존재 고유성 정리 단 하나로 해결하고 해결책을 가지고, 소정의 초기 조건으로 1 차 미분 방정식에 대한 필요 충분 조건을 설정한다.
그러나 정리는 그러한 해결책을 찾는 방법에 대한 기술이나 표시를 제공하지 않습니다. 존재 및 고유성 정리는 또한 초기 조건을 갖는 고차 미분 방정식으로 확장되며, 이는 코시 문제로 알려져 있습니다.
그림 1. 초기 조건과 그 해가있는 미분 방정식이 표시됩니다. 존재 및 고유성 정리는 이것이 가능한 유일한 해결 책임을 보장합니다.
존재 및 고유성 정리에 대한 공식적인 진술은 다음과 같습니다.
“초기 조건 y (a) = b 인 미분 방정식 y '(x) = f (x, y)의 경우 점 (a, b)를 포함하는 XY 평면의 직사각형 영역에 적어도 하나의 해가 존재합니다. f (x, y)는 해당 영역에서 연속적입니다. 그리고 y에 대한 f의 편도 함수 : g = ∂f / ∂y가 동일한 직사각형 영역에서 연속적이면 해는 fy의 연속성 영역에 포함 된 점 (a, b) 근처에서 고유합니다. 지. "
이 정리의 유용성은 먼저 솔루션이 존재할 수있는 XY 평면의 영역을 아는 것과 발견 된 솔루션이 유일하게 가능한지 또는 다른 것이 있는지 아는 데 있습니다.
고유성 조건이 충족되지 않는 경우 정리는 코시 문제에 총 해가 몇 개 있는지 예측할 수 없습니다. 아마도 하나, 둘 또는 그 이상일 것입니다.
존재 증명과 고유성 정리
그림 2. Charles Émile Picard (1856-1941)는 존재 및 고유성 정리의 첫 번째 증거 중 하나로 인정 받았습니다. 출처 : Wikimedia Commons.
이 정리에 대해 두 가지 가능한 증명이 알려져 있는데, 그중 하나는 Charles Émile Picard (1856-1941)의 증명이고 다른 하나는 Augustin Louis Cauchy (1789-1857)의 작품을 기반으로 한 Giuseppe Peano (1858-1932)의 증명입니다. .
19 세기의 가장 뛰어난 수학적 정신이이 정리의 증명에 참여한 것은 주목할 만하다. 그래서 그들 중 어느 것도 단순하지 않다는 것을 직감 할 수있다.
정리를 공식적으로 증명하려면 먼저 Lipschitz 유형 함수, Banach 공간, Carathéodory의 존재 정리 및 기사의 범위를 벗어난 여러 가지 다른 몇 가지 고급 수학 개념을 설정해야합니다.
물리학에서 처리되는 미분 방정식의 대부분은 관심 영역에서 연속 함수를 다루기 때문에 간단한 방정식에서 정리가 어떻게 적용되는지 보여주는 것으로 제한 할 것입니다.
예
-예 1
초기 조건이있는 다음 미분 방정식을 고려해 봅시다.
y '(x) =-y; y (1) = 3
이 문제에 대한 해결책이 있습니까? 가능한 유일한 해결책입니까?
답변
우선, 미분 방정식의 해의 존재가 평가되고 초기 조건도 충족됩니다.
이 예에서 f (x, y) =-이고 존재 조건은 좌표 x = 1, y = 3을 포함하는 XY 평면의 영역에서 f (x, y)가 연속적인지를 알아야합니다.
그러나 f (x, y) =-y는 아핀 함수로, 실수 영역에서 연속적이고 실수 범위 전체에 존재합니다.
따라서 f (x, y)는 R 2 에서 연속적이라는 결론을 내릴 수 있으므로 정리는 적어도 하나의 해의 존재를 보장합니다.
이를 알면 솔루션이 고유한지 또는 반대로 둘 이상인지 평가할 필요가 있습니다. 이를 위해서는 변수 y에 대한 f의 편미분을 계산해야합니다.
그런 다음 g (x, y) = -1 이는 상수 함수이며 모든 R 2에 대해서도 정의되고 여기에서도 연속적입니다. 존재와 고유성 정리는이 초기 값 문제가 우리에게 그것이 무엇인지 알려주지는 않지만 고유 한 해결책을 가지고 있음을 보장합니다.
-예 2
초기 조건이있는 다음 1 계 상미 분 방정식을 고려하십시오.
y '(x) = 2√y; 그리고 (0) = 0.
이 문제에 대한 해결책 y (x)가 있습니까? 그렇다면 하나 이상이 있는지 확인하십시오.
댓글
함수 f (x, y) = 2√y를 고려합니다. 함수 f는 음수에 실수 근이 없다는 것을 알고 있으므로 y≥0에 대해서만 정의됩니다. 또한, (X, Y, F) R의 상반 평면에서 연속 2 는 X 축을 포함하여, 상기 영역에 존재 고유성을 보장 정리 적어도 하나의 반응 용액.
이제 초기 조건 x = 0, y = 0은 솔루션 영역의 가장자리에 있습니다. 그런 다음 y에 대해 f (x, y)의 편미분을 취합니다.
∂f / ∂y = 1 / √y
이 경우 함수는 정확히 초기 조건이있는 위치 인 y = 0에 대해 정의되지 않습니다.
정리는 우리에게 무엇을 말합니까? X 축을 포함하여 X 축의 상 반면에 적어도 하나의 해가 있다는 것을 알고 있지만, 고유성 조건이 충족되지 않았기 때문에 고유 한 해가있을 것이라는 보장은 없습니다.
이는 f (x, y)의 연속성 영역에 하나 이상의 솔루션이있을 수 있음을 의미합니다. 그리고 항상 그렇듯이 정리는 그것이 무엇인지 우리에게 말하지 않습니다.
해결 된 운동
- 연습 1
예제 1의 코시 문제를 풉니 다.
y '(x) =-y; y (1) = 3.
미분 방정식과 초기 조건을 만족하는 함수 y (x)를 구합니다.
해결책
예 1에서는이 문제에 해결책이 있으며 고유 한 것으로 확인되었습니다. 해결책을 찾기 위해 가장 먼저 주목해야 할 것은 분리 가능한 변수의 1 차 미분 방정식이며 다음과 같이 작성됩니다.
우리가 가진 변수를 분리하기 위해 두 멤버 사이에서 나누기 :
부정적분은 두 멤버 모두에 적용됩니다.
우리가 가진 무한 적분을 해결합니다.
여기서 C는 초기 조건에 의해 결정되는 적분 상수입니다.
C 값을 대체하고 다시 정렬하면 다음과 같이 유지됩니다.
다음 로그 속성 적용 :
위의 표현식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
두 멤버 모두에 밑이 e 인 지수 함수는 다음을 얻기 위해 적용됩니다.
y / 3 = e (1-x)
다음과 같습니다.
y = 3e e -x
이것은 y (1) = 3 인 방정식 y '= -y의 고유 한 솔루션입니다.이 솔루션의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다.
-연습 2
예제 2에 제시된 문제에 대한 두 가지 해결책을 찾으십시오.
y '(x) = 2√ (y); 그리고 (0) = 0.
해결책
또한 미분 형식으로 작성된 분리 가능한 변수의 방정식은 다음과 같습니다.
dy / √ (y) = 2 dx
두 구성원 모두에서 무한 적분을 취하는 것은 다음과 같습니다.
2√ (y) = 2 x + C
솔루션 영역에서 y≥0이라는 것을 알고 있으므로 다음과 같이됩니다.
y = (x + C) 2
그러나 초기 조건 x = 0, y = 0이 충족되어야하므로 상수 C는 0이고 다음 솔루션이 유지됩니다.
y (x) = x 2 .
그러나이 솔루션은 고유하지 않으며 함수 y (x) = 0도 제기 된 문제에 대한 솔루션입니다. 예제 2에서이 문제에 적용된 존재 및 고유성 정리는 이미 하나 이상의 솔루션이있을 수 있음을 예측했습니다.
참고 문헌
- Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York : McGraw-Hill.
- 수학 백과 사전. Cauchy-Lipschitz 정리. 출처 : encyclopediaofmath.org
- Lindelöf, Sur l' application de la méthode des approximations 연속적인 aux équations différentielles ordinaires du Premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l' Académie des sciences. 116 권, 1894 년, pp. 454–457. 출처 : gallica.bnf.fr.
- Wikipedia. Picard의 연속 근사법. 출처 : es.wikipedia.com
- Wikipedia. Picard-Lindelöf 정리. 출처 : es.wikipedia.com.
- 질, D. 1986. 응용 프로그램이있는 기본 미분 방정식 Prentice Hall.