조립 제법은 C - 다항식 P (x)는 D 형 (X) = X 중 어느 하나를 분할하는 간단한 방법이다. 예를 들어, 다항식 P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1)은 두 개의 가장 단순한 다항식 (x + 1)과 (x 4 + 2x 3 )의 곱셈으로 나타낼 수 있습니다. ).
다항식을 나눌 수있을뿐만 아니라 임의의 숫자 c에서 다항식 P (x)를 평가할 수 있기 때문에 매우 유용한 도구입니다. 이는 해당 숫자가 다항식의 0인지 여부를 정확하게 알려줍니다.
나눗셈 알고리즘 덕분에 두 개의 상수가 아닌 다항식 P (x)와 d (x)가있는 경우 고유 한 다항식 q (x)와 r (x)가 있으므로 P (x) = q (x) d (x) + r (x), 여기서 r (x)는 0이거나 q (x)보다 작습니다. 이러한 다항식은 각각 몫 및 나머지 또는 나머지로 알려져 있습니다.
다항식 d (x)가 x-c 형식 인 경우 합성 분할은 q (x)와 r (x)가 누구인지를 찾는 짧은 방법을 제공합니다.
합성 분할 방법
P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 우리가 나누고 자하는 다항식이고 d (x) = xc 제수라고합시다. 합성 분할 방법으로 나누기 위해 다음과 같이 진행합니다.
1- 우리는 첫 번째 행에 P (x)의 계수를 씁니다. X의 거듭 제곱이 나타나지 않으면 계수로 0을 넣습니다.
2- 두 번째 행에서 a n 의 왼쪽에 c를 배치하고 다음 그림과 같이 분할 선을 그립니다.
3- 우리는 선행 계수를 세 번째 행으로 낮 춥니 다.
이 식에서 b n-1 = a n
4- 우리는 c에 선행 계수 b n-1을 곱하고 결과를 두 번째 행에 기록하지만 오른쪽에 한 열을 씁니다.
5- 이전 결과를 쓰는 열을 추가하고 그 합계 아래에 결과를 배치합니다. 즉, 동일한 열, 세 번째 행에 있습니다.
더할 때 결과적으로 n-1 + c * b n-1 을 얻습니다. 편의상 b n-2 라고 부릅니다.
6- c에 이전 결과를 곱하고 결과를 두 번째 행의 오른쪽에 씁니다.
7- 계수 0에 도달 할 때까지 5 단계와 6 단계를 반복합니다 .
8- 우리는 답을 씁니다. 즉, 몫과 나머지입니다. n 차 다항식을 1 차 다항식으로 나누기 때문에 몫은 차수 n-1이 될 것입니다.
몫 다항식의 계수는 나머지 다항식 또는 나눗셈의 나머지가 될 마지막 하나를 제외하고 세 번째 행의 숫자입니다.
해결 된 운동
-예 1
합성 분할 방법으로 다음 분할을 수행하십시오.
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) : (x + 1).
해결책
먼저 배당 계수를 다음과 같이 씁니다.
그런 다음 분할 선과 함께 두 번째 행의 왼쪽에 c를 씁니다. 이 예에서 c = -1.
선행 계수 (이 경우 b n-1 = 1)를 낮추고 -1을 곱합니다.
다음과 같이 두 번째 행의 오른쪽에 결과를 씁니다.
두 번째 열에 숫자를 추가합니다.
2에 -1을 곱하고 결과를 세 번째 열, 두 번째 행에 씁니다.
세 번째 열에 추가합니다.
마지막 열에 도달 할 때까지 같은 방식으로 진행합니다.
따라서 얻은 마지막 숫자는 나눗셈의 나머지이고 나머지 숫자는 몫 다항식의 계수입니다. 이것은 다음과 같이 작성됩니다.
결과가 올바른지 확인하려면 다음 방정식이 참인지 확인하는 것으로 충분합니다.
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
따라서 얻은 결과가 올바른지 확인할 수 있습니다.
-예 2
합성 나누기 방법으로 다항식을 다음과 같이 나누십시오.
(7x 3 -x + 2) : (x + 2)
해결책
이 경우 x 2 라는 항이 나타나지 않으므로 계수로 0을 씁니다. 따라서 다항식은 7x 3 + 0x 2 -x + 2가됩니다.
계수를 연속으로 작성합니다.
두 번째 행의 왼쪽에 C = -2 값을 쓰고 분할 선을 그립니다.
선행 계수 b n-1 = 7을 낮추고 -2를 곱하여 그 결과를 오른쪽의 두 번째 행에 씁니다.
마지막 학기에 도달 할 때까지 이전에 설명한대로 추가하고 진행합니다.
이 경우 나머지는 r (x) =-52이고 얻은 몫은 q (x) = 7x 2 -14x + 27입니다.
-예 3
합성 분할을 사용하는 또 다른 방법은 다음과 같습니다. n 차 다항식 P (x)가 있고 x = c에서 평가하여 값이 무엇인지 알고 싶다고 가정합니다.
나눗셈 알고리즘을 통해 다음과 같은 방식으로 다항식 P (x)를 작성할 수 있습니다.
이 식에서 q (x)와 r (x)는 각각 몫과 나머지입니다. 이제 d (x) = x- c이면 다항식에서 c를 평가할 때 다음을 얻습니다.
따라서 ar (x)를 찾는 것만 남아 있으며 합성 분할 덕분에 이것을 할 수 있습니다.
예를 들어, 다항식 P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37이 있고 x = 5에서 평가하여 그 값이 무엇인지 알고 싶습니다. 이렇게하려면 다음을 수행합니다. 합성 분할 방법에 의한 P (x)와 d (x) = x -5 나누기 :
작업이 완료되면 다음과 같은 방식으로 P (x)를 작성할 수 있습니다.
P (x) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
따라서이를 평가할 때 다음을 수행해야합니다.
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
피 (5) = 0 + 4253 = 4253
우리가 볼 수 있듯이 단순히 c를 x로 대체하는 대신 c에서 평가함으로써 다항식의 값을 찾기 위해 합성 나누기를 사용할 수 있습니다.
기존 방식으로 P (5)를 평가하려고하면 종종 지루 해지는 몇 가지 계산을 수행해야합니다.
-예제 4
다항식의 나눗셈 알고리즘은 계수가 복잡한 다항식에도 적용되며 결과적으로 합성 나눗셈 방법이 이러한 다항식에도 적용됩니다. 아래에 예가 나와 있습니다.
합성 나눗셈 방법을 사용하여 z = 1+ 2i가 다항식 P (x) = x 3 + (1 + i) x 2- (1 + 2i) x + (15 + 5i) 의 0임을 보여줍니다 . 즉, 나눗셈 P (x)를 d (x) = x-z로 나눈 나머지는 0과 같습니다.
우리는 이전과 같이 진행합니다 : 첫 번째 행에서 P (x)의 계수를 쓴 다음 두 번째 행에서 z를 쓰고 분할 선을 그립니다.
우리는 이전과 같이 분할을 수행합니다. 이것은:
나머지는 0이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 z = 1+ 2i가 P (x)의 0이라는 결론을 내립니다.
참고 문헌
- 발 도르 아우렐리오. 대수학 Grupo 에디토리얼 Patria.
- 데 마나, 웨이츠, 폴리 & 케네디. Precalculus : Graphical, Numerical, Algebraic 7th Ed. Pearson Education.
- Flemming W & Varserg D. 분석 기하학을 사용한 대수 및 삼각법. 프렌 티스 홀
- 마이클 설리반. Precalculus 4th Ed. 피어슨 교육.
- 빨간. 아르만도 O. 대수 1 6 Ed. The Athenaeum.