독립 이벤트 : 데모, 예제, 연습 - DUDAS - 2024

두 사건은 독립적입니다. 두 사건 중 하나가 발생할 확률이 다른 사건이 발생하거나 발생하지 않는다는 사실에 영향을받지 않는 경우, 이러한 사건이 무작위로 발생한다는 점을 고려하면됩니다.

이 상황은 이벤트 1의 결과를 생성하는 프로세스가 이벤트 2의 가능한 결과 확률을 변경하지 않을 때마다 발생합니다. 그러나 이것이 발생하지 않으면 이벤트는 종속적이라고합니다.

그림 1. 독립 사건의 확률을 설명하기 위해 색상 구슬이 자주 사용됩니다. 출처 : Pixabay.

독립적 인 이벤트 상황은 다음과 같습니다 : 두 개의 6면 주사위를 굴려서 하나는 파란색이고 다른 하나는 분홍색이라고 가정합니다. 1이 파란색 주사위를 굴릴 확률은 1이 분홍색 주사위를 굴 리거나 굴리지 않을 확률과 무관합니다.

두 개의 독립적 인 사건의 또 다른 경우는 동전을 두 번 연속으로 던지는 것입니다. 첫 번째 던지기의 결과는 두 번째 던지기의 결과에 의존하지 않으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

두 개의 독립적 인 사건의 증거

두 이벤트가 독립적인지 확인하기 위해 한 이벤트의 조건부 확률 개념을 다른 이벤트에 대해 정의합니다. 이를 위해 독점 이벤트와 포함 이벤트를 구별해야합니다.

이벤트 A의 가능한 값 또는 요소가 이벤트 B의 값 또는 요소와 공통점이없는 경우 두 이벤트는 배타적입니다.

따라서 두 개의 독점 이벤트에서 A와 B의 교차 집합은 진공입니다.

이벤트 제외 : A∩B = Ø

반대로 이벤트가 포함 된 경우 이벤트 A의 결과도 다른 B의 결과와 일치하며 A와 B는 서로 다른 이벤트가 될 수 있습니다. 이 경우 :

포괄적 인 이벤트 : A∩B ≠ Ø

이를 통해 두 가지 포함 이벤트의 조건부 확률, 즉 이벤트 B가 발생할 때마다 이벤트 A가 발생할 확률을 정의합니다.

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

따라서 조건부 확률은 A와 B가 발생할 확률을 B가 발생할 확률로 나눈 값입니다. B가 A에서 조건부로 발생할 확률도 정의 할 수 있습니다.

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

두 사건이 독립적인지 아는 기준

다음으로 두 이벤트가 독립적인지 알 수있는 세 가지 기준을 제공합니다. 세 가지 중 하나가 충족되어 사건의 독립성을 입증하는 것으로 충분합니다.

1.- B가 발생할 때마다 A가 발생할 확률이 A의 확률과 같으면 독립 사건입니다.

P (A¦B) = P (A) => A는 B와 무관합니다.

2.- A가 주어 졌을 때 B가 발생할 확률이 B의 확률과 같으면 독립 사건이 있습니다.

P (B¦A) = P (B) => B는 A와 무관합니다.

3.- A와 B가 발생할 확률이 A가 발생할 확률과 B가 발생할 확률의 곱과 같으면 독립 사건입니다. 그 반대도 사실입니다.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A와 B는 독립 이벤트입니다.

독립 사건의 예

서로 다른 두 공급 업체에서 생산 한 고무 밑창을 비교합니다. 각 제조업체의 샘플은 사양 내에 있는지 여부를 결정하는 여러 테스트를 거칩니다.

그림 2. 다양한 고무 밑창. 출처 : Pixabay.

252 개 샘플의 결과 요약은 다음과 같습니다.

제조업체 1; 160은 사양을 충족합니다. 8 사양을 충족하지 않습니다.

제조업체 2; 80은 사양을 충족합니다. 4 사양을 충족하지 않습니다.

이벤트 A : "샘플이 제조업체 1의 것"입니다.

이벤트 B : "샘플이 사양을 충족 함"

이러한 이벤트 A와 B가 독립적인지 여부를 알고 싶습니다. 이에 대해 이전 섹션에서 언급 한 세 가지 기준 중 하나를 적용합니다.

기준 : P (B¦A) = P (B) => B는 A와 무관합니다.

피 (B) = 240/252 = 0.9523

P (B¦A) = P (A⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

결론 : 사건 A와 B는 독립적입니다.

이벤트 C : "샘플이 제조업체 2에서 온 것"이라고 가정합니다.

이벤트 B는 이벤트 C와 독립적입니까?

기준 중 하나를 적용합니다.

기준 : P (B¦C) = P (B) => B는 C와 무관합니다.

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

따라서 사용 가능한 데이터를 기반으로 무작위로 선택한 고무 밑창이 사양을 충족 할 확률은 제조업체와 무관합니다.

독립 이벤트를 종속 이벤트로 변환

종속 이벤트와 독립 이벤트를 구별하기 위해 다음 예제를 살펴 보겠습니다.

화이트 초콜릿 볼 2 개와 검은 볼 2 개가 들어있는 가방이 있습니다. 흰색 공이나 검은 공을 얻을 확률은 첫 번째 시도에서 동일합니다.

결과가 큐볼이라고 가정합니다. 뽑은 공을 가방에 넣으면 원래 상황이 반복됩니다 : 흰색 공 2 개와 검은 색 공 2 개.

따라서 두 번째 이벤트 또는 무승부에서 큐볼 또는 검은 색 공을 뽑을 확률은 처음과 동일합니다. 따라서 그들은 독립적 인 이벤트입니다.

그러나 첫 번째 이벤트에서 뽑은 큐볼이 우리가 먹었 기 때문에 교체되지 않으면 두 번째 드로우에서 검은 공을 뽑을 확률이 더 높아집니다. 두 번째 추출이 다시 흰색을 얻을 확률은 첫 번째 이벤트의 확률과 다르며 이전 결과에 따라 달라집니다.

식

- 연습 1

상자에 그림 1의 구슬 10 개를 넣습니다. 그 중 2 개는 녹색, 4 개는 파란색, 4 개는 흰색입니다. 두 개의 구슬이 무작위로 선택됩니다.
다음 조건에서 파란색이 아닐 확률 을 찾아야합니다 .

a) 교체, 즉 두 번째 선택 전에 첫 번째 구슬을 상자에 반환합니다. 독립 이벤트인지 종속 이벤트인지 표시합니다.

b) 교체하지 않고 추출한 첫 번째 구슬은 두 번째 선택시 상자에서 제외됩니다. 유사하게, 그들이 종속적 인 사건인지 독립적 인 사건인지 표시하십시오.

솔루션

추출 된 첫 번째 구슬이 파란색이 아닐 확률, 즉 1에서 파란색 P (A) 일 확률을 뺀 확률 또는 녹색 또는 흰색으로 나왔기 때문에 파란색이 아닐 확률을 직접 계산합니다.

P (A) = 4/10 = 2/5

P (파란색이 아님) = 1-(2/5) = 3/5

오 잘 :

P (녹색 또는 흰색) = 6/10 = 3/5.

추출한 구슬이 반환되면 모든 것이 이전과 같습니다. 이 두 번째 추첨에서는 추첨 된 구슬이 파란색이 아닐 확률이 3/5입니다.

P (파란색 아님, 파란색 아님) = (3/5). (3/5) = 9/25.

추출 된 구슬이 상자로 반환되고 첫 번째 이벤트가 두 번째 이벤트의 발생 확률에 영향을주지 않기 때문에 이벤트는 독립적입니다.

솔루션 b

첫 번째 추출의 경우 이전 섹션에서와 같이 진행하십시오. 파란색이 아닐 확률은 3/5입니다.

두 번째 추출의 경우 첫 번째가 돌아 오지 않았기 때문에 가방에 9 개의 구슬이 있지만 파란색이 아니 었으므로 가방에는 9 개의 구슬이 있고 5 개는 파란색이 아닙니다.

P (녹색 또는 흰색) = 5/9.

P (파란색이 아님) = P (파란색이 아님). P (파란색이 아닌 두 번째 / 파란색이 아닌 첫 번째) = (3/5). (5/9) = 1/3

이 경우 첫 번째 이벤트가 두 번째 이벤트를 조건화하므로 독립 이벤트가 아닙니다.

-연습 2

한 상점에는 세 가지 크기의 셔츠 15 개가 있습니다 : 작은 3 개, 중간 6 개, 큰 6 개. 2 개의 셔츠가 무작위로 선택됩니다.

a) 한 셔츠를 먼저 선택하고 다른 셔츠를 교체하지 않고 선택한 두 셔츠가 모두 작을 확률은 얼마입니까?

b) 선택한 두 셔츠가 모두 작을 경우 하나가 먼저 그려지고 배치에서 교체되고 두 번째 셔츠가 제거 될 확률은 얼마입니까?

솔루션

다음은 두 가지 이벤트입니다.

이벤트 A : 선택한 첫 번째 셔츠가 작습니다.

이벤트 B : 두 번째로 선택한 셔츠가 작습니다.

사건 A가 발생할 확률은 다음과 같습니다. P (A) = 3/15

이벤트 B가 발생할 확률은 다음과 같습니다. P (B) = 2/14, 셔츠가 이미 제거 되었으나 (14 개 남음) 이벤트 A도 충족되기를 원하므로 제거 된 첫 번째 셔츠가 작아야합니다. 둘 다 2 개 작습니다.

즉, A와 B가 확률의 곱이 될 확률은 다음과 같습니다.

P (A 및 B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

따라서 이벤트 A와 B가 발생할 확률은 이벤트 A가 발생하는 제품에 이벤트 A가 발생하면 이벤트 B가 발생할 확률을 곱한 것과 같습니다.

다음 사항에 유의해야합니다.

P (B¦A) = 2/14

사건 A의 발생 여부에 관계없이 사건 B가 발생할 확률은 다음과 같습니다.

첫 번째가 작 으면 P (B) = (2/14), 첫 번째가 작지 않으면 P (B) = 3/14.

일반적으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

P (B¦A)는 P와 같지 않음 (B) => B는 A와 무관하지 않음

솔루션 b

다시 두 가지 이벤트가 있습니다.

이벤트 A : 선택한 첫 번째 셔츠가 작습니다.

이벤트 B : 두 번째로 선택한 셔츠가 작습니다.

P (A) = 3/15

결과가 무엇이든 배치에서 가져온 셔츠가 교체되고 다시 셔츠가 무작위로 그려집니다. 이벤트 A가 발생한 경우 이벤트 B가 발생할 확률은 다음과 같습니다.

P (B¦A) = 3/15

이벤트 A와 B가 발생할 확률은 다음과 같습니다.

P (A 및 B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

참고 :

P (B¦A)는 P (B) => B는 A와 무관합니다.

-운동 3

두 개의 독립적 인 사건 A와 B를 고려하십시오. 사건 A가 발생할 확률은 0.2이고 사건 B가 발생할 확률은 0.3 인 것으로 알려져 있습니다. 두 사건이 모두 발생할 확률은 얼마입니까?

해결책 2

사건이 독립적이라는 것을 알면 두 사건이 발생할 확률은 개별 확률의 곱이라는 것이 알려져 있습니다. 즉 말하자면,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.2 * 0.3 = 0.06

다른 이벤트의 결과에 관계없이 각 이벤트가 발생할 확률보다 훨씬 낮은 확률입니다. 또는 개별 배당률보다 훨씬 낮은 다른 방법을 사용하십시오.

참고 문헌

1. Berenson, M. 1985. 관리와 경제를위한 통계. Interamericana SA 126-127.
2. 몬테레이 연구소. 독립 사건의 확률. 출처 : monterreyinstitute.org
3. 수학 선생님. 독립 이벤트. 출처 : youtube.com
4. Superprof. 이벤트 유형, 종속 이벤트. 출처 : superprof.es
5. 가상 튜터. 개연성. 출처 : vitutor.net
6. Wikipedia. 독립성 (확률). 출처 : wikipedia.com