원통 좌표 φ 방위각 좌표 및 Z 좌표, 높이, 반경 ρ 좌표의 3 차원 점의 위치 및 구성하기 위해 사용된다.
공간에 위치한 점 P는 XY 평면에 직각으로 투영되어 해당 평면에서 점 P '가됩니다. 원점에서 점 P까지의 거리는 좌표 ρ를 정의하고 X 축이 광선 OP와 이루는 각도 '는 좌표 φ를 정의합니다. 마지막으로, z 좌표는 Z 축에서 점 P의 직교 투영입니다. (그림 1 참조).
그림 1. 원통형 좌표 (ρ, φ, z)의 점 P. (자신의 정교함)
방사형 좌표 ρ는 항상 양수이고 방위각 좌표 φ는 0 라디안에서 2 파이 라디안까지 다양하지만 z 좌표는 실제 값을 취할 수 있습니다.
0 ≤ ρ <∞
0 ≤ φ <2π
-∞ <z <+ ∞
좌표 변경
원통형 좌표 (ρ, φ, z)에서 점 P의 데카르트 좌표 (x, y, z)를 얻는 것은 비교적 쉽습니다.
x = ρ cos (φ)
y = ρ sin (φ)
z = z
그러나 점 P의 데카르트 좌표 (x, y, z)에 대한 지식에서 시작하여 극좌표 (ρ, φ, z)를 얻을 수도 있습니다.
ρ = √ (x 2 + y 2 )
φ = 아크 탄 (y / x)
z = z
원통형 좌표의 벡터베이스
원통형 단위 벡터 Uρ , Uφ , Uz 의베이스 가 정의됩니다 .
벡터 Uρ 는 선 φ = ctte 및 z = ctte (방사형 바깥 쪽을 향함 )에 접하고 , 벡터 Uφ 는 선 ρ = ctte 및 z = ctte에 접하고 마지막으로 Uz 는 Z 축의 동일한 방향을 갖습니다.
그림 2. 원통형 좌표 기반. (위키 미디어 커먼즈)
원통형 단위베이스에서 점 P 의 위치 벡터 r 은 다음과 같이 벡터로 작성됩니다.
r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz
반면에 점 P로부터 의 극소 변위 d r 은 다음과 같이 표현됩니다.
d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz
마찬가지로 원통형 좌표에서 부피 dV의 극소 요소는 다음과 같습니다.
dV = ρ dρ dφ dz
예
원통형 좌표의 사용 및 적용에 대한 수많은 예가 있습니다. 예를 들어지도 제작에서는 이러한 좌표를 정확하게 기반으로 원통형 투영이 사용됩니다. 더 많은 예가 있습니다.
예 1
원통형 좌표는 기술에 적용됩니다. 예를 들어, 실제로 여러 디스크로 구성된 하드 디스크에서 데이터를 찾기위한 CHS (Cylinder-Head-Sector) 시스템이 있습니다.
-실린더 또는 트랙은 좌표 ρ에 해당합니다.
-섹터는 높은 각속도로 회전하는 디스크의 위치 φ에 해당합니다.
-헤드는 해당 디스크에서 판독 헤드의 z 위치에 해당합니다.
정보의 각 바이트에는 원통형 좌표 (C, S, H)의 정확한 주소가 있습니다.
그림 2. 하드 디스크 시스템에서 원통형 좌표의 정보 위치. (위키 미디어 커먼즈)
예 2
건설 크레인은 원통형 좌표에서 하중의 위치를 고정합니다. 수평 위치는 크레인의 축 또는 화살표 ρ까지의 거리와 일부 기준 축에 대한 각도 위치 φ로 정의됩니다. 하중의 수직 위치는 높이의 z 좌표에 의해 결정됩니다.
그림 3. 건설 크레인의 하중 위치는 원통형 좌표로 쉽게 표현할 수 있습니다. (이미지 pixabay-주석 R. Pérez)
해결 된 운동
연습 1
원통형 좌표 (3, 120º, -4)를 갖는 점 P1과 원통형 좌표 (2, 90º, 5)를 갖는 점 P2가 있습니다. 이 두 점 사이의 유클리드 거리를 찾으십시오.
솔루션 : 먼저 위에 주어진 공식에 따라 각 점의 데카르트 좌표를 찾습니다.
P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)
P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)
P1과 P2 사이의 유클리드 거리는 다음과 같습니다.
d (P1, P2) = √ ((0-(-1.5)) 2 + (2-2.60) 2 + (5-(-4)) 2 ) =…
… √ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14
연습 2
점 P에는 데카르트 좌표 (-3, 4, 2)가 있습니다. 해당 원통형 좌표를 찾으십시오.
솔루션 : 위에 주어진 관계를 사용하여 원통형 좌표를 찾습니다.
ρ = √ (X 2 + Y (2) ) = √ ((- 3) 2 + 4 (2) ) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5
φ = 아크 탄 (y / x) = 아크 탄 (4 / (-3)) = -53.13º + 180º = 126.87º
z = 2
아크 탄젠트 함수는 180º 주기성을 갖는 다중 값이라는 것을 기억해야합니다. 또한 각도 φ는 점 P의 x 및 y 좌표가 해당 사분면에 있기 때문에 두 번째 사분면에 속해야합니다. 이것이 결과 φ에 180º가 추가 된 이유입니다.
연습 3
원통 좌표와 직교 좌표로 반경이 2이고 축이 Z 축과 일치하는 원통의 표면을 표현합니다.
솔루션 : 원통은 z 방향으로 무한 확장되므로 원통 좌표에서 표면의 방정식은 다음과 같습니다.
ρ = 2
원통형 표면의 데카르트 방정식을 얻기 위해 이전 방정식의 두 멤버의 제곱이 사용됩니다.
ρ 2 = 4
이전 등식의 두 멤버에 1을 곱하고 기본 삼각 항등식을 적용합니다 (sin 2 (φ) + cos 2 (φ) = 1).
1 * ρ 2 = 1 * 4
(sin 2 (φ) + cos 2 (φ)) * ρ 2 = 1 * 4
괄호는 다음을 얻기 위해 개발되었습니다.
(ρ sin (φ)) 2 + (ρ cos (φ)) 2 = 4
첫 번째 괄호 (ρ sin (φ))는 극좌표에있는 점의 y 좌표이고 괄호 (ρ cos (φ))는 x 좌표를 나타내므로 좌표에 실린더 방정식이 있습니다. 데카르:
y 2 + x 2 = 2 2
위의 방정식을 XY 평면의 원주와 혼동해서는 안됩니다.이 경우 다음과 같기 때문입니다. {y 2 + x 2 = 2 2 ; z = 0}.
연습 4
반지름 R = 1m이고 높이 H = 1m 인 원통은 다음 방정식에 따라 방사형으로 분포 된 질량을 갖습니다. D (ρ) = C (1-ρ / R) 여기서 C는 값 C = 1kg / m 3 의 상수입니다. . 실린더의 총 질량을 킬로그램 단위로 구하십시오.
솔루션 : 첫 번째는 함수 D (ρ)가 부피 질량 밀도를 나타내고 질량 밀도가 중심에서 주변으로 밀도가 감소하는 원통형 쉘에 분포되어 있음을 인식하는 것입니다. 문제의 대칭에 따른 부피의 극소 요소는 다음과 같습니다.
dV = ρ dρ 2π H
따라서 원통형 쉘의 극소 질량은 다음과 같습니다.
dM = D (ρ) dV
따라서 실린더의 총 질량은 다음과 같은 정적분으로 표현됩니다.
M = ∫ 또는 R D (ρ) dV = ∫ 또는 R C (1-ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ 또는 R (1-ρ / R) ρ dρ
표시된 적분의 솔루션은 얻기 어렵지 않으며 그 결과는 다음과 같습니다.
∫ 또는 R (1-ρ / R) ρ dρ = (⅙) R 2
이 결과를 실린더의 질량 표현에 통합하여 다음을 얻습니다.
M = 2π HC (⅙) R 2 = ⅓ π HCR 2 =
⅓ π 1m * 1kg / m 3 * 1m 2 = π / 3kg ≈ 1.05kg
참고 문헌
- Arfken G 및 Weber H. (2012). 물리학자를위한 수학적 방법. 포괄적 인 가이드. 7 판. 학술 보도. ISBN 978-0-12-384654-9
- 계산 cc. 원통형 및 구형 좌표 문제를 해결했습니다. 출처 : calculo.cc
- Weisstein, Eric W. "원통 좌표". MathWorld에서 – Wolfram 웹. 출처 : mathworld.wolfram.com
- 위키 백과. 원통형 좌표계. 출처 : en.wikipedia.com
- 위키 백과. 원통형 및 구형 좌표의 벡터 필드. 출처 : en.wikipedia.com