합계 망원경은 분기 운영 수치 시리즈입니다. 인수가 다음 패턴 중 하나를 따르는 표현식의 초기 값에서 "n"까지 요소의 합계를 다룹니다.
(F x -F x + 1 ); (F x + 1 -F x )
또한 :
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그것들은 개발 될 때 반대 용어가 취소되는 요소들의 요약을 나타냅니다. 텔레스코픽 합계에 대해 다음과 같은 동등성을 정의 할 수 있습니다.
그 이름은 접히거나 펼칠 수있는 고전적인 망원경의 외양과의 관계에서 비롯되었으며 특히 치수가 변경되었습니다. 같은 방식으로, 본질적으로 무한한 텔레스코픽 요약은 단순화 된 표현으로 요약 될 수 있습니다.
F 1 -F n + 1
데모
용어의 요약을 개발할 때 요소 제거는 매우 분명합니다. 각 경우에 대해 반대 요소가 다음 반복에서 나타납니다.
첫 번째 경우는 (F x -F x + 1 ) 프로세스가 (F x + 1 –F x ) 에 대해 동종 방식으로 작동하기 때문에 예를 들면 다음과 같습니다 .
처음 3 개의 값을 개발하면 {1, 2, 3} 단순화 추세가 관찰됩니다.
X 1 (F 1 -F 1 + 1 ) = F 1 -F 2
X 2 (F 2 -F 2 + 1 ) = F 2 -F 3
X 3 (F 3 -F 3 + 1 ) = F 3 -F 4
설명 된 요소의 합계를 표현할 때 :
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 -F 2 + F 2 -F 3 + F 3 -F 4
용어 F 2 및 F 3 은 그 반대와 함께 설명되어 단순화가 불가피합니다. 같은 방식으로 F 1 및 F 4 항이 유지 되는 것이 관찰 됩니다.
합계가 x = 1에서 x = 3으로 만들어지면 요소 F 4 가 일반 용어 F n + 1에 해당함을 의미합니다 .
따라서 평등을 입증합니다.
어떻게 해결됩니까?
텔레스코픽 요약의 목적은 작업을 용이하게하여 무한한 수의 용어를 개발하거나 너무 긴 추가 체인을 단순화 할 필요가 없도록하는 것입니다.
해상도를 위해 F 1 및 F n + 1 항만 평가하면됩니다 . 이러한 간단한 대체는 합산의 최종 결과를 구성합니다.
용어의 총체는 표현되지 않고 결과를 보여주는 데만 필요하며 정상적인 계산 프로세스에는 필요하지 않습니다.
중요한 것은 수열의 수렴을 알아 차리는 것입니다. 때로는 합산 인수가 망원경으로 표현되지 않을 수도 있습니다. 이러한 경우 대체 인수 분해 방법의 구현이 매우 일반적입니다.
텔레스코픽 덧셈의 특성 분해 방법은 단순 분수의 방법입니다. 이것은 원래 분수가 여러 분수의 합으로 분해 될 때 발생하며, 여기서 망원경 패턴 (F x -F x + 1 ) 또는 (F x + 1 -F x ) 를 관찰 할 수 있습니다 .
간단한 분수로 분해
숫자 시리즈의 수렴을 확인하기 위해 간단한 분수 방법으로 유리식을 변환하는 것이 매우 일반적입니다. 목표는 줄거리를 텔레스코픽 합산 형태로 모델링하는 것입니다.
예를 들어 다음 같음은 간단한 분수로의 분해를 나타냅니다.
숫자 시리즈를 개발하고 해당 속성을 적용 할 때 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
텔레스코픽 형태가 인정되는 곳 (F x -F x + 1 ).
절차는 매우 직관적이며 평등을 깨지 않고 분모에서 찾은 제품을 분리 할 수있는 분자의 값을 찾는 것으로 구성됩니다. 이 값을 결정할 때 발생하는 방정식은 평등의 양변 간의 비교에 따라 제기됩니다.
이 절차는 연습 2 개발에서 단계적으로 관찰됩니다.
역사
텔레스코픽 요약이 제시된 역사적 순간을 정의 할 수 있는지는 매우 불확실합니다. 그러나 그 구현은 Leibniz와 Huygens가 수행 한 수치 시리즈 연구에서 17 세기에 나타나기 시작했습니다.
삼각형 숫자의 합을 탐구하는 두 수학자는 특정 일련의 연속 요소 수렴 추세를 알아 차리기 시작합니다. 그러나 더 흥미로운 것은 서로를 반드시 따르지 않는 요소에서 이러한 표현의 모델링의 시작입니다.
사실, 이전에 단순 분수를 참조하기 위해 사용 된 표현식 :
Huygens에 의해 소개되었고 즉시 Leibniz의 관심을 끌었습니다. 시간이 지남에 따라 값 2 로의 수렴을 관찰 할 수있는 사람은 누구인지 알지 못하는 사이에 텔레스코픽 합계 형식을 구현했습니다.
식
연습 1
다음 합계가 수렴하는 용어를 정의하십시오.
합계를 수동으로 개발할 때 다음 패턴이 관찰됩니다.
(2 3 - 2 4 ) + (2 4 - 2 5 ) + (2 5 - 2 6 ). . . . (2 10 - 2 11 )
2 4 에서 2 10 까지의 요인 이 긍정적 인 부분과 부정적인 부분을 나타내므로 취소가 분명합니다. 그러면 단순화되지 않는 유일한 요소는 첫 번째 "2 3 "과 마지막 "2 11 "입니다.
이러한 방식으로 텔레스코픽 합산 기준을 구현할 때 다음을 얻습니다.
연습 2
인수를 텔레스코픽 유형 합계로 변환하고 시리즈의 수렴을 정의합니다.
성명서에서 알 수 있듯이, 가장 먼저해야 할 일은 논증을 다시 말하고 텔레스코픽 방식으로 표현하기 위해 간단한 분수로 분해하는 것입니다.
분모가 각각 "n"및 "n + 1"인 2 개의 분수를 찾아야합니다. 여기서 아래 사용 된 방법은 등식을 충족하는 분자의 값을 가져와야합니다.
우리는 A와 B의 값을 정의합니다. 먼저 분수를 더합니다.
그런 다음 분모가 단순화되고 선형 방정식이 설정됩니다.
다음 단계에서는 왼쪽의 "3"에 해당하는 패턴이 얻어 질 때까지 오른쪽의 표현이 작동됩니다.
사용할 방정식을 정의하려면 등식의 양쪽 결과를 비교해야합니다. 즉, 변수 n의 값이 왼쪽에서 관찰되지 않으므로 A + B는 0과 같아야합니다.
A + B = 0; A = -B
반면에 상수 값 A는 상수 값 3과 같아야합니다.
A = 3
그러므로.
A = 3 및 B = -3
단순 분수에 대한 분자 값이 이미 정의되면 합계가 재 작성됩니다.
일반적인 형태의 텔레스코픽 합산이 이미 달성 된 곳. 텔레스코픽 시리즈가 개발되었습니다.
매우 큰 수로 나눌 때 결과가 0에 가까워지고 값 3에 대한 계열의 수렴을 관찰합니다.
이 유형의 시리즈는 문제를 정의하는 무한한 반복 횟수로 인해 다른 방법으로 해결할 수 없습니다. 그러나이 방법은 다른 많은 방법과 함께 수렴 값을 결정하거나 해당 계열의 발산을 정의하는 것을 목표로하는 수치 계열 연구의 분기를 구성합니다.
참고 문헌
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