Moivre 의 정리는 거듭 제곱 및 복소수의 근 추출과 같은 대수 기본 과정을 적용했습니다. 이 정리는 복잡한 숫자를 삼각법과 연관시킨 유명한 프랑스 수학자 Abraham de Moivre (1730)에 의해 언급되었습니다.
Abraham Moivre는 사인과 코사인의 표현을 통해이 연관성을 만들었습니다. 이 수학자는 복소수 z를 n의 거듭 제곱 (1보다 크거나 같은 양의 정수)으로 올릴 수있는 일종의 공식을 생성했습니다.
Moivre의 정리는 무엇입니까?
Moivre의 정리는 다음과 같이 말합니다.
우리가 극 형식 z = r Ɵ 의 복소수를 가지고있는 경우 , 여기서 r은 복소수 z의 모듈이고 각도 Ɵ는 0 ≤ Ɵ ≤ 2π 인 복소수의 진폭 또는 인수라고 불리며 n–을 계산합니다. th 거듭 제곱 자체에 n 배를 곱할 필요는 없습니다. 즉, 다음 제품을 만들 필요가 없습니다.
Z N = Z * Z * Z *. . . * z = r Ɵ * r Ɵ * r Ɵ *. . . * r Ɵ n 번.
반대로, 정리는 z를 삼각법 형식으로 쓸 때 n 번째 거듭 제곱을 계산하기 위해 다음과 같이 진행한다고 말합니다.
Z = R 경우 (COS Ɵ + I * 죄 Ɵ)를 Z N R = N (N * COS Ɵ + I * 죄 N * Ɵ).
예를 들어 n = 2이면 z 2 = r 2 입니다. n = 3이면 z 3 = z 2 * z입니다. 또한:
z 3 = r 2 * r = r 3 .
이러한 방식으로 각도의 삼각비를 알고있는 한 각도의 배수에 대한 사인과 코사인의 삼각비를 얻을 수 있습니다.
같은 방식으로 복소수 z의 n 번째 루트에 대해 더 정확하고 덜 혼란스러운 표현식을 찾는 데 사용할 수 있으므로 z n = 1이됩니다.
Moivre의 정리를 증명하기 위해 수학적 귀납 원리가 사용됩니다. 정수 "a"에 속성 "P"가 있고 "a"보다 큰 정수 "n"에 대해 속성 "P"가있는 경우 n + 1도 속성 "P"를 가지며 "a"보다 크거나 같은 모든 정수는 "P"속성을 갖습니다.
데모
따라서 정리의 증명은 다음 단계로 수행됩니다.
유도 성베이스
먼저 n = 1인지 확인합니다.
z 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) 1 = r 1 (cos Ɵ + i * sin Ɵ) 1 = r 1 이므로 정리는 n = 1입니다.
귀납적 가설
공식은 양의 정수, 즉 n = k에 대해 참이라고 가정합니다.
z k = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k = r k (cos k Ɵ + i * sin k Ɵ).
확인
n = k + 1에 대해 사실임이 입증되었습니다.
z k + 1 = z k * z이므로 z k + 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k + 1 = r k (cos kƟ + i * sin kƟ) * r (cos Ɵ + 나는 * 감각).
그런 다음 표현식이 곱해집니다.
z k + 1 = r k + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * sinƟ) + (i * sin kƟ) * (cosƟ) + (i * sin kƟ) * (i * 감각)).
잠시 동안 계수 r k + 1 은 무시 되고 공통 계수 i가 취해집니다.
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) + i 2 (sin kƟ) * (sinƟ).
i 2 = -1 이므로 표현식에서 대체하고 다음을 얻습니다.
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ)-(sin kƟ) * (sinƟ).
이제 실수 부분과 허수 부분이 정렬됩니다.
(cos kƟ) * (cosƟ)-(sin kƟ) * (sinƟ) + i.
표현식을 단순화하기 위해 코사인과 사인에 대해 각도 합계의 삼각 ID가 적용됩니다.
cos (A + B) = cos A * cos B-sin A * sin B.
sin (A + B) = sin A * cos B-cos A * cos B.
이 경우 변수는 각도 Ɵ 및 kƟ입니다. 삼각 ID를 적용하면 다음과 같은 이점이 있습니다.
cos kƟ * cosƟ- sin kƟ * sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)
sin kƟ * cosƟ + cos kƟ * sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)
이런 식으로 표현은 다음과 같습니다.
z k + 1 = r k + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sin (kƟ + Ɵ))
z k + 1 = r k + 1 (cos + i * sin).
따라서 결과가 n = k + 1에 대해 참임을 보여줄 수 있습니다. 수학적 귀납 원리에 따라 결과는 모든 양의 정수에 대해 참이라는 결론을 내립니다. 즉, n ≥ 1입니다.
음의 정수
Moivre의 정리는 n ≤ 0 일 때도 적용됩니다. 음의 정수«n»을 고려해 보겠습니다. "n"은 "-m", 즉 n = -m으로 쓸 수 있습니다. 여기서 "m"은 양의 정수입니다. 그러므로:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i * sin Ɵ) -m
지수«m»을 양의 방식으로 구하기 위해 표현식은 역으로 작성됩니다.
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sin Ɵ) m
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sin mƟ)
이제 z = a + b * i가 복소수이면 1 ÷ z = ab * i로 사용됩니다. 그러므로:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (mƟ)-i * sin (mƟ).
cos (x) = cos (-x)와 -sen (x) = sin (-x)을 사용하면 다음과 같이됩니다.
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n =
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (-mƟ) + i * sin (-mƟ)
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (nƟ)-i * sin (nƟ).
따라서 정리는 "n"의 모든 정수 값에 적용된다고 말할 수 있습니다.
해결 된 운동
양의 거듭 제곱 계산
극 형식의 복소수를 사용하는 연산 중 하나는 이들 중 두 개를 곱하는 것입니다. 이 경우 모듈이 곱해지고 인수가 추가됩니다.
복소수 z 1과 z 2가 2 개 있고 (z 1 * z 2 ) 2 를 계산 하려면 다음과 같이 진행합니다.
z 1 z 2 = *
분배 속성이 적용됩니다.
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sin Ɵ 2 + i * sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i 2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ).
"i"라는 용어를 표현식의 공통 요소로 사용하여 그룹화됩니다.
z 1 z 2 = r 1 r 2
i 2 = -1 이므로 다음 식에서 대체됩니다.
z 1 z 2 = r 1 r 2
실제 용어는 실제와 가상으로 재 그룹화됩니다.
z 1 z 2 = r 1 r 2
마지막으로 삼각 속성이 적용됩니다.
z 1 z 2 = r 1 r 2 .
결론적으로:
(z 1 * z 2 ) 2 = (r 1 r 2 ) 2
= r 1 2 r 2 2 .
연습 1
z =-2 -2i 인 경우 복소수를 극성 형식으로 씁니다. 그런 다음 Moivre의 정리를 사용하여 z 4를 계산 합니다.
해결책
복소수 z = -2 -2i는 직사각형 형태 z = a + bi로 표현됩니다.
a = -2.
b = -2.
극성 형식이 z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)임을 알면 계수 "r"의 값과 인수 "Ɵ"의 값을 결정해야합니다. r = √ (a² + b²)이므로 주어진 값이 대체됩니다.
r = √ (a² + b²) = √ ((-2) ² + (-2) ²)
= √ (4 + 4)
= √ (8)
= √ (4 * 2)
= 2√2.
그런 다음«Ɵ»의 값을 결정하기 위해 다음 공식에 의해 주어진 직사각형 모양이 적용됩니다.
탄 Ɵ = b ÷ a
tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.
tan (Ɵ) = 1이고 <0이므로 다음과 같습니다.
Ɵ = arctan (1) + Π.
= Π / 4 + Π
= 5Π / 4.
«r»및«Ɵ»의 값이 이미 획득되었으므로 복소수 z = -2 -2i는 다음 값을 대체하여 극성 형식으로 표현할 수 있습니다.
z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)).
이제 Moivre의 정리를 사용하여 z 4 를 계산합니다 .
z 4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)) 4
= 32 (cos (5Π) + i * sin (5Π)).
연습 2
극좌표 형식으로 표현하여 복소수의 곱을 찾으십시오.
z1 = 4 (cos 50 o + i * sin 50 o )
z2 = 7 (cos 100 o + i * sin 100 o ).
그런 다음 (z1 * z2) ²를 계산합니다.
해결책
먼저 주어진 숫자의 곱이 형성됩니다.
z 1 z 2 = *
그런 다음 모듈이 서로 곱해지고 인수가 추가됩니다.
z 1 z 2 = (4 * 7) *
식은 간단합니다.
z 1 z 2 = 28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o ).
마지막으로 Moivre의 정리가 적용됩니다.
(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o )) ² = 784 (cos 300 o + (i * sin 300 o )).
부정적인 힘의 계산
두 개의 복소수 z 1과 z 2 를 극성 형식으로 나누기 위해 계수를 나누고 인수를 뺍니다. 따라서 몫은 z 1 ÷ z 2 이며 다음과 같이 표현됩니다.
z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ().
앞의 경우와 같이 (z1 ÷ z2) ³를 계산하려면 먼저 나누기가 수행 된 다음 Moivre의 정리가 사용됩니다.
연습 3
오지 :
z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),
z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),
계산 (z1 ÷ z2) ³.
해결책
위에서 설명한 단계에 따라 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.
(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4-π / 4) + i * sin (3π / 4-π / 4))) ³
= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³
= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).
참고 문헌
- Arthur Goodman, LH (1996). 분석 기하학을 사용한 대수 및 삼각법. 피어슨 교육.
- Croucher, M. (nd). Trig Identities에 대한 Moivre의 정리에서. Wolfram 데모 프로젝트.
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