이 행렬에 전치를 곱한 결과 단위 행렬이 생성 되면 직교 행렬 이 있습니다 . 행렬의 역이 전치와 같으면 원래 행렬은 직교합니다.
직교 행렬은 행 수가 열 수와 같다는 특징이 있습니다. 또한 행 벡터는 단위 직교 벡터이고 전치 행 벡터도 있습니다.
그림 1. 직교 행렬의 예와 기하학적 객체를 변환하는 방법. (리카르도 페레즈 작성)
직교 행렬에 벡터 공간의 벡터가 곱해지면 등각 변환, 즉 거리를 변경하지 않고 각도를 유지하는 변환이 생성됩니다.
직교 행렬의 대표적인 대표는 회전 행렬입니다. 벡터 공간에서 직교 행렬의 변환을 직교 변환이라고합니다.
직교 벡터로 표현되는 점의 회전 및 반사의 기하학적 변환은 변환 된 벡터의 좌표를 얻기 위해 원래 벡터에 직교 행렬을 적용하여 수행됩니다. 이러한 이유로 직교 행렬이 컴퓨터 그래픽 처리에 널리 사용됩니다.
속성
행렬 M 은 전치 M T를 곱하여 결과적으로 단위 행렬 I을 제공 하는 경우 직교합니다 . 유사하게, 원래 행렬에 의한 직교 행렬의 전치의 곱은 단위 행렬이됩니다.
MM T = M T M = 나
이전 진술의 결과로 직교 행렬의 전치가 역행렬과 동일하다는 것을 알 수 있습니다.
M T = M -1 .
차원 nxn의 직교 행렬 집합은 직교 그룹 O (n)를 형성합니다. 그리고 행렬식이 +1 인 직교 행렬의 O (n) 부분 집합은 단일 특수 행렬 SU (n) 그룹을 형성합니다. 그룹 SU (n)의 행렬은 회전 그룹이라고도하는 회전의 선형 변환을 생성하는 행렬입니다.
데모
행 벡터 (또는 열 벡터)가 서로 직교하고 노름 1 인 경우에만 행렬이 직교 함을 보여주고 싶습니다.
직교 행렬 nxn의 행이 차원 n의 n 개의 직교 벡터라고 가정합니다. 그것은로 표시되는 경우 V 1 , V 2 ., …, V , N 은 n 벡터에 보유는 :
실제로 행 벡터 세트가 표준 1을 갖는 직교 벡터 세트라는 것이 분명합니다.
예
예 1
첫 번째 행에 벡터 v1 = (-1 0)이 있고 두 번째 행에 벡터 v2 = (0 1)이 직교 행렬 인 2 x 2 행렬을 보여줍니다 .
솔루션 : 행렬 M 이 구성 되고 전치 M T 가 계산됩니다 .
이 예에서 행렬 M 은 자체 전치입니다. 즉, 행렬과 전치가 동일합니다. M 에 전치 M T를 곱하십시오 .
는 것이 확인된다 MM T는 단위 행렬과 동일하다 :
행렬 M 에 벡터 또는 점의 좌표를 곱 하면 행렬 이 벡터 또는 점에서 수행하는 변환에 해당하는 새로운 좌표가 얻어집니다.
그림 1은 M 이 벡터 u 를 u ' 로 변환하는 방법과 M 이 파란색 다각형을 빨간색 다각형으로 변환하는 방법을 보여줍니다 . M 은 직교 이므로 거리와 각도를 유지하는 직교 변환입니다.
예 2
다음 식으로 주어진 실수로 정의 된 2 x 2 행렬이 있다고 가정합니다.
행렬 M 이 직교 행렬이되도록 a, b, c 및 d의 실수 값을 찾습니다 .
솔루션 : 정의에 따라, 행렬은 전치로 곱하면 단위 행렬이 구해지면 직교합니다. 전치 행렬이 원래 행에서 열로 교환되어 얻은 것을 기억하면 다음과 같은 동등성이 얻어집니다.
행렬 곱셈을 수행하면 다음이 있습니다.
왼쪽 행렬의 요소를 오른쪽에있는 단위 행렬의 요소와 동일시하여 4 개의 미지수 a, b, c 및 d를 갖는 4 개의 방정식 시스템을 얻습니다.
a, b, c 및 d에 대해 삼각비 사인 및 코사인 측면에서 다음 식을 제안합니다.
이 제안과 기본적인 삼각 동일성으로 인해 첫 번째 및 세 번째 방정식은 행렬 요소의 동일성에서 자동으로 충족됩니다. 세 번째와 네 번째 방정식은 제안 된 값을 대체 한 후 동일하며 행렬이 같음은 다음과 같습니다.
이는 다음과 같은 솔루션으로 이어집니다.
마지막으로 직교 행렬 M에 대해 다음 솔루션을 얻습니다.
첫 번째 솔루션은 행렬식 +1을 가지므로 SU (2) 그룹에 속하고 두 번째 솔루션에는 행렬식 -1이 있으므로이 그룹에 속하지 않습니다.
예제 3
다음 행렬이 주어지면 a와 b의 값을 찾아서 직교 행렬을 얻습니다.
솔루션 : 주어진 행렬이 직교가 되려면 전치가있는 곱이 단위 행렬이어야합니다. 그런 다음 전치 행렬이있는 주어진 행렬의 행렬 곱이 수행되어 다음 결과를 제공합니다.
다음으로 결과는 3 x 3 단위 행렬과 동일합니다.
두 번째 행에서 세 번째 열은 (ab = 0)이지만 a는 0이 될 수 없습니다. 그렇지 않으면 두 번째 행과 두 번째 열의 요소가 동일하지 않기 때문입니다. 그렇다면 반드시 b = 0입니다. 값 0을 b로 대체하면 다음과 같습니다.
그런 다음 방정식이 풀립니다 : 2a ^ 2 = 1, 그 해는 + ½√2 및 -½√2입니다.
a에 대한 양의 해를 취하면 다음과 같은 직교 행렬이 얻어집니다.
판독기는 행 벡터 (및 열 벡터)가 직교하고 단일인지, 즉 직교하는지 쉽게 확인할 수 있습니다.
예 4
매트릭스 것을 확인 그 행 벡터이다 V1 = (0, -1 0) , V2 = (1, 0, 0) 및 V3 = (-1 0 0) 직교 행렬이다. 또한 벡터가 표준 기저 i, j, k 에서 u1 , u2 및 u3 벡터로 변환됩니다 .
솔루션 : 행렬의 요소 (i, j)에 전치를 곱하면 행 (i)의 벡터와 전치의 열 (j)의 벡터의 스칼라 곱이라는 점을 기억해야합니다. 또한이 곱은 행렬이 직교하는 경우 Kronecker 델타와 같습니다.
우리의 경우는 다음과 같습니다.
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
그것이 직교 행렬임을 보여줍니다.
또한 u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) 그리고 마지막으로 u3 = A k = (0, 0, -1)
참고 문헌
- Anthony Nicolaides (1994) 결정 인자 및 행렬. 간행물을 전달하십시오.
- Birkhoff 및 MacLane. (1980). Modern Algebra, 편집. Vicens-Vives, 마드리드.
- Casteleiro Villalba M. (2004) 선형 대수 입문. ESIC 편집.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. 하이네 만.
- Jenny Olive (1998) Maths : A Student 's Survival Guide. 캠브리지 대학 출판부.
- Richard J. Brown (2012) 30 초 수학 : 수학에서 가장 마음을 넓히는 50 가지 이론. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. 직교 행렬. 출처 : es.wikipedia.com
- Wikipedia. 직교 행렬. 출처 : en.wikipedia.com