principles with Applications. 6 ^일 . 에드 프렌 티스 홀. 175-181
2. Rex, A. 2011. 물리학의 기초. 피어슨. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. 물리학의 기초. 9 해당 ^없음 Cengage 학습. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5th Ed. Volume 1. 편집 복귀. 217-238
5. Tippens, P. 2011. 물리학 : 개념 및 응용. 7 판. 맥그로 힐. 185-195