합동 : 합동 수치, 기준, 예, 연습 - 수학 - 2025

기하학 의 합동 은 두 개의 평면 그림이 같은 모양과 치수를 가지면 합동 이라고 말합니다. 예를 들어 두 세그먼트는 길이가 같을 때 합동입니다. 마찬가지로 합동 각도는 평면에서 같은 방향으로 향하지 않더라도 동일한 측정 값을 갖습니다.

"합동"이라는 용어는 의미가 일치 인 라틴어 congruentia에서 유래합니다. 따라서 두 합동 숫자는 서로 정확히 일치합니다.

그림 1. 그림의 사변형 ABCD와 A'B'C'D '는 합동입니다. 측면은 내부 각도와 동일한 측정 값을 갖습니다. 출처 : F. Zapata.

예를 들어, 이미지에서 두 개의 사변형을 겹쳐 놓으면 변의 배열이 동일하고 동일하게 측정되므로 합동임을 알 수 있습니다.

사변형 ABCD와 A'B'C'D '를 서로 위에 배치하면 수치가 정확하게 일치합니다. 일치하는 변을 상동 또는 해당 변이라고하며 ≡ 기호는 일치를 표현하는 데 사용됩니다. 그래서 우리는 ABCD ≡ A'B'C'D '라고 말할 수 있습니다.

일치 기준

다음 특성은 합동 다각형에 공통적입니다.

-같은 모양과 크기.

-각도의 동일한 측정.

-각 측면에서 동일한 측정.

문제의 두 다각형이 규칙적인 경우, 즉 모든면과 내부 각도가 동일하게 측정되는 경우 다음 조건 중 하나라도 충족되면 일치가 보장됩니다.

-측면이 일치합니다.

-아포 헴은 동일한 측정 값을가집니다.

-각 다각형의 반경은 동일하게 측정됩니다.

정다각형의 아포 헴은 중심과 측면 중 하나 사이의 거리이며 반경은 그림의 중심과 꼭지점 또는 모서리 사이의 거리에 해당합니다.

모든 종류의 많은 부품과 조각이 대량 생산되고 동일한 모양과 치수를 가져야하기 때문에 일치 기준이 자주 사용됩니다. 이러한 방식으로 너트, 볼트, 시트 또는 거리의 포장용 돌과 같이 필요할 때 쉽게 교체 할 수 있습니다.

그림 2. 거리의 포석은 바닥에서의 방향이 변경 될 수 있지만 모양과 치수가 정확히 동일하기 때문에 일치하는 그림입니다. 출처 : Pixabay.

일치, 정체성 및 유사성

일치와 관련된 기하학적 개념이 있습니다. 예를 들어 동일한 그림 및 유사한 그림이 반드시 일치한다는 것을 의미하지는 않습니다.

합동 그림은 동일하지만 그림 1의 사변형은 평면에서 다른 방식으로 배향 될 수 있으며 여전히 합동 상태를 유지할 수 있습니다. 다른 방향은 측면의 크기 나 각도를 변경하지 않기 때문입니다. 이 경우 그들은 더 이상 동일하지 않을 것입니다.

다른 개념은 그림의 유사성에 대한 것입니다. 그림의 크기는 다를 수 있지만 두 평면 그림이 같은 모양이고 내부 각도가 같으면 비슷합니다. 이 경우 수치가 일치하지 않습니다.

congruence 용례들

-각도의 일치

처음에 언급했듯이 합동 각도는 동일한 측정 값을 갖습니다. 합동 각을 얻는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

예 1

공통점이있는 두 개의 선은 정점 때문에 반대 각도라고하는 두 각도를 정의합니다. 이 각도는 측정 값이 동일하므로 합동입니다.

그림 3. 정점에 의한 반대 각도. 출처 : Wikimedia Commons.

예 2

두 개의 평행선과 둘 다 교차하는 선 t가 있습니다. 이전 예에서와 같이이 선이 평행선과 교차 할 때 합동 각도를 생성합니다. 각 선은 오른쪽에 하나씩 있고 다른 두 개는 왼쪽에 있습니다. 이 그림 은 합동 인 t 선의 오른쪽에있는 α와 α _1을 보여줍니다 .

그림 4. 그림에 표시된 각도는 일치합니다. 출처 : Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

예제 3

평행 사변형에는 2에서 2로 합동하는 4 개의 내부 각도가 있습니다. 다음 그림과 같이 녹색의 두 각도와 빨간색의 두 각도가 합동 인 반대 정점 사이의 것입니다.

그림 5. 평행 사변형의 내부 각도는 2x2 합동입니다. 출처 : Wikimedia Commons.

-삼각형의 합동

모양과 크기가 같은 두 개의 삼각형이 합동입니다. 이를 확인하기 위해 일치를 찾기 위해 검토 할 수있는 세 가지 기준이 있습니다.

- LLL 기준 : 삼각형의 세 변하므로 L, 동일한 조치를 ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ 및 L ₃ = L' _3.

그림 6. 변이 같은 합동 삼각형의 예. 출처 : F. Zapata.

- ALA 및 AAL 기준 : 삼각형은 동일한 두 개의 내각을 갖고 이들 각의 측면이 동일한 계수를 갖는다.

그림 7. 삼각형 합동에 대한 ALA 및 AAL 기준. 출처 : Wikimedia Commons.

- LAL 기준 : 측면의 두 (상당)과 동일하고 그들 사이의 동일한 각도가된다.

그림 8. 삼각형의 합동에 대한 LAL 기준. 출처 : Wikimedia Commons.

해결 된 운동

- 연습 1

다음 그림에는 두 개의 삼각형이 표시되어 있습니다. ΔABC 및 ΔECF. AC = EF, AB = 6, CF = 10으로 알려져 있습니다. 또한 각 ∡BAC 및 ∡FEC는 합동이고 각 ∡ACB 및 ∡FCB도 합동입니다.

그림 9. 작업 예제의 삼각형 1. 출처 : F. Zapata.

그러면 세그먼트 BE의 길이는 다음과 같습니다.

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

해결책

두 삼각형은 같은 각도 ∡BAC = ∡CEF와 ∡BCA = ∡CFE 사이에서 AC = EF 길이가 같은 변을 가지므로 두 삼각형은 ALA 기준에 의해 합동이라고 할 수 있습니다.

즉, ΔBAC ≡ ΔCEF이므로 다음을 수행해야합니다.

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

그러나 계산할 세그먼트는 BE = BC-EC = 10-6 = 4입니다.

그래서 정답은 (iii)입니다.

-연습 2

세 개의 삼각형이 아래 그림에 나와 있습니다. 두 개의 표시된 각도가 각각 80º이고 세그먼트 AB = PD 및 AP = CD라는 것도 알려져 있습니다. 그림에 표시된 각도 X의 값을 찾으십시오.

그림 10. 해결 된 예제의 삼각형 2. 출처 : F. Zapata.

해결책

단계별로 자세히 설명 된 삼각형의 속성을 적용해야합니다.

1 단계

LAL 삼각형 합동 기준으로 시작하여 BAP 및 PDC 삼각형이 합동이라고 말할 수 있습니다.

ΔBAP ≡ ΔPDC

2 단계

위의 결과는 BP = PC임을 확인하므로 삼각형 ΔBPC는 이등변이고 ∡PCB = ∡PBC = X입니다.

3 단계

각도를 BPC γ라고 부르면 다음과 같습니다.

2x + γ = 180º

4 단계

그리고 각도 APB와 DCP β와 α를 각도 ABP와 DPC라고 부르면 다음과 같습니다.

α + β + γ = 180º (APB가 평면 각도이기 때문에).

5 단계

또한, 삼각형 APB의 내부 각도의 합으로 α + β + 80º = 180º입니다.

6 단계

이 모든 표현을 결합하면 다음과 같습니다.

α + β = 100º

7 단계

따라서:

γ = 80º.

8 단계

마지막으로 다음과 같습니다.

2X + 80º = 180º

X = 50º로.

참고 문헌

1. Baldor, A. 1973. 평면 및 공간 기하학. 중앙 아메리카 문화.
2. CK-12 재단. 합동 다각형. 출처 : ck 12.org.
3. 수학을 즐기십시오. 정의 : 반경 (다각형). 출처 : enjoylasmatematicas.com.
4. 수학 오픈 참조. 일치를 위해 다각형을 테스트합니다. 출처 : mathopenref.com.
5. Wikipedia. 합동 (기하학). 출처 : es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. 삼각형, 역사, 요소, 분류, 속성. 출처 : lifeder.com.