두 점 A와 A는 ' 세그먼트 AA'가 통과 할 때 점 O에 대해 중심 대칭 을 가지며 AA '의 중간 점이기도합니다. 점 O를 대칭 중심이라고합니다.
점 O에 대한 삼각형 ABC의 중심 대칭은 다음과 같은 특성을 가진 또 다른 삼각형 A'B'C '입니다.
-상동 세그먼트는 길이가 같습니다.
-해당 각도는 동일한 측정 값을가집니다.
그림 1. 삼각형 ABC와 대칭 A'B'C '. 출처 : F. Zapata.
그림 1은 대칭 중심 O에 대한 삼각형 ABC (빨간색)와 중심 대칭 A'B'C '(녹색)를 보여줍니다.
이 같은 그림에서 세심한 관찰자는 원래 삼각형의 회전을 적용하여 180º이고 중심이 O 인 한 동일한 결과가 얻어진다는 것을 알 수 있습니다.
따라서 중심 대칭은 대칭 중심에 대해 180º 회전에 해당합니다.
중심 대칭의 속성
중심 대칭에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
-대칭의 중심은 점을 대칭으로 연결하는 세그먼트의 중간 점입니다.
-대칭의 중심에 위치한 다른 대칭점은 대칭의 중심과 일치합니다.
-삼각형의 중심 대칭은 원본과 합동 삼각형 (동일)입니다.
-원의 중심 대칭에 의한 이미지는 동일한 반경의 또 다른 원입니다.
-원주는 자신의 중심에 대해 중심 대칭을가집니다.
그림 2. 중앙 대칭을 사용한 디자인. 출처 : Pixabay.
-타원은 중심에 대해 중심 대칭을가집니다.
-세그먼트는 중간 점에 대해 중심 대칭을가집니다.
-정삼각형은 대칭이 첫 번째와 일치하지만 회전 된 정삼각형을 제공하기 때문에 중심에 대해 중심 대칭이 없습니다.
-사각형은 중심에 대해 중심 대칭을가집니다.
-오각형은 중심에 대해 중심 대칭이 없습니다.
-정다각형은 변이 짝수 일 때 중심 대칭을 갖습니다.
예
대칭 기준은 과학 및 공학 분야에서 많은 응용 분야를 가지고 있습니다. 예를 들어 얼음 결정과 거미줄은 이런 종류의 대칭을 가지고 있습니다.
또한 중심 대칭의 존재와 다른 종류의 대칭성을 이용하면 많은 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다. 따라서 발생시기를 신속하게 파악하는 것이 편리합니다.
그림 3. 얼음 결정은 중심 대칭을 가지고 있습니다. 출처 : Pixabay.
예 1
좌표 (a, b)의 점 P가 주어지면 좌표 (0, 0)의 원점 O에 대해 대칭 P '의 좌표를 찾아야합니다.
첫 번째는 원점 O를 통과하고 점 P를 통과하는 선이 그려지는 점 P '를 구성하는 것입니다.이 선의 방정식은 y = (b / a) x입니다.
이제 대칭점 P '의 좌표를 (a', b ')라고 부릅시다. 점 P '는 O를 통과하는 선에 있어야하므로 사실입니다 : b'= (b / a) a '. 또한 거리 OP는 OP '와 같아야하며 분석 형식으로 다음과 같이 작성됩니다.
√ (A 2 + B 2 ) = √ (a ' 2 + B' 2 )
다음은 이전 표현식에서 b '=를 대체하고 등식의 양변을 제곱하여 제곱근을 제거하는 것입니다. (a 2 + b 2 ) =
공약수를 추출하고 단순화하여 a ' 2 = a 2를 얻습니다 . 이 방정식에는 '= + a 또는 a'= -a의 두 가지 실제 솔루션이 있습니다.
b '를 얻으려면 다시 b'= (b / a) a '를 사용합니다. 'a'의 양의 해가 대입되면 b '= b에 도달합니다. 그리고 음의 솔루션이 대체되면 b '= -b.
양의 해는 P '에 대해 동일한 점 P를 제공하므로 버려집니다. 음의 솔루션은 확실히 대칭점의 좌표를 제공합니다.
P ': (-a, -b)
예 2
세그먼트 AB와 중앙 대칭 A'B '의 길이가 동일 함을 보여 주어야합니다.
(Ax, Ay) 지점 A의 좌표와 지점 B : (Bx, By)의 좌표로 시작하여 세그먼트 AB의 길이는 다음과 같이 지정됩니다.
d (AB) = √ ((Bx-Ax) 2 + (By-Ay) 2 )
유사하게 대칭 세그먼트 A'B '는 다음과 같은 길이를 갖습니다.
d (A'B ') = √ ((Bx'-Ax ') 2 + (By'-Ay ') 2 )
대칭점 A의 좌표는 'Ax'= -Ax 및 Ay '= -Ay입니다. 유사하게 B 'are Bx'= -Bx 및 By '= -By. 이러한 좌표가 거리 d (A'B ') 방정식에서 대체되면 다음과 같이됩니다.
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) 2 + ( -By + Ay) 2 ) 다음과 같습니다.
√ ((Bx-Ax) 2 + (By-Ay) 2 ) = d (AB)
따라서 두 세그먼트의 길이가 동일하다는 것을 알 수 있습니다.
해결 된 운동
- 연습 1
반지름이 R이고 중심이 O 인 원의 중심 대칭 O가 동일한 원래 원임을 분석적으로 보여줍니다.
해결책
반지름이 R이고 중심이 O (0,0) 인 원의 방정식은 다음과 같습니다.
x 2 + y 2 = R 2 (원주 C의 방정식)
좌표 (x, y)의 원주 y의 각 점 P에서 좌표 (x ', y')의 대칭 P '가 발견되면 대칭 원주의 방정식은 다음과 같습니다.
X ' 2 + Y' (2) = R이 2 (식 대칭 원 C '의)
이제 우리는 예 1의 결과를 참조하여 P와 대칭이고 좌표가 (a, b) 인 점 P '의 좌표가 (-a, -b)라고 결론지었습니다.
그러나이 연습에서 점 P는 좌표 (x, y)를 가지므로 대칭 P '는 좌표 x'= -xe y '= -y를 갖습니다. 이것을 대칭 원의 방정식에 대입하면 다음과 같습니다.
(-x) 2 + (-y) 2 = R 2
이는 x 2 + y 2 = R 2 와 동일하며, 중심에 대한 원의 중심 대칭이 원 자체라는 결론을 내립니다.
-연습 2
중앙 대칭이 각도를 유지한다는 것을 기하학적 형태로 보여줍니다.
해결책
그림 4. 운동을위한 대칭점 구성 2. 출처 : F. Zapata.
비행기에는 세 점 A, B, C가 있습니다. 대칭 A ', B'및 C '는 그림 4와 같이 대칭 중심 O를 기준으로 구성됩니다.
이제 각도 ∡ABC = β가 각도 ∡A'B'C '= β'와 동일한 측정 값을 가짐을 보여야합니다.
C와 C '는 대칭이므로 OC = OC'입니다. 마찬가지로 OB = OB '및 OA = OA'. 반면에 각도 ∡BOC = ∡B'OC '는 꼭지점에 반대되기 때문입니다.
따라서 삼각형 BOC와 B'OC '는 동일한 두 변 사이의 각도가 같기 때문에 합동입니다.
BOC는 B'OC '그러면 각도 γ와 γ'가 동일합니다. 그러나 이러한 각도는 γ = γ '를 충족하는 것 외에도 라인 BC와 B'C'사이의 내부 교대이며, 이는 라인 BC가 B'C '와 평행 함을 의미합니다.
마찬가지로 BOA는 B'OA '에 합동하여 α = α'가됩니다. 그러나 α와 α '는 라인 BA와 B'A'사이의 교번 내부 각도이며, 그로부터 라인 BA는 B'A '와 평행하다는 결론을 내립니다.
각도 ∡ABC = β는 각도 ∡A'B'C '= β'와 평행하고 양쪽 모두 예각이므로 다음과 같이 결론을 내립니다.
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
이러한 방식으로 중앙 대칭이 각도 측정을 보존한다는 것을 증명합니다.
참고 문헌
- Baldor, JA 1973. 평면과 공간 기하학. 중앙 아메리카 문화.
- 수학적 법칙과 공식. 각도 측정 시스템. 출처 : ingemecanica.com.
- Wentworth, G. 평면 기하학. 출처 : gutenberg.org.
- Wikipedia. 중앙 대칭. 출처 : es.wikipedia.com
- Wikipedia. 컨베이어. 출처 : es.wikipedia.com
- Zapata F. Conjugate 내부 및 외부 각도. 출처 : lifeder.com