정규직 교 기저는 그 계수도 1 (단위 벡터)는 서로 직교 벡터들로 형성된다. 벡터 공간 V의 기본 B는 공간을 생성 할 수있는 선형 독립 벡터 세트로 정의됩니다.
차례로, 벡터 공간은 요소 중 벡터가 일반적으로 속도, 힘 및 변위와 같은 물리량 또는 행렬, 다항식 및 함수와 관련된 벡터 인 추상적 인 수학적 엔티티입니다.
그림 1. 평면의 직교 기본. 출처 : Wikimedia Commons. Quartl.
벡터에는 크기 또는 계수, 방향 및 감각의 세 가지 고유 한 요소가 있습니다. 특정 벡터 공간 V에 속하는 벡터는 정규 직교 기저를 형성하는 벡터의 선형 조합으로 쓸 수 있기 때문에 정규 직교 기저를 표현하고 조작하는 데 특히 유용합니다.
이러한 방식으로 더하기, 빼기 및 해당 공간에 정의 된 다른 유형의 제품과 같은 벡터 간의 연산이 분석적으로 실행됩니다.
물리학에서 가장 널리 사용되는 기초 중에는 높이, 너비 및 깊이라는 3 차원 공간의 세 가지 뚜렷한 방향을 나타내는 단위 벡터 i , j 및 k에 의해 형성된 밑이 있습니다. 이러한 벡터는 단위 정규 벡터라고도합니다.
대신에 벡터가 평면에서 작업하면이 세 가지 구성 요소 중 두 개로 충분하지만 1 차원 벡터의 경우 하나만 필요합니다.
기지의 속성
1- A base B는 벡터 공간 V를 생성하는 가능한 가장 작은 벡터 집합입니다.
2- B의 요소는 선형 적으로 독립적입니다.
3- 벡터 공간 V의 모든 기본 B는 V의 모든 벡터를 선형 조합으로 표현할 수 있으며이 형식은 각 벡터에 대해 고유합니다. 이러한 이유로 B는 생성 시스템이라고도합니다.
4- 동일한 벡터 공간 V는 다른 염기를 가질 수 있습니다.
기지의 예
다음은 정규 직교 염기와 일반적인 염기의 몇 가지 예입니다.
ℜ의 표준 기준
ℜ n 의 자연 기수 또는 표준 기수라고도합니다 . 여기서 ℜ n 은 n 차원 공간입니다. 예를 들어 3 차원 공간은 ℜ 3 입니다. n의 값은 벡터 공간의 차원이라고하며 희미 (V)로 표시됩니다.
ℜ n 에 속하는 모든 벡터 는 순서가 지정된 n 광고로 표시됩니다. ℜ n 공간의 경우 표준 기준은 다음과 같습니다.
e 1 = <1,0,. . . , 0>; e 2 = <0.1,. . . , 0>; …… .. e n = <0.0,. . . , 1>
이 예에서는 단위 벡터 e 1 , e 2 , e 3 …에 대해 대괄호 또는 "대괄호"와 굵게 표시된 표기법을 사용했습니다 .
ℜ의 표준 기준
익숙한 벡터 i , j 및 k는 동일한 표현을 인정하며 세 가지 모두 ℜ 3 의 벡터를 표현하기에 충분합니다 .
나는 = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>
이는 기본이 다음과 같이 표현 될 수 있음을 의미합니다.
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
선형 적으로 독립적인지 확인하기 위해 이들로 형성된 행렬식은 0이 아니고 1과 같습니다.
F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.
따라서 i , j 및 k 는 ℜ 3 의 발전기 시스템을 구성합니다 .
ℜ의 기타 직교 염기
이전 섹션에서 설명한 표준베이스는 ℜ 3 의 유일한 직교베이스가 아닙니다 . 예를 들어 다음은 기본입니다.
B 1 = {
B 2 = {<3/5, 4 / 5.0>; <-4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}
이러한 염기가 직교한다는 것을 알 수 있습니다.이를 위해 충족되어야하는 조건을 기억합니다.
-베이스를 형성하는 벡터는 서로 직교해야합니다.
-각각은 하나 여야합니다.
우리는 그들에 의해 형성된 행렬식이 0이 아니고 1과 같아야 함을 알면 이것을 확인할 수 있습니다.
기본 B 1 은 공간에서 벡터를 표현하는 또 다른 방법 인 원통형 좌표 ρ, φ 및 z의 정확한 좌표입니다.
그림 2. 원통형 좌표. 출처 : Wikimedia Commons. 수학 버프.
해결 된 운동
- 연습 1
베이스 B = {<3/5, 4 / 5,0>; <-4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}은 직교입니다.
해결책
벡터가 서로 수직임을 나타 내기 위해 두 벡터의 내부 또는 내적이라고도하는 스칼라 곱을 사용합니다.
두 벡터 u 및 v , 내적은 다음과 같이 정의됩니다.
u • v = uv cosθ
모듈의 벡터를 구별하기 위해 첫 번째 문자에는 굵게, 두 번째 문자에는 일반 문자를 사용합니다. θ는 u 와 v 사이의 각도 이므로 수직이면 θ = 90º이고 스칼라 곱이 0임을 의미합니다.
또는 벡터가 구성 요소로 제공되는 경우 : u =
u • v = u x .v x + u y .v y + u z .v z
이런 식으로 각 벡터 쌍 사이의 스칼라 곱은 각각 다음과 같습니다.
i) <3/5, 4 / 5,0> • <-4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (-4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0
ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0
iii) <-4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0
두 번째 조건의 경우 각 벡터의 모듈이 계산되며 다음과 같이 계산됩니다.
│u │ = √ (u x 2 + u y 2 + u z 2 )
따라서 각 벡터의 모듈은 다음과 같습니다.
│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <0, 0.1> │ = √ = 1
따라서 세 가지 모두 단위 벡터입니다. 마지막으로, 그들이 형성하는 결정자는 0이 아니며 1과 같습니다.
-연습 2
벡터 w = <2, 3,1> 의 좌표를 위의 밑으로 씁니다 .
해결책
이를 위해 다음 정리가 사용됩니다.
w = < w • V 1 > V 1 + < w • V 2 > V 2 + < w • V 3 > V 3 + … < w • V N > V의 N
즉 , 표시된 스칼라 곱을 계산해야하는 계수 < w • v 1 >, < w • v 2 >,… < w • v n >을 사용하여 기본 B에 벡터를 쓸 수 있습니다 .
<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5
<2, 3,1> • <-4/5, 3 / 5,0> = (2). (-4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5
<2, 3,1> • <0,0,1> = 1
얻은 스칼라 곱으로 w 좌표 행렬이라고하는 행렬이 구성됩니다.
따라서 베이스 B 에있는 벡터 w 의 좌표 는 다음과 같이 표현됩니다.
B =
좌표 행렬은 벡터가 좌표와 동일하지 않기 때문에 벡터가 아닙니다. 이들은 벡터가 아닌 주어진 밑수에서 벡터를 표현하는 데 사용되는 숫자 집합 일뿐입니다. 또한 선택한 기반에 따라 다릅니다.
마지막으로 정리에 따라 벡터 w 는 다음과 같이 표현됩니다.
w = (18/5) v 1 + (1/5) v 2 + v 3
사용 : v 1 = <3/5, 4 / 5,0>; v 2 = <-4/5, 3 / 5.0>; v 3 = <0,0,1>}, 즉 기본 B의 벡터입니다.
참고 문헌
- Larson, R. Foundations of Linear Algebra. 6 일. 판. Cengage 학습.
- Larson, R. 2006. 미적분. 7 일. 판. 볼륨 2. McGraw Hill.
- Salas, J. Linear Algebra. 단위 10. 직교 염기. 출처 : ocw.uc3m.es.
- 세비야 대학교. 원통형 좌표. 벡터베이스. 출처 : laplace.us.es.
- Wikipedia. 직교베이스. 출처 : es.wikipedia.org.