유클리드의 정리가 선을 그리는에 삼각형의 속성을 보여줍니다 분할 을 다시 원래 삼각형 비슷 비슷하고 두 개의 새로운 삼각형으로; 그러면 비례 관계가 있습니다.
유클리드는 중요한 정리에 대한 몇 가지 증명을 수행 한 고대의 위대한 수학자이자 기하학적 인 중 한 명이었습니다. 주된 것 중 하나는 그의 이름을 딴 것인데, 폭넓게 적용되었습니다.
이것은이 정리를 통해 삼각형의 다리가 빗변에 대한 투영과 관련된 직각 삼각형에 존재하는 기하학적 관계를 간단한 방식으로 설명하기 때문입니다.
공식 및 데모
유클리드의 정리는 모든 직각 삼각형에서 빗변에 대한 직각의 꼭지점에 해당하는 높이를 나타내는 선이 그려 질 때 원본에서 두 개의 직각 삼각형이 형성된다는 것을 제안합니다.
이 삼각형은 서로 비슷하며 원래 삼각형과도 비슷합니다. 즉, 비슷한 변이 서로 비례합니다.
세 삼각형의 각도는 합동입니다. 즉, 정점을 기준으로 180도 회전하면 한 각도가 다른 각도와 일치합니다. 이것은 그들이 모두 동일하다는 것을 의미합니다.
이런 식으로 세 삼각형 사이에 존재하는 유사성은 각도의 동일성으로도 확인할 수 있습니다. 삼각형의 유사성에서 Euclid는 두 가지 정리에서 이들의 비율을 설정합니다.
-높이 정리.
-다리 정리.
이 정리는 광범위하게 적용됩니다. 고대에는 높이나 거리를 계산하는 데 사용되어 삼각법이 크게 발전했습니다.
현재 공학, 물리학, 화학 및 천문학과 같은 수학을 기반으로하는 다양한 분야에서 다른 많은 분야에 적용되고 있습니다.
높이 정리
이 정리에서 직각 삼각형에서 빗변에 대한 직각에서 그린 높이는 빗변에서 결정되는 다리의 투영 사이의 기하학적 비례 평균 (높이의 제곱)이라는 것이 설정됩니다.
즉, 높이의 제곱은 빗변을 형성하는 투영 된 다리의 곱과 같습니다.
h c 2 = m * n
데모
정점 C에서 오른쪽에있는 삼각형 ABC가 주어지면 높이를 플로팅하면 ADC와 BCD라는 두 개의 유사한 직각 삼각형이 생성됩니다. 따라서 해당 변은 비례합니다.
세그먼트 CD에 해당하는 높이 h c 가 빗변 AB = c에 해당하는 방식으로 다음과 같이됩니다.
차례로 이것은 다음에 해당합니다.
빗변 (h c )을 풀고 평등의 두 구성원을 곱하면 다음과 같습니다.
h c * h c = m * n
h c 2 = m * n
따라서 빗변의 값은 다음과 같이 제공됩니다.
다리 정리
이 정리에서, 모든 직각 삼각형에서 각 다리의 측정 값은 빗변 (완전)의 측정과 그 위에 각각의 투영 사이의 기하학적 비례 평균 (각 다리의 제곱)이됩니다.
b 2 = c * m
a 2 = c * n
데모
정점 C에 바로있는 삼각형 ABC가 주어지면 빗변이 c가되는 방식으로 높이 (h)를 플로팅 할 때 다리 a와 b의 투영이 결정되며, 이는 각각 세그먼트 m과 n이고 그 위에 놓여 있습니다. 빗변.
따라서 직각 삼각형 ABC에 그려진 높이는 ADC와 BCD라는 두 개의 유사한 직각 삼각형을 생성하므로 해당 변이 다음과 같이 비례합니다.
DB = n, 빗변에 대한 다리 CB의 투영입니다.
AD = m, 빗변에서 다리 AC의 투영입니다.
그런 다음 빗변 c는 투영 다리의 합에 의해 결정됩니다.
c = m + n
삼각형 ADC와 BCD의 유사성으로 인해 다음과 같은 이점이 있습니다.
위의 내용은 다음과 같습니다.
레그 "a"를 구하여 동등성의 두 구성원을 곱하면 다음과 같습니다.
a * a = c * n
a 2 = c * n
따라서 다리 "a"의 값은 다음과 같이 지정됩니다.
같은 방식으로 삼각형 ACB와 ADC의 유사성으로 인해 다음과 같은 이점이 있습니다.
위는 다음과 같습니다.
레그 "b"에 대해 두 구성원의 동등성을 곱하면 다음과 같습니다.
b * b = c * m
b 2 = c * m
따라서 구간 "b"의 값은 다음과 같이 지정됩니다.
유클리드 정리 간의 관계
높이와 다리를 기준으로 한 정리는 직각 삼각형의 빗변을 기준으로 두 값을 측정하기 때문에 서로 관련이 있습니다.
유클리드 정리의 관계를 통해 높이 값도 찾을 수 있습니다. 이것은 다리 정리에서 m과 n의 값을 풀면 가능하며 높이 정리에서 대체됩니다. 이런 식으로 높이가 빗변으로 나눈 다리의 곱셈과 동일하다는 것이 충족됩니다.
b 2 = c * m
m = b 2 ÷ c
a 2 = c * n
n = a 2 ÷ c
높이 정리에서 우리는 m과 n을 대체합니다.
h c 2 = m * n
h c 2 = (b 2 ÷ c) * (a 2 ÷ c)
h c = (b 2 * a 2 ) ÷ c
해결 된 운동
예 1
A에서 오른쪽 삼각형 ABC가 주어지면 AB = 30cm이고 BD = 18cm 인 경우 AC 및 AD의 측정 값을 결정합니다.
해결책
이 경우 투영 된 다리 (BD) 중 하나와 원래 삼각형 (AB)의 다리 중 하나의 측정 값이 있습니다. 이런 식으로 다리 정리를 적용하여 다리 BC의 값을 찾을 수 있습니다.
AB 2 = BD * BC
(30) 2 = 18 * BC
900 = 18 * 기원전
기원전 = 900 ÷ 18
BC = 50cm
레그 CD의 값은 BC = 50임을 알 수 있습니다.
CD = BC-BD
CD = 50-18 = 32cm
이제 다리 정리를 다시 적용하여 다리 AC의 값을 결정할 수 있습니다.
AC 2 = CD * BD
AC 2 = 32 * 50
AC 2 = 160
AC = √1600 = 40cm
높이 (AD)의 값을 결정하기 위해 돌출 된 다리 CD 및 BD의 값이 알려져 있기 때문에 높이 정리가 적용됩니다.
서기 2 = 32 * 18
서기 2 = 576
AD = √576
AD = 24cm
예 2
세그먼트의 측정 값을 알고 N에서 오른쪽 삼각형 MNL의 높이 (h) 값을 결정합니다.
NL = 10cm
MN = 5cm
오후 = 2cm
해결책
빗변 (PM)에 투영 된 다리 중 하나의 측정 값과 원래 삼각형의 다리 측정 값이 있습니다. 이런 식으로 다리 정리를 적용하여 다른 투영 다리 (LN)의 값을 찾을 수 있습니다.
NL 2 = PM * LM
(10) 2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
다리와 빗변의 값이 이미 알려져 있으므로 높이와 다리의 정리의 관계를 통해 높이 값을 결정할 수 있습니다.
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b 2 * a 2 ) ÷ c.
h = (10 2 * 5 2 ) ÷ (20)
h = (100 * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125cm.
참고 문헌
- Braun, E. (2011). 혼돈, 프랙탈 및 이상한 것들. 경제 문화 기금.
- VM Cabrera (1974). 현대 수학, 제 3 권
- Daniel Hernandez, DP (2014). 3 학년 수학. 카라카스 : 산틸라나.
- 브리태니커 백과 사전, i. (1995 년). 히스패닉 백과 사전 : Macropedia. 브리태니커 백과 사전 출판사.
- 유클리드, RP (1886). 유클리드의 기하학 요소.
- Guardeño, AJ (2000). 수학의 유산 : 유클리드에서 뉴튼까지, 천재들은 책을 통해. 세비야 대학교.