편미분 다른 변수가 변하지 동안 여러 변수들의 함수는 변수들 중 하나가 미소 한 변형을 갖는 함수의 변화율을 결정하는 것들이다.
아이디어를 더 구체적으로 만들기 위해 두 변수의 함수 인 z = f (x, y)를 가정 해보십시오. 변수 x에 대한 함수 f의 편도 함수는 x에 대한 일반 미분으로 계산되지만 변수 y는 상수 인 것처럼 취합니다.
그림 1. 함수 f (x, y)와 P 점에서 편도 함수 ∂ x f y ∂ y f. (지오 지브라와 함께 R. Pérez에 의해 정교화 됨)
편미분 표기법
변수 x에 대한 함수 f (x, y)의 편미분 연산은 다음 방법 중 하나로 표시됩니다.
편도 함수에서는 문자 d가 도함수로 사용되는 단일 변수 함수의 일반 도함수와 달리 기호 ∂ (반올림 된 문자 d의 일종 인 Jacobi 's d)가 사용됩니다.
일반적으로 변수 중 하나에 대한 다변량 함수의 편도 함수는 원래 함수의 동일한 변수에 새 함수를 생성합니다.
∂ x f (x, y) = g (x, y)
∂ y f (x, y) = h (x, y).
편도 함수의 계산과 의미
X 축에 평행 한 방향으로 특정 점 (x = a, y = b)에 대한 함수의 변화율 또는 기울기를 결정하려면 :
1- 함수 ∂ x f (x, y) = g (x, y) 가 계산 되어 변수 x에서 일반 미분을 취하고 변수 y는 고정되거나 상수로 둡니다.
2- 그런 다음 x = a 및 y = b 점의 값을 대체하여 x 방향의 함수 변화율을 알고 싶습니다.
{점 (a, b)에서 x 방향으로 기울기} = ∂ x f (a, b).
3- 좌표 점 (a, b)에서 y 방향의 변화율을 계산하려면 먼저 ∂ 및 f (x, y) = h (x, y)를 계산합니다.
4- 그런 다음 이전 결과에서 점 (x = a, y = b)을 대체하여 다음을 얻습니다.
{점 (a, b)에서 y 방향으로 기울기} = ∂ y f (a, b)
편미분의 예
편미분의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.
예 1
주어진 기능 :
에프 (x, y) = -x ^ 2-y ^ 2 + 6
변수 x 및 변수 y에 대한 함수 f의 편도 함수를 찾습니다.
해결책:
∂ xf = -2x
∂ yf = -2y
변수 x에 대한 함수 f의 편도 함수를 계산하기 위해 x에 대한 일반 미분을 수행했지만 변수 y는 상수 인 것처럼 취했습니다. 유사하게, y에 대한 f의 편미분을 계산할 때 변수 x는 마치 상수 인 것처럼 취해졌습니다.
함수 f (x, y)는 황토색으로 그림 1에 표시된 포물면이라고하는 표면입니다.
예 2
예 1에서 X 축 방향과 점 (x = 1, y = 2)에 대한 Y 축 방향에서 함수 f (x, y)의 변화율 (또는 기울기)을 찾습니다.
솔루션 : 주어진 지점에서 x 및 y 방향의 기울기를 찾으려면 해당 지점의 값을 함수 ∂ x f (x, y)와 함수 ∂ y f (x, y) 로 대체하기 만하면 됩니다 .
∂ x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2
∂ 및 f (1,2) = -2⋅ 2 = -4
그림 1은 함수 f (x, y)와 평면 y = 2의 교차에 의해 결정된 곡선에 대한 접선 (빨간색)을 보여줍니다.이 선의 기울기는 -2입니다. 그림 1은 또한 함수 f와 평면 x = 1의 교차를 정의하는 곡선에 대한 접선 (녹색)을 보여줍니다. 이 선의 기울기는 -4입니다.
식
연습 1
주어진 시간에 원뿔형 유리에는 물이 포함되어 있으므로 물의 표면은 반경 r과 깊이 h를 갖습니다. 그러나 유리 바닥에는 물이 초당 C 입방 센티미터의 속도로 손실되는 작은 구멍이 있습니다. 수면으로부터의 하강 속도를 초당 센티미터 단위로 결정하십시오.
해결책:
우선, 주어진 순간에 물의 양이 다음과 같다는 것을 기억할 필요가 있습니다.
부피는 반경 r과 깊이 h의 두 변수 인 V (r, h)의 함수입니다.
부피가 무한히 dV만큼 변하면 수면 반경 r과 수심 h도 다음 관계에 따라 변합니다.
dV = ∂ r V dr + ∂ h V dh
우리는 각각 r과 h에 대한 V의 편미분을 계산합니다.
∂ r V = ∂ r (⅓ π r ^ 2 시간) = ⅔ π rh
∂ h V = ∂ h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2
또한 반경 r과 깊이 h는 다음 관계를 충족합니다.
두 멤버를 시간 미분 dt로 나누면 다음이 제공됩니다.
dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)
그러나 dV / dt는 초당 C 센티미터로 알려진 단위 시간당 손실 된 물의 양이고 dh / dt는 v라고하는 자유 표면의 하강 속도입니다. 즉, 주어진 순간의 수면은 다음과 같이 주어진 속도 v (cm / s)로 하강합니다.
v = C / (π r ^ 2).
수치 적용으로 r = 3cm, h = 4cm, 누설 률 C가 3cm ^ 3 / s라고 가정합니다. 그 순간 표면의 하강 속도는 다음과 같습니다.
v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0.11 cm / s = 1.1 mm / s.
연습 2
Clairaut-Schwarz 정리는 함수가 독립 변수에서 연속적이고 독립 변수에 대한 편도 함수도 연속적이라면 2 차 혼합 도함수는 서로 바뀔 수 있다고 말합니다. 함수에 대해이 정리를 확인하십시오.
f (x, y) = x ^ 2 y, 즉 f xy f = ∂ yx f 가 참이어야합니다 .
해결책:
∂ xy f = ∂ x (∂ y f) 동안 ∂ yx f = ∂ y (∂ x f)
∂ x f = 2 xy; ∂ y f = x ^ 2
∂ xy f = ∂ x (∂ y f) = 2x
∂ yx f = ∂ y (∂ x f) = 2x
Schwarz의 정리는 함수 f와 그 편미분이 모든 실수에 대해 연속적이기 때문에 유지되는 것으로 입증되었습니다.
참고 문헌
- Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). 계산 5ed. Mc Graw Hill.
- Leithold, L. (1992). 분석 기하학을 사용한 계산. 할라, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). 계산. 멕시코 : Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). 미적분학. 빗변.
- Saenz, J. (2006). 적분 미적분. 빗변.
- Wikipedia. 부분 도함수. 출처 : es.wikipedia.com