리만 합은 용어의 유한 수로 이산 합산 의해 정적분의 근사 계산에 주어진 이름이다. 일반적인 응용 프로그램은 그래프에서 함수 영역의 근사치입니다.
주어진 간격에서 함수의 적분에 대한 엄격한 정의를 처음 제시 한 사람은 독일의 수학자 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)이었습니다. 그는 1854 년에 출판 된 기사에서 그 사실을 알 렸습니다.
그림 1. 리만 합계는 함수 f와 구간의 파티션에 정의됩니다. 출처 : Fanny Zapata.
리만 합은 함수 y = f (x)에서 정의되며 x는 닫힌 구간에 속합니다. 이 간격에서 n 요소의 파티션 P가 만들어집니다.
P = {X 0 = A, X 1 , X 2 , …, X N = B}
이는 간격이 다음과 같이 나뉩니다.
x k-1 ≤ t k ≤ x k
그림 1은 4 개의 하위 구간 인 회색 직사각형의 분할 구간에서 함수 f의 리만 합을 그래픽으로 보여줍니다.
합계는 직사각형의 총 면적을 나타내며이 합계의 결과는 횡좌표 x = x 0 및 x = x 4 사이의 곡선 f 아래 면적에 수치 적으로 근사합니다 .
물론, 곡선 아래 영역에 대한 근사치는 파티션 수가 n 개가 클수록 크게 향상됩니다. 이런 식으로 분할 개수 n이 무한대가되는 경향이있는 곡선 아래 영역으로 합이 수렴됩니다.
공식 및 속성
파티션에 대한 함수 f (x)의 리만 합 :
P = {X 0 = A, X 1 , X 2 , …, X N = B}
간격에 대해 정의되며 다음과 같이 지정됩니다.
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k -x k-1 )
여기서 t k 는 간격의 값입니다. Riemann 합계에서 너비 Δx = (b-a) / n의 규칙적인 간격이 일반적으로 사용됩니다. 여기서 a와 b는 가로 좌표의 최소값과 최대 값이고 n은 세분화의 수입니다.
이 경우 Riemann 오른쪽 합은 다음과 같습니다.
Sd (f, n) = * Δx
그림 2. Riemann 오른쪽 합. 출처 : Wikimedia Commons. 09 글래스고
Riemann 왼쪽 합계는 다음과 같이 표현됩니다.
If (f, n) = * Δx
그림 3. 왼쪽 리만 합계. 출처 : Wikimedia Commons. 09 글래스고 09
마지막으로 중앙 리만 합계는 다음과 같습니다.
Original text
Sc (f, n) = * Δx
그림 4. 중간 Riemann 합계. 출처 : Wikimedia Commons. 09 글래스고 09
구간에서 점 t k 가있는 위치 에 따라 Riemann 합계는 함수 y = f (x)의 곡선 아래 영역의 정확한 값을 과대 평가하거나 과소 평가할 수 있습니다. 즉, 직사각형은 곡선에서 돌출되거나 약간 아래에있을 수 있습니다.
곡선 아래 영역
리만 합의 주요 속성과 그 중요성이 파생되는 것은 세분화 수가 무한대가되는 경향이있는 경우 합의 결과가 함수의 명확한 적분으로 수렴된다는 것입니다.
해결 된 운동
- 연습 1
함수의 a = -2에서 b = +2 사이의 정적분 값을 계산합니다.
에프 (x) = x 2
Riemann 합계를 사용하십시오. 이렇게하려면 먼저 간격의 n 개의 일반 분할에 대한 합계를 찾은 다음 분할 수가 무한대가되는 경우에 대한 수학적 한계를 취합니다.
해결책
따라야 할 단계는 다음과 같습니다.
-첫째, 파티션 간격은 다음과 같이 정의됩니다.
Δx = (b-a) / n.
-그런 다음 함수 f (x)에 해당하는 오른쪽의 Riemann 합계는 다음과 같습니다.
-그리고 합산에서 신중하게 대체됩니다.
-다음 단계는 합계를 분리하고 각 합계의 공통 요소로 일정한 양을 취하는 것입니다. 인덱스가 i라는 것을 고려할 필요가 있으므로 n을 가진 숫자와 항은 상수로 간주됩니다.
-각각에 대해 적절한 표현이 있기 때문에 각 합계가 평가됩니다. 예를 들어 첫 번째 합계는 n을 제공합니다.
-마지막으로 계산할 적분은 다음과 같습니다.
독자는 이것이 정확한 결과인지 확인할 수 있으며, 이는 부정적분을 풀고 Barrow의 규칙에 따라 적분 한계를 평가하여 얻을 수 있습니다.
-연습 2
기능 아래 영역을 대략적으로 결정하십시오.
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x 2 / 2)
10 개의 분할이있는 중앙 리만 합을 사용하여 x = -1 및 x = + 1을 입력합니다. 정확한 결과와 비교하고 백분율 차이를 추정하십시오.
해결책
두 개의 연속 이산 값 사이의 단계 또는 증분은 다음과 같습니다.
Δx = (1-(-1) / 10 = 0.2
따라서 사각형이 정의 된 파티션 P는 다음과 같습니다.
P = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}
그러나 원하는 것은 중심 합계이기 때문에 함수 f (x)는 하위 구간의 중간 지점, 즉 집합에서 평가됩니다.
T = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}.
(중앙) 리만 합계는 다음과 같습니다.
S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 +… + f (0.7) * 0.2 + f (0.9) * 0.2
함수 f는 대칭이므로 합계를 5 개 항으로 만 줄일 수 있으며 결과에 2를 곱할 수 있습니다.
S = 2 * 0.2 * {f (0.1) + f (0.3) + f (0.5) + f (0.7) + f (0.9)}
S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683
이 예에서 주어진 함수는 다름 아닌 잘 알려진 가우스 벨 (평균이 0이고 표준 편차가 1 인 정규화)입니다. 이 함수의 구간에서 곡선 아래 면적은 0.6827로 알려져 있습니다.
그림 5. 리만 합으로 근사한 가우스 종 아래 영역. 출처 : F. Zapata.
즉, 10 개 항만있는 근사 솔루션이 정확한 솔루션과 소수점 세 자리까지 일치 함을 의미합니다. 근사 적분과 정확한 적분 사이의 백분율 오류는 0.07 %입니다.
참고 문헌
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). 적분 미적분 (Illustrated ed.). 마드리드 : ESIC Editorial.
- 유니 칸. 적분 개념의 역사. 복구 위치 : repositorio.unican.es
- UIS. Riemann 합계. 출처 : matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. 리만 합계. 출처 : es.wikipedia.com
- Wikipedia. Riemann 통합. 출처 : es.wikipedia.com