평면 포인트는 모두 같은 평면에 속한다. 두 점은 무한 평면이 통과하는 선을 정의하므로 항상 동일 평면 상에 있습니다. 그러면 두 점 모두 선을 통과하는 각 평면에 속하므로 항상 동일 평면 상에 있습니다.
반면에 세 점은 단일 평면을 정의하며, 그로부터 세 점은 항상 결정하는 평면과 동일 평면에 있습니다.
그림 1. A, B, C 및 D는 (Ω) 평면과 동일 평면 상에 있습니다. E, F 및 G는 (Ω)에 대해 동일 평면에 있지 않지만 정의하는 평면에 동일 평면에 있습니다. 출처 : F. Zapata.
3 개 이상의 점은 동일 평면 상에 있거나 없을 수 있습니다. 예를 들어 그림 1에서 점 A, B, C 및 D는 평면 (Ω)과 동일 평면 상에 있습니다. 그러나 E, F 및 G는 정의하는 평면과 동일 평면에 있지만 (Ω)과 동일 평면에 있지 않습니다.
세 점이 주어진 평면의 방정식
세 개의 알려진 점 A, B, C에 의해 결정되는 평면의 방정식은 방정식을 충족하는 일반 좌표 (x, y, z)를 가진 모든 점 P가 해당 평면에 속함을 보장하는 수학적 관계입니다.
앞의 문장은 좌표 (x, y, z)의 P가 평면의 방정식을 충족하면 해당 점이 평면을 결정한 세 점 A, B, C와 동일 평면 상에 있다고 말하는 것과 동일합니다.
이 평면의 방정식을 찾기 위해 AB 와 AC 벡터를 찾는 것으로 시작하겠습니다 .
AB =
AC =
벡터 곱 AB X AC 는 점 A, B, C에 의해 결정되는 평면에 수직이거나 수직 인 벡터를 생성합니다.
좌표 (x, y, z)가있는 모든 점 P는 벡터 AP 가 벡터 AB X AC에 수직 이면 평면에 속하며 다음과 같은 경우 보장됩니다.
AP • (AB X AC) = 0
이의 트리플 제품 말하는에 해당 AP , AB, 그리고 AC가 제로이다. 위의 방정식은 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다.
예
점 A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) 및 D (a, 0, 1). 네 점이 동일 평면에 있으려면 a에 어떤 값이 있어야합니까?
해결책
a의 값을 찾으려면 점 D는 A, B 및 C에 의해 결정되는 평면의 일부 여야하며, 이는 평면 방정식을 충족하면 보장됩니다.
결정 인자 개발 :
이전 방정식은 동등성이 충족 될 때 a = -1임을 알려줍니다. 즉, 점 D (a, 0,1)가 점 A, B 및 C와 동일 평면 상에있는 유일한 방법은 a가 -1이되는 것입니다. 그렇지 않으면 동일 평면에 있지 않습니다.
해결 된 운동
- 연습 1
평면은 각각 1, 2, 3에서 데카르트 축 X, Y, Z와 교차합니다. 이 평면과 축의 교차점은 점 A, B 및 C를 결정합니다. 데카르트 성분이 다음과 같은 점 D의 성분 Dz를 찾습니다.
D가 점 A, B 및 C와 동일 평면 상에있는 경우.
해결책
데카르트 축이있는 평면의 절편이 알려진 경우 평면 방정식의 세그먼트 형식을 사용할 수 있습니다.
x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1
점 D는 이전 평면에 속해야하므로 다음을 수행해야합니다.
-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1
즉 말하자면:
-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1
Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½
Dz (-1 / 6⅙) = ½
Dz = -3
위에서부터 점 D (3, -2, -3)는 점 A (1, 0, 0)와 동일 평면 상에 있습니다. B (0, 2, 0) 및 C (0, 0, 3).
-연습 2
점 A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) 및 D (2, 3, 1)는 동일 평면 상에 있습니다.
해결책
행이 DA, BA 및 CA의 좌표 인 행렬을 형성합니다. 그런 다음 결정자가 계산되고 0인지 여부가 확인됩니다.
모든 계산을 수행 한 후 동일 평면 상에 있다고 결론지었습니다.
-운동 3
공간에는 두 줄이 있습니다. 그중 하나는 파라 메트릭 방정식이 다음과 같은 선 (R)입니다.
그리고 다른 하나는 방정식이 다음과 같은 선 (S)입니다.
(R)과 (S)가 동일 평면에있는 선, 즉 동일한 평면에 있음을 보여줍니다.
해결책
선 (R)의 두 점과 선 (S)의 두 점을 임의로 취하는 것으로 시작하겠습니다.
선 (R) : λ = 0; A (1, 1, 1) 및 λ = 1; B (3, 0, 1)
라인에서 x = 0으로하자 (S) => y = ½; C (0, ½, -1). 반면에 우리가 y = 0 => x = 1로 만들면; D (1, 0, -1).
즉, 선 (R)에 속하는 점 A와 B와 선 (S)에 속하는 점 C와 D를 취했습니다. 이러한 점이 동일 평면에 있으면 두 선도 마찬가지입니다.
이제 우리는 피벗으로 점 A를 선택한 다음 벡터 AB , AC 및 AD 의 좌표를 찾습니다 . 이러한 방식으로 다음을 얻을 수 있습니다.
B-A : (3-1, 0 -1, 1-1) => AB = (2, -1, 0)
C-A : (0-1, 1/2 -1, -1-1) => AC = (-1, -1/2, -2)
D-A : (1-1, 0 -1, -1-1) => AD = (0, -1, -2)
다음 단계는 첫 번째 행이 벡터 AB 의 계수이고 두 번째 행이 AC 의 계수이고 세 번째 행이 벡터 AD 의 계수 인 행렬식을 구성하고 계산 하는 것입니다 .
행렬식이 null로 판명되었으므로 4 개의 점이 동일 평면 상에 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 또한 선 (R)과 (S)도 동일 평면에 있다고 말할 수 있습니다.
-운동 4
선 (R)과 (S)는 연습 3에서 설명한 것처럼 동일 평면에 있습니다. 선이 포함 된 평면의 방정식을 찾으십시오.
해결책
점 A, B, C는 해당 평면을 완전히 정의하지만 좌표 (x, y, z)의 모든 점 X가 해당 평면에 속하도록 부과하려고합니다.
X가 A, B, C에 의해 정의되고 선 (R) 및 (S)가 포함 된 평면 에 속하려면 두 번째 행의 AX 구성 요소에 의해 첫 번째 행에 형성된 행렬식이 필요합니다. AB에 의해 그리고 세 번째에 AC에 의해 :
이 결과에 따라 다음과 같이 그룹화합니다.
2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0
그리고 즉시 다음과 같이 다시 작성할 수 있음을 알 수 있습니다.
x-1 + 2y-2-z + 1 = 0
따라서 x + 2y-z = 2는 선 (R)과 (S)를 포함하는 평면의 방정식입니다.
참고 문헌
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