파워 시리즈 변수 (X)의 힘의 형태 용어의 합산으로 구성하거나,보다 일반적으로는, C는 상수이다 실수 XC의. 요약 표기법에서 일련의 거듭 제곱은 다음과 같이 표현됩니다.
계수 a o , a 1 , a 2 …는 실수이고 시리즈는 n = 0에서 시작합니다.
그림 1. 멱급수의 정의. 출처 : F. Zapata.
이 시리즈는 상수 인 c 값을 중심으로하지만 c가 0과 같도록 선택할 수 있습니다.이 경우 멱급수는 다음과 같이 단순화됩니다.
시리즈는 각각 a 또는 (xc) 0 및 a 또는 x 0으로 시작 합니다. 그러나 우리는 다음을 알고 있습니다.
(xc) 0 = x 0 = 1
따라서 a o (xc) 0 = a 또는 x 0 = a o (독립항)
멱급수의 좋은 점은 함수를 표현할 수 있다는 점이며 특히 복잡한 함수로 작업하려는 경우 많은 이점이 있습니다.
이 경우 함수를 직접 사용하는 대신 멱급수 확장을 사용하면 더 쉽게 파생, 통합 또는 수치 작업을 수행 할 수 있습니다.
물론 모든 것이 시리즈의 수렴에 따라 달라집니다. 특정 많은 수의 항을 추가하면 고정 값이 제공 될 때 계열이 수렴됩니다. 그리고 더 많은 용어를 추가하면 계속해서 그 가치를 얻습니다.
멱급수로 기능
멱급수로 표현되는 함수의 예로서 f (x) = e x를 봅시다 .
이 함수는 다음과 같이 일련의 거듭 제곱으로 표현할 수 있습니다.
및 X ≈ 1 + X + (X 2 / 2!) + (X 3 / 3,2) + (X 4 / 4!) + (X 5 / 5!) + …
어디! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… 그리고 0이 걸립니다! = 1.
우리는 계산기의 도움으로 실제로 시리즈가 명시 적으로 주어진 함수와 일치하는지 확인할 것입니다. 예를 들어 x = 0으로 만들어 보겠습니다.
우리는 e 0 = 1 이라는 것을 알고 있습니다 . 시리즈가 무엇을하는지 봅시다 :
및 0 ≈ 1 + 0 + (0 2 / 2!) + (0 3 / 3,2) + (0 4 / 4!) + (0 5 / 5!) + = 1 …
이제 x = 1을 시도해 봅시다. 계산기는 e 1 = 2.71828을 반환 한 다음 시리즈와 비교해 보겠습니다.
및 1 ≈ 1 + 1 + (1 2 / 2!) + (1 3 / 3,2) + (1 4 / 4!) + (1 5 / 5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 +… ≈ 2.7167
단 5 개의 용어만으로 이미 e ≈ 2.71에 정확히 일치하는 결과가 있습니다. 우리의 시리즈는 조금 더 갈 것이지만, 더 많은 항이 추가 될수록 시리즈는 확실히 e의 정확한 값으로 수렴됩니다. 표현은 n → ∞ 일 때 정확합니다.
n = 2에 대해 이전 분석을 반복하면 매우 유사한 결과가 얻어집니다.
이런 식으로 우리는 지수 함수 f (x) = e x 가 다음 거듭 제곱으로 표현 될 수 있음을 확신합니다 .
그림 2.이 애니메이션에서 더 많은 항이 취해 짐에 따라 멱급수가 지수 함수에 가까워지는 방법을 볼 수 있습니다. 출처 : Wikimedia Commons.
기하학적 계열의 힘
함수 f (x) = e x 는 멱급수 표현을 지원하는 유일한 함수는 아닙니다. 예를 들어, 함수 f (x) = 1/1-x는 잘 알려진 수렴 기하 급수와 매우 유사합니다.
a = 1 및 r = x를 수행하면 c = 0에 중심이되는이 함수에 적합한 계열을 얻을 수 있습니다.
그러나이 시리즈는 │r│ <1에 대해 수렴하는 것으로 알려져 있으므로 함수가 x = 1을 제외한 모든 x에 대해 유효하지만 표현은 구간 (-1,1)에서만 유효합니다.
이 함수를 다른 범위에서 정의하려면 적절한 값에 집중하면됩니다.
함수의 거듭 제곱의 연속 확장을 찾는 방법
x = c에서 모든 차수의 미분을 갖는 한 모든 함수는 c를 중심으로하는 멱급수로 개발 될 수 있습니다. 이 절차는 Taylor의 정리라고하는 다음 정리를 사용합니다.
f (x)를 f (n) 으로 표시된 n 차 도함수를 갖는 함수라고합시다.이 함수 는 구간 I에서 거듭 제곱의 연속 확장을 허용합니다. Taylor의 연속 개발은 다음과 같습니다.
그래서:
시리즈의 n 번째 항인 R n을 나머지라고합니다.
c = 0 인 경우이 시리즈를 Maclaurin 시리즈라고합니다.
여기에 제공된이 시리즈는 처음에 제공된 시리즈와 동일합니다. 이제 다음과 같이 각 항의 계수를 명시 적으로 찾는 방법이 있습니다.
그러나 우리는 시리즈가 표현할 함수로 수렴하는지 확인해야합니다. 모든 Taylor 시리즈가 n 에서 계수를 계산할 때 염두에 두었던 f (x)에 반드시 수렴하는 것은 아닙니다 .
이것은 아마도 x = c에서 평가 된 함수의 도함수가 x = c에서도 다른 도함수의 동일한 값과 일치하기 때문에 발생합니다. 이 경우 계수는 동일하지만 어떤 기능에 해당하는지 확실하지 않으므로 개발이 모호합니다.
다행히 알 수있는 방법이 있습니다.
수렴 기준
모호함을 피하기 위해 구간 I의 모든 x에 대해 R n → 0이 n → ∞이면 시리즈는 f (x)로 수렴합니다.
운동
-운동 해결 1
c = 0을 중심으로하는 함수 f (x) = 1/2-x에 대한 기하 멱급수를 찾으십시오.
해결책
주어진 함수는 시리즈가 알려진 1/1 x와 최대한 가깝게 일치하는 방식으로 표현되어야합니다. 따라서 원래 표현식을 변경하지 않고 분자와 분모를 다시 작성해 보겠습니다.
1/2-x = (1/2) /
½은 일정하므로 합계에서 나오며 새로운 변수 x / 2로 작성됩니다.
x = 2는 함수의 영역에 속하지 않으며 Geometric Power Series 섹션에 제공된 수렴 기준에 따라 확장은 │x / 2│ <1 또는 동등하게 -2 <x <2에 대해 유효합니다.
-운동 해결 2
함수 f (x) = sin x의 Maclaurin 급수 전개의 처음 5 개 항을 찾습니다.
해결책
1 단계
첫 번째는 파생 상품입니다.
-차수 0의 미분 : 동일한 함수 f (x) = sin x
-1 차 미분 : (sin x) ´ = cos x
-2 차 미분 : (sin x) ´´ = (cos x) ´ =-sin x
-3 차 미분 : (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ =-cos x
-4 차 미분 : (sin x) ´´´´ = (-cos x) ´ = sin x
2 단계
그런 다음 각 미분은 Maclaurin 확장, c = 0과 같이 x = c에서 평가됩니다.
죄 0 = 0; cos 0 = 1; -죄 0 = 0; -cos 0 = -1; 죄 0 = 0
3 단계
계수 a n이 구성됩니다 .
a o = 0/0! = 0; a 1 = 1/1! = 1; a 2 = 0/2! = 0; a 3 = -1/3!; a 4 = 0/4! = 0
4 단계
마지막으로 시리즈는 다음에 따라 조립됩니다.
sin x ≈ 0.x 0 + 1. x 1 + 0 .x 2- (1/3!) x 3 + 0.x 4 … = x-(1/3!)) x 3 +…
독자에게 더 많은 용어가 필요합니까? 그 이상, 시리즈는 함수에 더 가깝습니다.
계수에 패턴이 있고 0이 아닌 다음 항은 5 이고 홀수 인덱스를 가진 모든 항목도 0과 다르며 부호가 번갈아 가며 다음과 같이 표시됩니다.
sin x ≈ x-(1/3!)) x 3 + (1/5!)) x 5- (1/7!)) x 7 +…
수렴 여부를 확인하는 연습으로 남겨두고 몫 기준은 시리즈 수렴에 사용할 수 있습니다.
참고 문헌
- CK-12 재단. Power Series : 기능 및 작동 표현. 출처 : ck12.org.
- Engler, A. 2019. 적분 미적분. 국립 문학 대학.
- Larson, R. 2010. 변수 계산. 9 일. 판. McGraw Hill.
- 수학 무료 텍스트. 파워 시리즈. 출처 : math.liibretexts.org.
- Wikipedia. 파워 시리즈. 출처 : es.wikipedia.org.